PDA

צפה בגרסה המלאה : משואות מעריכיות



mai123
27-08-2010, 02:10
Y בשורש איקס = שורש 3
y בחזקת איקס = 9

הגעתי לפתרון אחד x=2 y=3 בגלל שאמרתי שהבסיסים שווים והמעריכים שווים [ לפי המשוואה השנייה]
ולא הבנתי את הפתרון השני , איך הדרך להגיע אליו
הפתרון הוא x=-2 y=1:3

gilas
27-08-2010, 06:52
מצ"ב פתרון.

מקווה שברור,
גילה

mai123
27-08-2010, 12:01
לא הבנתי איך העלת בחזקת איקס .. כלומר מהשלב השני

גל_כהן
27-08-2010, 12:18
מותר לך להעלות את המשוואה בכל חזקה שתבחרי (באם תזכרי לחזור ולהציב את הפתרונות שקיבלת
במשוואה המקורית).
גילה שמה לב שבמשוואה השנייה מופיע y^x ועל כן רצתה שאותו ביטוי יופיע גם במשוואה
הראשונה.
היא לקחה את המשוואה הראשונה :
y=3^{\frac{x}{2}}
והעלתה אותה בחזקת x.
מה מקבלים?
y^x=\(3^{\frac{x}{2}} \)^x
אלא שהעלאת חזקה בחזקה=מכפלת החזקות ולכן :
y^x=3^{\frac{x^2}{2}}.

כעת המערכת היא :
\{ y^x=3^{\frac{x^2}{2}} \\ y^x=9
כל שנותר הוא להציב את המשוואה השנייה לראשונה, להפוך הכל לאותו בסיס ואז להשוות
את המעריכים.
מקבלים : x=2 או x=-2.
מציבים באחת המשוואות ומוצאים את ערכי ה-y המתאימים.
לאחר הצבה במשוואה המקורית, מקבלים ששני הפתרונות קבילים.

ודרך אחרת :
מתקיים :
\{ y^{\frac{1}{x}}=sqrt{3} \\ y^x=9
נסדר מעט :
\{ y^{\frac{1}{x}}=3^{\frac{1}{2}} \\ y^x=3^2=\(3^{\frac{1}{2}} \)^4
ומכאן :
y^x=\(y^{\frac{1}{x}} \)^4=y^{\frac{4}{x}}
ואם הבסיסים שווים, אזי המעריכים שווים ולכן :
x=\frac{4}{x}
וקל להמשיך.

יום טוב :) !