PDA

צפה בגרסה המלאה : בעיות עם פרבולה



לוליטההה
19-10-2010, 20:07
מעגל שמרכזו בנקודה (10,0) נוגע בפרבולה y^2=8X בשתי נקודות מצא את משוואת המעגל ואת נקודות המגע.

תודה מראש :)

liran ron
19-10-2010, 21:20
אתה יודע את מרכז המעגל, שהוא (10,0). לכן משוואת המעגל ידועה למעט הרדיוס, והוא הנעלם היחיד.
משוואת המעגל היא: x-10)^2+y^2=R^2).
במקום y^2 אתה מציב 8x (בעצם אתה פותר מערכת משוואות של המעגל והפרבולה). ואז אתה מקבל משוואה ריבועית ב-x, עם פרמטר R.
למערכת משוואות של מעגל ופרבולה יש שלוש אפשרויות:
א. יש שני פתרונות - ואז המעגל חותך את הפרבולה (אם מרכז המעגל בתוך הפרבולה תהיינה 4 נקודות חיתוך, ואם המרכז בחוץ או על הפרבולה תהיינה 2 נקודות חיתוך).
ב. יש פתרון יחיד - ואז המעגל משיק לפרבולה (כאן כאשר מרכז המעגל בתוך הפרבולה תהיינה 2 נקודות השקה, ואם המרכז בחוץ תהיה נקודת השקה אחת).
ג. אין פתרון - המעגל כלוא בתוך הפרבולה או נמצא כולו מחוצה לה, ואין להם נקודות משותפות.
מאחר והשאלה מתייחסת למעגל ופרבולה משיקים (המעגל "נוגע" בפרבולה, כדברי השאלה), אותך צריכה לעניין אפשרות ב'. כעת עליך לאפס את הדיסקרימיננטה (הדלתא) ותקבל שני רדיוסים: (8+) או (8-). רדיוס הוא תמיד חיובי וכל מקרה למשוואת המעגל דרוש הרדיוס בריבוע (64).
כעת, כדי למצוא את נקודות המגע, קרי נקודות ההשקה, אתה מציב את R במשוואה הריבועית שאותה חקרת, ופותר משוואה ריבועית. מתקבל פתרון יחיד: x=6. אתה מציב אותו במשוואת הפרבולה (או במשוואת המעגל, אבל להציב בפרבולה זה יותר קל) ומקבל שני פתרונות ל-y (שורש 48 והנגדי שלו).

מקווה שעזרתי.