PDA

צפה בגרסה המלאה : סדרת פיבונאצ'י - יחס הזהב



Hurricane
01-12-2008, 15:19
בסדרת פיבונאצ'י מתקיים היחס הבא:
מנת האיבר במקום n באיבר במקום ה- n-1 שואפת ליחס הזהב.
יחס הזהב שווה ל- GR=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.

רציתי לדעת כיצד ניתן לחשב את האיבר במקום n עם שימוש ביחס הזהב.
חשבתי על זה ככה:
עשרת האיברים הראשונים בסדרה הם:
1,1,2,3,5,8,11,23,34,55
כעת, מתקיים (אשמח אם תסבירו כיצד רושמים שהביטוי הבא שואף, ולא שווה, בכתיבה מתמטית):
\frac{A_{n}}{A_{n-1}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\A_{n}=A_{(n-1)}GR\\A_{1}=1\\A_{2}=A_{1}*GR=1*GR=GR{
מכאן, נמשיך את שאר האיברים:
A_{3}=A_{2}*GR=GR*GR=GR^2\\A_{4}=A_{3}*GR=GR*GR*GR =GR^3\\A_{5}=A_{4}*GR=GR*GR*GR*GR=GR^4
וכך הלאה.
אך ברור שזה לא נכון, ועבור n=10, הנוסחה תחזיר 76, במקום 55.

איך מוצאים נוסחה נכונה, והיכן שגיתי?

yoavzilberman
06-12-2008, 07:37
הנוסחא נכונה רק כש-n גדול מאוד (n שואף לאינסוף מכיווון שבגבולות עסקינן)- בסדרת פיבונצי ניתן להגדיר לכל הסדרה אך ורק כלל רקורסיבי באם ידוע לך איבר במקום n גדול מאוד אזי ממנו והלאה תוכל ליצור סדרה שבה ניתן להגדיר איבר לפי מיקומו באמצעות יחס הזהב (סדרה הנדסית).
הערה: נהוג לסמן את יחס הזהב באות היוונית "פי" (קרי: Fi)

Hurricane
06-12-2008, 08:15
מצאתי נוסחה בויקיפדיה:
http://upload.wikimedia.org/math/6/e/9/6e93507ad67c0061d2dd0ee5004c9d56.png
ואני פשוט לא מבין איך הגיעו לזה.
כנראה אצטרך ללמוד סדרות הנדסיות כדי להבין את זה. ם.ם

bigsigma
09-12-2008, 16:47
תסתכל על פונקציות יוצרות (http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function)

Liron-Z
16-01-2009, 12:54
חשוב להגיד גם שמשולש זהב כמו שהוא מכונה בישראל (30,60,90) הוא אינו המשולש זהב הקביל ברחבי העולם, משולש זהב הוא משולש שווה שוקיים בעל זוית בסיס של 72 מעלות והוא מקיים את יחס הזהב :) (1.618)

ProMath
16-01-2009, 13:05
אם תרצה אוכל להעלות פיתוח רקורסיבי של נוסחת האיבר הכללי בסדרת פיבונאצי...