PDA

צפה בגרסה המלאה : הוכחת סכום ישר במרחב לינארי של פונקציות



ydan87
28-12-2010, 16:42
הנה השאלה בדיוק:
יהי V מרחב וקטורי של כל הפונקציות מR לR עם חיבור וכפל בסקלר רגיל. ויהיו V1 וV2 תת המרחבים של הפונקציות הזוגיות והאי זוגיות, בהתאמה. הוכיח כי:
א) v1+v2 = V
ב) v1 \cap v2 = 0

תודה מראש

אריאל
28-12-2010, 19:23
זה החיתוך שלהם הוא אפס ברור מאליו

לגבי הסכום שלהם, למעשה צריך להוכיח שכל פונקציה מ r ל r היא סכום חיסור או כפל של פונקציה \ פונקציות זוגיות ואי זוגיות

ydan87
28-12-2010, 19:30
שלום לך אריאל :)

מצטער, אבל תוכל להבהיר עוד פעם מה שאמרת? לא הצלחתי להבין...
ולגבי העניין שהחיתוך הוא אפס, בוודאי שזה ברור מאליו, אך איך אומרים את זה פורמלית?

אריאל
28-12-2010, 19:53
נו תנסה להוכיח את זה פורמלית תראה לי מה עשית.

להבהיר? יש פונקציה אי זוגית : f(x)=x יש פונקציה זוגית : f(x) =x^2 ויש פונקציה שהיא לא זוגית ולא אי זוגית : f(x)=2x+1

אבל מאידך, כל פונקציה מורכבת מסכום \ הפרש פונקציה זוגית וסכום \ הפרש של פונקציה אי זוגית..(או פונקציות וכמובן גם כפל) - צריך להוכיח את הטענה הזאת אבל..

אני גם לא הייתי בטוח שהיא נכונה אבל אם היא לא נכונה אז יש בעיה בשאלה. נשמע הגיוני בכל אופן, אינטואיטיבית.

ydan87
28-12-2010, 20:43
טוב לגבי הראשון:
נמצא בסיס לחיתוך, כלומר פונקציה המקיימת גם
f(x) = f(-x)
וגם
f(-x) = -f(x)
כלומר
f(x) = -f(x)
=>
2f(x) = 0
f(x) = 0
מצאנו שהפונקציה היחידה שמקיימת זאת היא פונקציית האפס ולכן החיתוך הוא 0.

לגבי השני, עובד על זה... :)
אשמח לוידוא. תודה

אריאל
28-12-2010, 20:58
כן אחלה.

ydan87
28-12-2010, 20:59
תראה איך התחלתי בשני,
תהי F פונקציה בV כלשהי.
F ניתנת להצגה כצירוף של פונקציה זוגית מV1 ופונקציה אי זוגית מV2, כלומר:
F = a*G + b*H כאשר a,b סקלרים, G פונקציה בV1 וH פונקציה בV2.
הכנתי קרקע, מה עכשיו?

אריאל
28-12-2010, 21:01
F ניתנת להצגה כצירוף של פונקציה זוגית מV1 ופונקציה אי זוגית מV2,


מאיפה אתה יודע את זה? תנסה לקרוא שוב את התגובה שלי.. אם זה נכון אז סיימת את השאלה למעשה.

ydan87
28-12-2010, 21:09
אני אשבור על זה את הראש.
אני מוסר אליך שאלה נוספת, אחרת לגמרי
יהי V מרחב וקטורי ממימד סופי, ונניח V1 וV2 מוכלים בV והם תתי מרחבים המקיימים שהחיתוך ביניהם 0.
הוכח כי אם {v1,......vk} בV1 בת"ל ואם {w1........wl} בV2 בת"ל אז {v1.....vk,w1.....wk} בV1+V2 בת"ל
זה מסומן כתרגיל כוכבית, אני מנסה ולא מצליח להתנסח...

אריאל
28-12-2010, 21:19
בדרך השלילה .

נניח בדרך השלילה כי {v1.....vk,w1.....wk} ת"ל כלומר קיים vi (אתה תוכיח עבור wi ) כך ש :

vi=a1v1+.....+a_{i-1} \cdot v_{i-1}+...+a_{k-1} vk+a_{k}w1+.......+a_{2k-1}wk

כשהמקדמים בהכרח לא כולם אפס .

אבל הוקטורים v1,......vk בת"ל לכן : a1=.....= a_{k-1}=0 או יותר נכון : a1v1+.....+a_{i-1} \cdot v_{i-1}+...+a_{k-1} vk=0

כלומר קיבלנו ש v1 הוא צ"ל של w1...wk וזאת בסתירה לנתון שהחיתוך בין V1 ו V2 הוא אפס.

ydan87
28-12-2010, 21:23
אריאל, מכל הלב אלף אלפי תודות על העזרה!

אין לך עוד רמז עבורי לגבי הסעיף הקודם :)?

ShoobyD
31-12-2010, 16:57
נקח פונקציה כללית f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, נגדיר כעת את הפונקציות g,h:\mathbb{R} \to \mathbb{R} הבאות:
g :=\frac{f(x)+f(-x)}{2} ו-h :=\frac{f(x)-f(-x)}{2}
מהגדרתן - g היא זוגית ו-h היא אי-זוגית (נסה לראות אם אתה מבין מדוע).

אבל מצד שני f = g+h ,שכן g(x) + h(x) =\frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2} = \frac{f(x)+f(-x) + f(x)-f(-x)}{2} = \frac{2f(x)}{2} = f(x)
ולכן כל פונקציה ממשית ניתנת להצגה כסכום של פונקציה זוגית ואי-זוגית.