PDA

צפה בגרסה המלאה : הוכחה איפוס הנגזרת בקטע סגור



ydan87
29-12-2010, 21:57
הנה השאלה:
תהי f(x) רציפה בקטע הסגור [0,1] וגזירה בקטע הפתוח (0,1). ידוע ש f(1) * f(0) > 0 וכן ש f(0.3) = 0
הוכיחו כי הנגזרת של F מתאפסת בנקודה כלשהיא בקטע הפתוח.
רמז: הפרידו ל2 מקרים
f(0), f(1) < 0
f(0), f(1) > 0
ניתן להשתמש בפרמה, רול, וויירשטראס, לופיטל (מן הסתם לא רלוונטי) לגרנז' והחבורה...

תודה מראש

אריאל
29-12-2010, 22:04
נו גם רמזו לך גם אמרת את מה שצריך , מה יותר מזה?

בלי להתעמק יותר מידי משפט ערך הביניים + משפט רול פותר את הבעיה.

עריכה, אני חוזר בי : תיעזר בהוכחה של משפט רול.

ydan87
29-12-2010, 22:57
חשבתי שרול זה הכיוון...על לגשת להוכחה עצמה לא הייתי עולה...
תודה רבה. אנסה

אריאל
29-12-2010, 23:27
זה בדיוק ההוכחה של רול.

רול לא עוזר לך פה, כי תצטרך למצוא שתי נקודות שבהן הפונקציה מתאפסת (למעשה כי נתנו לך את הנתון f(0.3)=0 אז תחשוב שאם תמצא עוד נקודה שהפונק' בה מתאפסת אז סיימת)

אבל זה שגוי, למעשה יש פה נקודת קיצון וצריך להשתמש בהוכחה של משפט רול + משפט פרמה קומבינציה כזאת.. לא התעמקתי אבל מאה אחוז זה הכיוון :)

ydan87
30-12-2010, 15:18
אריאל צר לי...באמת אני רואה שזה הכיוון אבל אני פשוט לא מצליח
התחלתי בזה שלפי וויירשטראס, יש בקטע הזה בין 0 ל1 מינימום ומקסימום מוחלטים.
כלומר נקודות C וD כך ש- f(d)>f(x)>f(c) לכל X בקטע.
איך אני מצליח להראות ש0.3 היא נקודה כזו? ולמה צריך להפריד למקרים?

אשמח לעוד עזרה

אריאל
30-12-2010, 15:33
צריך להפריד למקרים כי פעם אחת מקבלים מינימום ופעם אחת מקבלים מקסימום .

נסתכל על המקרה שבו f(0), f(1) < 0

אם 0.3 היא לא נקודת קיצון ומכיוון שהפונקציה רציפה בהכרח וגזירה קיימת נקודה x0 בסביבה הנקובה של 0.3 כך ש f(x0)>0 (תשתמש בהגדרה של רציפות וכול')

מפני ש f(1)<0 אזי על פי משפט ערך הביניים בקטע הפתוח (x0,1) קיימת נקודה X1 שבה : f(x1)=0

ולכן על פי משפט רול קיימת נקודה C בקטע 0.3,x1 שבה : f'(c) =0 (שזוהי תיהיה נקודת מינימום אגב)


אם 0.3 היא נקודת קיצון ומפני שהפונקציה גם גזירה בנקודה זו אזי על פי פרמה הנגזרת מתאפסת בנקודה זו

איפה אתה לומד ..?

ydan87
30-12-2010, 15:35
הרבה יותר מובן!

תודה רבה :]. אני מפנה אותך לשאלת הנגזרות שפתחתי לא מזמן...(מאותו דף תרגילים מציק)