PDA

צפה בגרסה המלאה : אשכול החידות הגדול



גל_כהן
20-12-2008, 19:45
כמו שבטח תבינו מהכותרת , החלטתי לפתוח את "אשכול החידות הגדול".
באשכול זה נאגד חידות מכל סוג ובכל נושא - כל אחד מוזמן להעלות חידות ולפתור
את חידות האחרים.

אני אעשה את הסיפתח לאשכול עם 5 חידות נחמדות (בדרגת קושי עולה) :


1 ) חידת סנט איבס :
כשהלכתי בדרכי לסנט איבס
פגשתי גבר עם שבע נשים.
לכל אישה היו שבעה שקים ,
ובכל שק היו שבעה חתולים ,
לכל חתול היו שבעה חתלתולים.
חתלתולים , חתולים , שקים ונשים ,
כמה הלכו לסנט איבס?

2 ) חלוקת ככרות הלחם :
חלקו 100 ככרות לחם בין חמישה גברים , כך שהחלקים יהיו סדרה
חשבונית , והסכום של שני החלקים הקטנים יהיה שווה ל-\frac{1}{7}
מהסכום של שלושת החלקים הגדולים.
* הנוסח המקורי : "מאה ככרות לחם לחמישה גברים , שביעית משלושת הדברים
הראשונים לשני האחרונים".

3 ) בעיה ריבועית :
אדם רכש מספר מסוים של יחידות יין , חלקן ב-8 דרכמות וחלקן ב-5 דרכמות ליחידה.
הוא שילם עבורן במספר ריבועי של דרכמות. אם מוסיפים 60 לאותו מספר ,
התוצאה היא מספר ריבועי , שהשורש שלו שווה למספר היחידות שקנה.
חשבו כמה יחידות רכש בכל אחד מהמחירים.

4 ) ניקח ריבוע קסם של 3X3.
סדרו את תשעת האיברים הראשונים של הסדרה ההנדסית 512,...,1,2,4
בריבוע הקסם כך שבכל כיוון
תיווצר מכפלה השווה ל-4096.

5 ) בעיית הסקר של ארכימדס :
"אדון נכבד , אם אתה שקדן וחכם , חשב את מספר ראשי הבקר של
השמש , שרעו יום אחד בשדות האי סיציליה.
ראשי הבקר היו מחולקים לארבעה עדרים בצבעים שונים : הראשון לבן-חלב , השני
שחור-בורק , השלישי צהוב והאחרון מנומר.
בכל עדר היה מספר עדיר של שוורים בהתאם ליחסים הבאים : הבן , אדון נכבד ,
שמספר הלבנים היה שווה לחצי ולשליש של השחורים והצהובים גם יחד ,
בעוד שמספר השחורים השתווה לרבע מהמנומרים , ולחמישית יחד עם הצהובים.
תשקול גם שייתרת השוורים המנומרים , היה שווה לשישית מהלבנים ולשביעית יחד
עם הצהובים. ואלה היו היחסים בין הפרות : מספר הפרות הלבנות היה שווה
בדיוק לשליש ולרבע מכל העדר השחור , בעוד שהספר הפרות השחורות היה שווה
לרבע מהפרות המנומרות ועוד לחמישית , כשכולם , כולל השוורים , יצאו למרעה.
עכשיו המנומרות בארבעה חלקים , השתוו לשישית ולשביעית של העדר הצהוב.
לבסוף היו הצהובים שווים במספרם לשישית ולשביעית של הלבנים.
אם תוכל לחשב במדויק , אדון נכבד , את מספר ראשי הבקר הרועים בשמש ,
תוך ציון בנפרד של השוורים , האוכלים לשובע , ובנפרד את מספר הפרות בהתאם לכל
צבע , לא תיקרא בלתי מיומן או בור במספרים , אבל עדיין לא תימנה בין החכמים...
אבל הבן גם את התנאים הנוגעים לראשי הבקר הרועים בשמש.
כשהשוורים הלבנים התערבבו בשחורים , הם עמדו איתנים ושווים בעומק וברוחב ,
והשדות הנרחבים של סיציליה , המשתרעים למלוא העין , היו מלאים בהמונם.
ועוד , כשהשוורים הצהובים והמנומרים התלכדו לעדר אחד , הם ניצבו בצורה כזו
שמספרם , החל מאחד גדל באיטיות עד שהשלימו צורה משולשת , ללא שום
שוורים בצבעים אחרים בתוכם ואף אחד מהם לא היה חסר.
אם תוכל למצוא , אדון נכבד , את כל הדברים האלה , ולאסוף אותם במוחך ,
כשכל היחסים נכונים , תוכל להיפרד עטור בתפארת הידיעה שהינך
מתאים באופן מושלם למין החכמים".
* ומי לא רוצה להיות חכם? *


* כל החידות הנ"ל נלקחו מתוך ספרו של דיוויד וולס : "ספר החידות הגדול - 554 שעשועים ואתגרי חשיבה".

אז שיהיה בהצלחה , וכפי שפתחתי ואמרתי - כולם מוזמנים להעלות חידות , לפתור חידות
ולהנות מהאתגר ומהשעשוע שבפתרון החידות והאתגרים הלוגיים.

יום טוב :) !

Hurricane
20-12-2008, 19:51
נסיון לתרגיל הראשון:
אני הלכתי - 1.
פגשתי גבר - 1.
עד כאן שני אנשים הלכו.
לגבר היו 7 נשים ולכל אישה היו 7 שקים שבכל שק 7 חתולים עם 7 חתלתולים.
כלומר: 7*7*7*7 ומכאן נחבר הכל: 2403 חיים הלכו.

עריכה:
מסתבר שטעיתי. הפתרון :
רק מספר הסיפור הלך לסנט איבס. שאר האנשים לא הלכו לשם. ולכן התשובה היא 1.

אריאל
20-12-2008, 20:16
2 ) חלוקת ככרות הלחם :
חלקו 100 ככרות לחם בין חמישה גברים , כך שהחלקים יהיו סדרה
חשבונית , והסכום של שני החלקים הקטנים יהיה שווה ל-http://www.actuary.ca/cgi-bin/mimetex.cgi?\frac{1}{7}
מהסכום של שלושת החלקים הגדולים.
* הנוסח המקורי : "מאה ככרות לחם לחמישה גברים , שביעית משלושת הדברים
הראשונים לשני האחרונים".



יש שני אפשרויות לאיברים הקטנים או שהם הראשונים ( d>0 ) או שהם האחרונים (d<0 )
כאשר Sn=100 ו n=5 ואנחנו רוצים את סכום שלושת האיברים הנותרים .

נחשב :

\frac{5[2\cdot 5+d(5-1)]}{2} = 100

50+20d=200

20d=150

d=7.5

כלומר D>0 ולכן נבחר את שני האיברים הראשונים :

a1+a2=7.5+15=22.5

נחשב את סכום שלושת הנותרים :

100-22.5 =77.5

גל_כהן
20-12-2008, 20:19
אריאל , יש למצוא את האיברים עצמם ולא את הסכומים.

יום טוב :) !

גל_כהן
20-12-2008, 20:20
ורק שאלה : כיצד קבעת שהאיבר הראשון הינו 5?

אריאל
20-12-2008, 20:53
בכלל לא קראתי את השאלה נכון(או שאינה כתובה נכון), האם זאת כוונתך (?) :

2 ) חלוקת ככרות הלחם :
חלקו 100 ככרות לחם בין חמישה גברים , כך שהחלקים יהיו סדרהחשבונית , והסכום של שני החלקים הקטנים יהיה שווה ל-http://www.actuary.ca/cgi-bin/mimetex.cgi?\frac{1}{7} מהסכום של שלושת החלקים הגדולים.

מצא את כל האיברים !

כי אני הסתכלתי על זה ככה :

חלקו 100 ככרות לחם בין חמישה גברים , כך שהחלקים יהיו סדרה חשבונית .
והסכום של שני החלקים הקטנים יהיה שווה ל-http://www.actuary.ca/cgi-bin/mimetex.cgi?\frac{1}{7} .

מה סכום של שלושת החלקים הגדולים.

גל_כהן
20-12-2008, 21:18
הכוונה היא בדיוק הראשונה שרשמת ולא כיצד שהסתכלת על זה - נוסח השאלה מאוד ברור ,
וכתוב בדיוק כפי שרשמת אתה.
מה גם שכאשר פונים לפתור בעיה צריך לקרוא אותה מהתחלה ועד סופה - אל תפסיק לקרוא חידה
באמצע כי אתה חושב שעלית על הרעיון , כי לרוב הדבר לא כך.

יום טוב :) !

אריאל
21-12-2008, 00:49
אם כך להלן הפתרון :

Sn=100 \ \ n=5

כעת , אם D>0 אז האיברים הקטנים הם a1,a2 ומתקיים :

a1+a2=\frac{1}{7}[100-[a1+a2]] \\ 2a1+d=\frac{1}{7}[100-2a1-d] \\ 14a1+7d=100-2a1-d \\ 16a1+8d=100 \\ d=12.5-2a1

ועבור כל D מתקיים גם :

Sn=100 \\ \frac{5[2a1+4d]}{2}=100 \\ 10a1+20d=200 \\ a1=20-2d

ואצלנו :

d= 12.5-2[20-2d] \\ d=\frac{55}{6} \\ a1=\frac{5}{3}

a2=\frac{65}{6}

a3=20

a4=\frac{175}{6}

a5=\frac{115}{3}

עבור D<0 האיברים הקטנים הם a4,a5 ומתקיים :

a4+a5=\frac{1}{7}[100-a4-a5]

7a4+7a5=100-a4-a5 \\ 8a4+8a5=100 \\ 8a1+24d+8a1+32d=100 \\ 16a1+56d=100 \\ 16[20-2d]+56d=100 \\ d=-\frac{55}{6} \\ a1=\frac{115}{3}

והאיברים הם בדיוק בסדר ההפוך לאלה שלמעלה ...

a1=\frac{115}{3} \\ a2=\frac{175}{6} \\ a3=20 ....

גל_כהן
21-12-2008, 05:07
מדויק , כל הכבוד !
אגב , על פי נוסח החידה המקורית , הכוונה היא שההפרש בין החלקים הינו חיובי.

יום טוב :) !

Hurricane
22-12-2008, 18:28
תשובה לחידה מספר 3:
לא אמרת שאין לחזור על אותם האיברים פעמיים ולכן בכל טור ושורה יהיו האיברים 512, 8 ו- 1.

גל_כהן
22-12-2008, 18:34
יש 9 איברים ולכל איבר מיועדת משבצת.
שים לב שזהו ריבוע קסם ומתוך הגדרתו אסור לחזור על אותו מספר פעמיים.
אגב , בביטוי "כל כיוון" , הכוונה היא גם לאלכסונים.

* הייתי גם שמח אם תעלה ריבוע קסם העונה לדרישות שרשמת.

יום טוב :) !

Hurricane
22-12-2008, 18:52
הצלחתי את חידה 3. :)
האיברים (מהנקודה השמאלית למעלה וממשיך ימינה, אחר כך חוזר לאיבר הכי שמאלי ויורד שורה):
8,256,2,4,16,64,128,1,32

גל_כהן
22-12-2008, 18:57
מדויק - כל הכבוד !
אגב , הספר רשם את אותו הפתרון (רק בסדר הפוך של השורות) ומובן שקיימים עוד פתרונות.

ועכשיו , נשדרג חידה זו :
ניקח ריבוע קסם של 4x4 (משמע המספרים רצים בין 1 ל-16).
סדרו את המספרים כך שהסכום בכל שורה , טור ובכל אחד מהאלכסונים הגדולים יהיה 34.

יום טוב :) !

גל_כהן
03-01-2009, 21:39
****הקפצה****

Hurricane
12-01-2009, 19:22
כמה חידות נוספות שמצאתי:
1. איזה מספר מבין המספרים הבאים לא שייך לסדרה הבאה? 2,3,6,7,8,14,15,30
2. איזה מספר מבין המספרים הבאים לא שייך לסדרה הבאה? 1,2,5,10,13,26,29,48
3. ראלף אוהב את המספר 25 אבל לא את 24; הוא אוהב את המספר 400 אבל לא 300; הוא אוהב את המספר 144 אבל לא 145. איזה מספר הוא אוהב מהמספרים הבאים? 10,50,124,200,1600
4. כמה מרובעים יש בציור הבא?
http://www.free-iqtest.net/images/q16.gif
5. מצאו את האיבר החסר בסדרה הבאה: 1,8,27,?,125,216. תשובות אפשריות: 36,45,46,64,99.

בהצלחה!! :)

גל_כהן
12-01-2009, 19:28
תשובות ל-3 ו-5 :
ראלף כנראה אוהב את המספר 1600 , שכן הוא אוהב מספר ריבועיים.
האיבר החסר הוא 64 שכן זוהי סדרת החזקות השלישיות של המספרים 1-5.

תשובות לשאר בהמשך.

יום טוב :) !