PDA

צפה בגרסה המלאה : סדרה הנדסית



mai123
27-03-2011, 09:51
בסדרה הנדסית של מספרים מרוכבים נתון
a1=1-i
a4=4i
א. מצא את מנת הסדרה - רשום את כל הפתרונות בצורה a+bi
ב. אחד הפתרונות שמצאת בסעיף א' נמצא ברביע הראשון במישור גאוס.
עבור פתרון זה , הוכח כ כל איברי הסדרה העומדים במקומות ה- 4n+2 הם מספרים ממשיים (n מספר טבעי )

תשובות:
Q=0.366-1.366i

q=-1.366+0.366i

q=1+i

איך יכול להיות בכל שיש כמה מנות לסדרה??????

asherm01
27-03-2011, 10:32
פיתרון-
מהנוסחא-
a_n=a1*q^{n-1} מצאי את האיבר השני.
כעת:
המנה qנתונה: \frac{a_2}{a_1}
אל תישכחי שמכפילים בצמוד של המכנה....! ;)
בסעיף ב'-
פשוט כיתבי את האיבר הכללי שיתאר את האיבר 4n+2, ע"י הצבה בנוסחת האיבר הכללי:a_n=a1*q^{n-1} ומכאן, תציבי ב: n את 4n+2 כך:
a_{4n+2}=(1-i)*q^{4n+2-1}=(1-i)*q^{4n+1}
תציבי את שני הפיתרונות ל: q מסעיף א', ותיווכחי לדעת כי רק אחד מהם הוא ממשי
ייצא משהו מהצורה: c*d^n

mai123
28-03-2011, 11:08
איך אני מוצאת את האיבר השני ? יוצא לי פסוק אמת.. כי נשארתי עם q

hold
07-04-2011, 14:50
איך פותרים את זה???

ShoobyD
07-04-2011, 16:01
סעיף א'
\frac{a_4}{a_1} = \frac{4i}{1-i} = \frac{4i(1+i)}{|1-i|^2} = \frac{4(i-1)}{2} = -2+2i = 2\sqrt 2\operatorname{cis}135^\circ = q^3

ולכן ישנם 3 פתרונות למנה: q_1=\sqrt 2\operatorname{cis}45^\circ ,\, q_2=\sqrt 2\operatorname{cis}165^\circ ,\, q_3=\sqrt 2\operatorname{cis}285^\circ

או בהצגה קרטזית: q_1=1+i ,\, q_2 \approx -1.366+0.366i ,\, q_3\approx 0.366-1.366i


סעיף ב'
המנה שברביע הראשון היא q_1=1+i = \sqrt 2\operatorname{cis}45^\circ

בהתאם למה שאשר כתב לעייל, האיברים שבמיקום ה-4n+2 הם:
a_{4n+2}=(1-i)\cdot q^{(4n+2)-1}=(\sqrt 2\operatorname{cis}-45^\circ)\cdot (\sqrt 2\operatorname{cis}45^\circ)^{4n+1} =\\= (\sqrt 2)^{4n+2} \operatorname{cis}\(-45^\circ+(4n+1)45^\circ\) = 2^{2n+1}\operatorname{cis}\(180^\circ n\) = (-1)^n 2^{2n+1}

וברור שהביטוי האחרון ממשי (ואפילו שלם :))