PDA

צפה בגרסה המלאה : סדרה הנדסית



xxeden
28-03-2011, 16:14
נתונה סדרה הנדסית: i,\frac{\sqrt{3}}{2}-0.5i,-\frac{\sqrt{3}}{2}-0.5i ...
הוכח : a_{3n+1}=i לכל ערך של n.

ShoobyD
28-03-2011, 16:44
q = \operatorname{cis} 240^\circ

q^3 = \operatorname{cis} (3\cdot 240^\circ) = \operatorname{cis} (720^\circ) = \operatorname{cis} (2\cdot 360^\circ) = 1

כלומר לאחר כל 3 איברים אנו חוזרים חזרה (הסדרה נעה במעגל של שלושה איברים שחוזרים על עצמם)

sushi
04-05-2011, 21:24
אפשר לקבל פתרון מלא לשאלה הזאת?

ShoobyD
05-05-2011, 01:17
ומה עם מה שכתבתי לעייל? אם q^3 = 1 זה עונה על השאלה, ונתתי גם הסבר כללי למה.

אבל אם בכל זאת את רוצה פירוט "מתמטי": a_{3n+1} = a_1\cdot q^{3n} = a_1\cdot 1^n = a_1 = i

mai123
21-05-2011, 08:30
ניסיתי להציב בנוסחה של האיבר הכללי... ונשאר לי i כפול ציס n .... כי מנת הסדרה היא ציס 240 והאיבר הראשון הוא i ... אי אפשר לפתור לפי הנוסחה הזאת?

lalakalala
21-05-2011, 17:24
בשאלות כאלה כדאי להמיר את האיברים להצגה קוטבית:
cis90,cis330,cis210
כדי למצוא את q תחלקי את האיבר השני (cis330) באיבר הראשון (cis90), ויצא לך cis(330-90)=cis240
a(3n+1)=a(1)*cis240^3n=cis0*cis720n=cis(720n)=cis( 360*2n)=i
כל כפולה של 360 בתוך ה-cis תיתן לך i, כי cis0=cis360=cis720 וכך הלאה.

mai123
21-05-2011, 20:52
לא ממש הבנתי את השלב האחרון . אחרי הציס 720n
נשאר לי ציס 360+ציס 2n....