PDA

צפה בגרסה המלאה : פונקציות מעריכיות ולוגרתמיות



sapirD
16-04-2011, 23:04
http://www.ufu.co.il/files/260dcywebtfmatfryg3a.jpg
תודה לעוזרים :)

אריאל
16-04-2011, 23:38
ישר מקביל לציר ה Y הוא מהצורה x=k

נסמן את נקודות החיתוך :

A(k,ln(k^2+1) ) \ , \ B(k, ln(ak ) )

כעת להעזר בדיסדנס לבנות פונקציה : f(k) שתבטא את המרחק הזה, לגזור ולהציב k=ln2 שכן זוהי נקודת קיצון אז היא מאפסת את הנגזרת.

sapirD
16-04-2011, 23:54
יש בעיה.. בגזירה של הפונקציה הa מתבטל לי..

deedeeharris
17-04-2011, 00:11
לגזור ולהציב k=ln2 שכן זוהי נקודת קיצון אז היא מאפסת את הנגזרת.

בשאלה נתון ש-ln2 הוא האורך המינימלי, ולא ה-k עבור האורך המינימלי.

ilmichal1
17-04-2011, 00:18
פתרון:

האורך הוא-

AB=ln(k^2+1)-ln (ak)

נמצא את הנגזרת-

AB'=\frac{2k}{k^2+1}-\frac{a}{ak} \\ AB'=\frac{2k}{k^2+1}-\frac{1}{k}

נשווה ל0 ונמצא נקודות קיצון-

\frac{2k}{k^2+1}-\frac{1}{k}=0 \\ \frac{2k}{k^2+1}=\frac{1}{k} \\ 2k^2=k^2+1 \\ k^2=1 \\ k=\pm 1

נמצא נגזרת שנייה ונבדוק את סוג הקיצון-

AB''=\frac{2(k^2+1)-2k \cdot 2k}{(k^2+1)^2}-\frac{0 \cdot k-1 \cdot 1}{k^2} \\ AB''=\frac{2k^2+2-4k^2}{(k^2+1)^2}+\frac{1}{k^2} \\ AB''=\frac{-2k^2+2}{(k^2+1)^2}+\frac{1}{k^2}

נציב k=1

AB''(1)=\frac{-2 \cdot 1^2+2}{(1^2+1)^2}+\frac{1}{1^2}=1>0-min

נציב k=-1

AB''(-1)=\frac{-2 \cdot (-1)^2+2}{((-1)^2+1)^2}+\frac{1}{(-1)^2}=1>0-min

האפשרות k=-1 נפסלת משום שלפי תחום ההגדרה של לן, פנים הלן צריך להיות גדול מ0.

נציב k=-1 ב-AB ונשווה ל-ln 2

ln 2=ln(1^2+1)-ln (a \cdot 1) \\ ln(a)=0 \\ log_e (a)=0 \\ a=e^0-->a=1

בהצלחה..מקווה שמובן..;)