PDA

צפה בגרסה המלאה : התמרות זהות?



הדר
10-06-2011, 17:04
יש משהו קטן שמציק לי ולא ברור לי למה ההתמרה לא אמורה להיות זהה..

ידוע שהתמרת פורייה של הפונקציה הבאה:
f(x)=e^{-a|x|}

עבור a חיובי היא:

\frac{a}{pi(a^2+w^2)}

כעת, נתונה לי הפונקציה הבאה:H
השווה ל-0 עבור איקסים שליליים, ול-1 עבור איקסים אי שליליים.

שואלים למה שווה ההתמרה של

f(x)=H(x)e^{-ax}
עבור a חיובי.

ולפי התשובה הסופית ההתמרה היא:

\frac{a-iw}{2pi(a^2+w^2)}

השאלה שלי היא למה בעצם שיהיה הבדל בין ההתמרות?

אריאל
10-06-2011, 17:23
פיתוח ההתמרה של הפונקציה : e^{-a|x| } :

\hat{f} = \frac{1}{ 2 \pi } \int_{ -\infty }^{ \infty} e^{-a|x| } e^{-iwx} dx

\hat{f} = \frac{1}{2 \pi} [ \int_{ -\infty }^{ 0 } e^{(a-iw) x } dx + \int_{ 0 }^{ \infty} e^{-(a+iw)x } dx ] = \frac{1}{ 2 \pi } [ \frac{1}{-iw+a}-0+0-\frac{1}{-iw-a} ]

\frac{1}{ 2 \pi } [ \frac{1}{-iw+a}-0+0-\frac{1}{-iw-a} ] = \frac{1}{2 \pi } [ \frac{1}{a-iw}+\frac{1}{a+iw}] = \frac{a}{ \pi (a^2+w^2) }

כמובן שאם חלק אחד של האינטגרל הוא אפס, אז התוצאה משתנה משמעותית .

הדר
10-06-2011, 17:43
אה..הכללתי בכיוון הלא נכון..

הבנתי.

תודה=)