PDA

צפה בגרסה המלאה : התאמה חח"ע בין המספרים הממשיים שבין 0 ל1 למספרים הטבעיים?



הדר
16-06-2011, 01:04
נתחיל מהמספרים שיש להם רק ספרה אחת אחרי הנקודה העשרונית ונסדר אותם באופן הבא:
0.1--->1
0.2--->2
.
.
.
.0.9--->9

לאחר מכן נעבור למספרים שיש להם שתי ספרות אחרי הנקודה (לא כולל 0 בסוף..)ונמשיך כך:
0.01--->10
0.02--->11
.
.
.
0.09--->19
0.11--->20
0.12--->21
.
.
0.99--->99

וכך נוכל להמשיך לסדר את המספרים גם עבור 3 ספרות אחרי הנקודה וכן הלאה...

בעצם מצאנו התאמה בין הממשיים לטבעיים, בניגוד להוכחה של קנטור לכך שזה לא ייתכן!(ראו האלכסון של קנטור – ויקיפדיה (http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%90%D7%9C%D7%9B%D7%A1%D7%95%D7%9F_%D7%A9% D7%9C_%D7%A7%D7%A0%D7%98%D7%95%D7%A8))

guy-marcus
16-06-2011, 01:12
יא!!
בדיוק אתמול לימדו אותי את הוכחת האלכסון של קנטור!!
חח עד שהבנתי את זה עכשיו אני כבר מבולבל.. (:

תמיר94
16-06-2011, 07:56
חשבתי על זה בעצמי... חשבתי שגיליתי את תגלית המאה :p
יש עם זה בעייה.. קחי לדוגמא את המספר פאי (פחות 3) או כל מספר אי רציונאלי אחר בין אספ לאחד.
המספר ה"טבעי" שיותאם לו יהיה אינסופי ואינו מוגדר כטבעי.. בהתחלה חשבתי שזו התחכמות כי מספר שלם חיובי הוא טבעי אבל ברור שהמספר צריך להיות סופי, אחרת יש בעייה בהגדרת עצמה של קבוצות.

הדר
16-06-2011, 08:23
חשבתי על זה בעצמי... חשבתי שגיליתי את תגלית המאה :p
יש עם זה בעייה.. קחי לדוגמא את המספר פאי (פחות 3) או כל מספר אי רציונאלי אחר בין אספ לאחד.
המספר ה"טבעי" שיותאם לו יהיה אינסופי ואינו מוגדר כטבעי.. בהתחלה חשבתי שזו התחכמות כי מספר שלם חיובי הוא טבעי אבל ברור שהמספר צריך להיות סופי, אחרת יש בעייה בהגדרת עצמה של קבוצות.

אני לא מבינה איך זה סותר..לפי השיטה הזאת, ישנה דרך להגיע אל כל המספרים לפי סדר ברור מאוד. מתישהוא נגיע גם למספרים ה"אינסופיים" האלה..הרי ההתאמה מוגדרת בצורה מאוד ברורה.

כמו שמוכיחים את ההתאמה בין המספרים הרציונלים לטבעיים...פשוט מראים דרך לסדר אותם...מתישהוא בהמשך אנחנו 'מבטיחים', נגיע לכל המספרים.

תמיר94
16-06-2011, 08:25
הבעייה היא שמספר בעל אינסוף ספרות, גם אם שלם וגם אם חיובי אינו טבעי.
מהגדרת מספר טבעי, הוא חייב להיות סופי. מספר טבעי הוא עצמה של קבוצה סופית.

הדר
16-06-2011, 08:36
הבעייה היא שמספר בעל אינסוף ספרות, גם אם שלם וגם אם חיובי אינו טבעי.
מהגדרת מספר טבעי, הוא חייב להיות סופי. מספר טבעי הוא עצמה של קבוצה סופית.

אני חושבת שאתה טוען כאן טענות שמסתמכות כבר על הרעיון שאני מנסה להפריך.

אתה אומר "מספר טבעי הוא עוצמה של קבוצה סופית.." - הרציונליים הם קבוצה סופית בעינייך?
אם ככה הטיעון שלך לא מתאים. אני מסתמכת על הטענה שקבוצת מספרים היא מאותה עוצמה של הטבעיים אם יש התאמה חד חד ערכית ועל בניהם...כך גם מראים שהרציונלים והטבעיים הם מאותה עוצמה. לא על סמך הטענות שהבאת.

קנטור הוכיח שלא יכולה להיות קיימת התאמה כזאת ע"י האלכסון המפורסם שלו. וכאן הפרדוקס.

תמיר94
16-06-2011, 08:55
עצמת הטבעיים קטנה מעצמת הממשיים.
הבעייה בהתאמה הזו היא שאת מתאימה למספר טבעי יחיד יותר ממספר ממשי אחד. (המספרים שמותאמים לאי רצינאלים לא נחשבים טבעים אך למרות זאת אראה לך שאינך יכולה להוכיח את טענתך אף אם היו טבעיים).
נתבונן בשני מספרים אי רציונאלים שונים כלשהם.
אם ההתאמה שלך נכונה, לכל אחד מהם מותאם טבעי שונה.
נתבונן במספרים הטבעיים המותאמים להם.
כל אחד מהמספרים שהותאם צריך להיות עצמה שונה. (מספר טבעי הוא עצמה של קבוצה מהגדרתו)
בשביל להוכיח את טענתך, עליך להצביע על קבוצה שהיא איבר באחת העצמת אך לא באחרת ובכך להוכיח שהן עצמות שונות ולא שמות שונים לאותה עצמה. (עצמה של קבוצה a היא קבוצה שאיבריה הן כל הקבוצות השקולות לa)
כל עוד לא תצביעי על קבוצה כזו, לא תוכיחי שמדובר בשתי עצמת שונות ולכן התאמת לאותה עצמה, לאותו מספר טבעי, שני מספרים אי רציונאלים שונים ומכאן שהתאמתך אינה חח"ע.

הדר
16-06-2011, 19:36
מממ...נראה לי שאני לא מבינה את כוונתך כל כך..למה להסתכל על זה דווקא כהתאמה בין עוצמה, לקבוצה בעלת אותה עוצמה?..לא לזה הכוונה. אם הייתי מגדירה את ההתאמה כ"כל מספר לעוצמה שלו" אז יש משהו במה שאתה אומר..אבל אני לא מסתכלת פה על המספרים הטבעיים כמצייני עוצמות , אלא רק כמספרים בני מנייה שניתן לסדר אותם אחד אחרי השני...

אריאל
16-06-2011, 20:00
הי הדר, מהצצה קטנה,

האינסוף של הממשיים גדול בהרבה מהאינסוף של הטבעיים ולכן ההתאמה שלך לא טובה .

אולי זה ימחיש :

אפשר להציג את כל הטבעיים בשיטה שלך באמצעות מספרים מהצורה 0.xxxx (שכן אפשר לקחת אינסוף מספרים אחרי הנקודה )

אבל אז עדיין נשארו לך מספרים מהצורה 1.1xxx וגם 2.xxxx וכול' .

תמיר94
16-06-2011, 22:25
הי הדר, מהצצה קטנה,

האינסוף של הממשיים גדול בהרבה מהאינסוף של הטבעיים ולכן ההתאמה שלך לא טובה .

אולי זה ימחיש :

אפשר להציג את כל הטבעיים בשיטה שלך באמצעות מספרים מהצורה 0.xxxx (שכן אפשר לקחת אינסוף מספרים אחרי הנקודה )

אבל אז עדיין נשארו לך מספרים מהצורה 1.1xxx וגם 2.xxxx וכול' .
אז מה?
אתה יכול למצא התאמה בין הממשים מ0 ל1 לכל הממשיים.. כך שהשיטה שלה עדיין תקפה.
אם a שקולה לb וb שקולה לc אז a שקולה לc.

תמיר94
16-06-2011, 22:31
מממ...נראה לי שאני לא מבינה את כוונתך כל כך..למה להסתכל על זה דווקא כהתאמה בין עוצמה, לקבוצה בעלת אותה עוצמה?..לא לזה הכוונה.
הסתכלתי על זה כהתאמה בין מספר ממשי לעצמת קבוצה, לא להתאמה בין עצמה לקבוצה.

אם הייתי מגדירה את ההתאמה כ"כל מספר לעוצמה שלו" אז יש משהו במה שאתה אומר..אבל אני לא מסתכלת פה על המספרים הטבעיים כמצייני עוצמות , אלא רק כמספרים בני מנייה שניתן לסדר אותם אחד אחרי השני...
הבנתי שזו לא הייתה כוונתך.
זכרי שהטענה ההתחלתית שלי כלל לא נגעה לדבר, אלה לכך שמספר אי רציונאלי (ללא הנקודה) אינו ממשי.
כדי להמחיש לך את זה הכנסתי את עניין העצמות.
את לא יכולה להתעלם מהעובדה שאינך מסוגלת להוכיח לי ששני מספרים "טבעיים" לדבריך, המותאמים למספר אי רציונאלי בהכרח שונים.
אולם אם תצליכי להצביע על קבוצה שמשתייכת לאחת העצמות אך לא לשנייה (ראי הודעתי הקודמת), מכאן שאין פסול בהוכחתך.

Learn
16-06-2011, 22:58
מהבנה בסיסית (תיכונית) שלי בנושא,
נניח שיצירת התאמה בין המספרים הממשים והרציונאלים בין אפס לאחד למספרים הטביעים...
אני יכול לתת לך מספר שספרותיו שונות מהמספרים שכבר התאמנו (נבחר סיפרת n אחרי הנקודה העשרונית שונה עבור המספר ה-nי). נקבל מספר רציונאלי חדש בין אפס לאחד שעוד לא עשינו לו התאמה..
את יכולה לענות לי נתאים לו מספר טבעי חדש.
אני אענה לך- בואי נעשה את זה אינסוף פעמים..
למעשה, אפשר להגיד שלכל מספר רציונאלי בין 0 ל-1 התאמנו מספר ממשי...
ואז נשארו לנו הלא רציונאלים שאין להם התאמה (לא חד ערכית).


מקווה שלא אמרתי שטויות....

תמיר94
16-06-2011, 23:06
מהבנה בסיסית (תיכונית) שלי בנושא,
נניח שיצירת התאמה בין המספרים הממשים והרציונאלים בין אפס לאחד למספרים הטביעים...
אני יכול לתת לך מספר שספרותיו שונות מהמספרים שכבר התאמנו (נבחר סיפרת n אחרי הנקודה העשרונית שונה עבור המספר ה-nי). נקבל מספר רציונאלי חדש בין אפס לאחד שעוד לא עשינו לו התאמה..
את יכולה לענות לי נתאים לו מספר טבעי חדש.
אני אענה לך- בואי נעשה את זה אינסוף פעמים..
למעשה, אפשר להגיד שלכל מספר רציונאלי בין 0 ל-1 התאמנו מספר ממשי...
ואז נשארו לנו הלא רציונאלים שאין להם התאמה (לא חד ערכית).


מקווה שלא אמרתי שטויות....
מה שאמרת, בין נכון ובין אם אלו, לא רלוונטי כל כך..
כל שעשית היה להראות התאמה אחת שאינה חח"ד בין הקבוצות, על מנת להפריך את טענתה יש להסביר מדוע ההתאמה הספציפית הזו שהיא הציעה, אינה מוכיחה את השקילות.
גם אני לא הפרכתי את טענתה כמו שצריך אלה השארתי לה להתמודד עם זה לבד, אך זאת משום שטענתי מורכבת להוכחה (לטעמי) ואני מוצא חוזר פרופורציה בין ההשקעה שיש להשקיע בהוכחת דברי לבין מטרת הדיון.

אריאל
17-06-2011, 09:07
אז מה?
אתה יכול למצא התאמה בין הממשים מ0 ל1 לכל הממשיים.. כך שהשיטה שלה עדיין תקפה.
אם a שקולה לb וb שקולה לc אז a שקולה לc.

זה היה רק להמחיש, הרי אתה תוכל להגיד מה שאתה אומר עכשיו תמיד(במילים), כי בשני המקרים מדובר באינסוף.

מה שהוכיחו זה שיש כמה סוגים של אינסוף .

הדר
17-06-2011, 13:45
הבעיה היא באמת באי רציונלים.
בניגוד להתאמה של הרציונלים למשל, בהתאמה כזאת לא נוכל להגיד בעצם מה בדיוק בא אחרי המספר 3 מינוס פאי למשל....והרי כל הרעיון של סידור ומנייה הוא העובדה שאפשר להגיד מה בא לפני ומה בא אחרי...

ShoobyD
17-06-2011, 18:24
ההתאמה שבנית היא רק למספרים בעלי פיתוח עשרוני סופי.
איזה מספר טבעי מותאם לשליש? (כלומר ל־0.33333\cdots)


עריכה: זו אינה בעיה של רציונליים/אי־רציונליים כמו שהוצע כאן. כמו שאמרתי לעיל, לשליש, שהוא רציונלי, אין התאמה.
זה נכון אמנם שכל הממשיים בעלי פיתוח פיתוח עשרוני סופי הם רציונליים, אבל זה אומר שההתאמה אפילו לא מכסה את כל הרציונליים..

הדר
18-06-2011, 21:33
ההתאמה שבנית היא רק למספרים בעלי פיתוח עשרוני סופי.
איזה מספר טבעי מותאם לשליש? (כלומר ל־0.33333\cdots)


עריכה: זו אינה בעיה של רציונליים/אי־רציונליים כמו שהוצע כאן. כמו שאמרתי לעיל, לשליש, שהוא רציונלי, אין התאמה.
זה נכון אמנם שכל הממשיים בעלי פיתוח פיתוח עשרוני סופי הם רציונליים, אבל זה אומר שההתאמה אפילו לא מכסה את כל הרציונליים..

צודק