PDA

צפה בגרסה המלאה : האולימפיאדה למתמטיקה שאלה חישובית!



Planche
24-09-2011, 22:50
חשב את ערך הביטוי

\frac{\frac{1}{1*100}+\frac{1}{2*99}+\frac{1}{3*98 }.....+\frac{1}{49*52}+\frac{1}{50*51}}{1+\frac{1} {2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+....\frac{1}{98}+\frac {1}{99}+\frac{1}{100}}

moran92
24-09-2011, 23:47
יצא לי \frac {1}{101} .

Planche
25-09-2011, 17:03
איך עשית?

moran92
25-09-2011, 17:48
הדרך שעשיתי: פתרוןJPG - UpF.co.il (http://www.upf.co.il/file/562491333.html).
אני מקווה שיבינו.

ShoobyD
25-09-2011, 19:00
הנה פתרון פשוט באמצעות כתיב מקוצר לסכומים:

תחילה נזכור כי \frac{1}{i} + \frac{1}{101-i} = \frac{101}{i\cdot (101-i)}


כעת נבטא את הביטוי בשאלה באמצעות סכומים:
\frac{\frac{1}{1*100}+\frac{1}{2*99}+\frac{1}{3*98 }.....+\frac{1}{49*52}+\frac{1}{50*51}}{1+\frac{1} {2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+....\frac{1}{98}+\frac {1}{99}+\frac{1}{100}} = \frac{ \sum_{i=1}^{50} \frac{1}{i\cdot (101-i)} }{ \sum_{i=1}^{100} \frac{1}{i} } = \frac{ \sum_{i=1}^{50} \frac{1}{i\cdot (101-i)} }{ \sum_{i=1}^{50} \frac{101}{i\cdot (101-i)} } = \frac{ \cancel{\sum_{i=1}^{50} \frac{1}{i\cdot (101-i)}} }{ 101\cdot\cancel{\sum_{i=1}^{50} \frac{1}{i\cdot (101-i)}} } = \frac{1}{101}

(במעבר השני האינדקס במכנה יורד מ־100 ל־50 מכיוון שאנו מורידים את מספר האיברים בחצי, כל זוג איברים "משלימים" מתמזגים לאחד, לפי ההערה למעלה)

Planche
25-09-2011, 20:31
אתה יכול בבקשה להגיד מאיפה מגיע השיוויון הזה? ולמה השתמשת דווקא באות i בשביל לסמן את זה?

חחח אני כיתה י''א ועוד לא למדנו את זה

ShoobyD
26-09-2011, 01:59
עזוב i, נחליף אותו ב־x כדי למנוע בלבול: \frac{1}{x} + \frac{1}{101-x} = \frac{101-x+x}{x\cdot (101-x)} = \frac{101}{x\cdot (101-x)}
פשוט בדר״כ משתמשים ב־i לתיאור אינדקס (וכן ב־j ו־k), אז השתמשתי בו מההתחלה. :)



מכיוון שכנראה לא כולם מכירים פה את סימון הסכום, הנה אותו הדבר ב־"צורה מפושטת":

\frac{ \frac{1}{1\cdot 100}+\frac{1}{2\cdot 99}+\frac{1}{3\cdot 98}+\ldots+\frac{1}{49\cdot 52}+\frac{1}{50\cdot 51} }{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac {1}{98}+\frac{1}{99}+\frac{1}{100} } = \frac{ \frac{1}{1\cdot 100}+\frac{1}{2\cdot 99}+\frac{1}{3\cdot 98}+\ldots+\frac{1}{49\cdot 52}+\frac{1}{50\cdot 51} }{ \(\frac{1}{1}+\frac{1}{100}\) + \(\frac{1}{2}+\frac{1}{99}\) +\ldots+ \(\frac{1}{50}+\frac{1}{51}\) } =\\\,\\= \frac{ \frac{1}{1\cdot 100}+\frac{1}{2\cdot 99}+\ldots+\frac{1}{50\cdot 51} }{ \frac{101}{1\cdot 100}+\frac{101}{2\cdot 99}+\ldots+\frac{101}{50\cdot 51} } = \frac{ \cancel{\frac{1}{1\cdot 100}+\frac{1}{2\cdot 99}+\ldots+\frac{1}{50\cdot 51}} }{ 101\cdot\(\cancel{\frac{1}{1\cdot 100}+\frac{1}{2\cdot 99}+\ldots+\frac{1}{50\cdot 51}}\) } = \frac{1}{101}


מקווה שכך מובן יותר. :)

moran92
26-09-2011, 07:16
יאוו איזו דרך מפגרת עשיתי.