PDA

צפה בגרסה המלאה : הפרדוקס של ZENO :)



אריאל
05-03-2008, 11:22
אצן מתחרה נגד צב מרחק של נניח 100 מטר, מהירות האצן פי עשר יותר גדולה ממהירות הצב . הצב מתחיל 10 מטר אחרי קו ההתחלה .
אחרי שניה הצב יעשה מטר והאצן 10 מטר .
עד שהאצן יעשה את ה מטר הזה הצב יעשה עוד 10 ס"מ .
עד שהאצן יעשה את העשר ס"מ האלה הצב יעשה עוד ס"מ וכך הלאה והלאה..

האצן בחיים לא יעקוף את הצב , כיצד זה ייתכן ?

http://mathforum.org/isaac/problems/images/runner.gif
האצן מאוכזב ...;)

yoavzilberman
05-03-2008, 11:47
למרבה אכזבתו של הצב האצן אכן יעקוף אותו.
אתה דיברת כל הזמן על מרווחים הולכים וקטנים פי עשרה, כלומר אתה כל פעם מתקרב לגבול בצורה אינפנטיסימלית, אולם קל לראות שהאצן עובר את הצב במרחק 1.11111112 כלומר כל עוד המרחק ישאף ל-1.111111111111111111111111 (עד אינסוף אחרי הנקודה), האצן לא יצליח לעקוף את האצן, אך זהו חלק המרחק בו האצן מתקרב אל הצב!
בחלק האחר של המרחק זה שמעבר לגבול הנ"ל האצן המאושר עוקף כבר את הצב המסכן!

אריאל
05-03-2008, 12:07
בחלק האחר של המרחק זה שמעבר לגבול הנ"ל האצן המאושר עוקף כבר את הצב המסכן!

מעבר לגבול? איך בדיוק תעבור את הגבול אם הוא אינסוף? הרי זה ממשיך ככה עוד ועוד .. עד אינסוף !

yoavzilberman
05-03-2008, 14:50
הגבול הוא לא אינסוף אלא 1.1111111111111111111111 (המשך הספרות אחרי הנקודה הוא עד אינסוף), כבר ציינתי שעבור כל מרחק גדול מהנ" האצן יעקוף את הצב, למשל: 1.112

אריאל
05-03-2008, 15:08
נו בדיוק זה מה שאני אומר.. איך תגיע ל 1.112 אם אתה ממשיך 1.11111111111111111111111111111111 עד אינסוף...? הרי זה אינסוף,כלומר , לא נגמר אפעם ככה שבחיים לא תגיע ל 1.112 .
איך זה הגיוני ? ;)

yoavzilberman
05-03-2008, 16:12
אני פשוט לא מבין איפה הסתירה!
אתה זה שבחרת לאמר שכאשר הצב עובר עוד עשירית מהמרחק שעבר עד אותה עת האצן לא יצליח לעקוף אותו. אבל כאשר הצב יעבור 12 מטר האצן כבר מאחוריו. בין כל שני מספרים יש אינסוף מספרים שבתחומם דבר לא מתקיים ואחריהם דבר כן מתקיים.
אם אומר לך שתוך שתי שניות אני בירושלים. אולם אני אומר עברה שנייה ואני לא בירושלים עברה עוד עשירית שנייה ואני לא בירושלים, עברה עוד מאית שנייה ואני לא בירושלים וכך הלאה.... מה זה לא יהיה הגיוני? זה נכון ואין כאן סתירה, כל עוד אתה בוחר להתסכל על המציאות כתוספות קטנות אתה לא מסתכל על המקרו. כי ב-12 המטר האצן עוקף את הצב אולם בתחום עד 11.1111111111 הוא לא עוקף אותו, אך האצן בכלל לא מגיע לתחום הזה אלא עוקף אותו. כל גבול הוא דימיוני ותחום הוא רק תחום ולא מגבלה! האם עדיין הרעיון לא מובן?

אריאל
05-03-2008, 16:21
טוב התייאשתי לא הבנת תבעיה חחח אני פשוט אגיד את הפתרון ותבין למה התכוונתי...
הרעיון הוא כזה ש 1\2 + 1\4 + 1\8 + 1\16 וכול' וכול' עד אינסוף = 1 שלם ! וזה למה אתה צודק במה שאתה אומר האצן באמת יעקוף אותו !

yoavzilberman
05-03-2008, 17:59
ואיך בדיוק הנימוק שלך מסביר מדוע אתה צודק?

אריאל
05-03-2008, 18:15
כל הרעיון זה שהצב ממשיך להיות אחרי האצן עד האינסוף... 1\2 , 1\4 , 1\8 .......... בכל הזמנים האלה עד האינסוף הצב יוביל !
ואם זה עד האינסוף , זה אפעם לא נגמר , כלומר הצב תמיד יוביל עד האינסוף! אבל לא! כמו שאנחנו יודעים במציאות זה לא נכון ..
אז מה הפתרון ? ש 1/2 + 1\4 + 1\8 + ............... עד אינסוף = 1 שלם ולכן האצן באמת יעקוף את הצב .