PDA

צפה בגרסה המלאה : שאלה בנושא כינוס למספר סופי



tototomer1
18-10-2011, 05:16
יש הוכחה כלשהי ש 0.9999999... שווה בדיוק ל1.

אני לא מכיר את ההוכחה ודי בטוח שאני גם לא אבין אותה, אבל בכל זאת יש לי שאלות עליה :)

אם 0.9999999999... שווה ל1 אזי 0.88888888... שווה ל0.9? :)

כמו כן, אפשר גם להגיד ש0.111111111111... שוה ל0.2? איך הולך עיקרון העיגול/כינוס הזה?

חן_
19-10-2011, 00:36
נראה לי שהצלחתי להוכיח שזה נכון, מכיוון 1=1/3+1/3+1/3
ו-...0.333333333=1/3
אז ...0.99999999=1

גל_כהן
19-10-2011, 00:49
חן, להשתמש בקירוב אחד כדי להוכיח קירוב אחר זה קצת מצחיק.

תומר, ההסבר הפשוט שאני מכיר הוא שימוש בסדרה הנדסית.
אמנם עוד לא למדת, אבל שים לב היטב, אני אסביר בקצרה.

נרשום 0.99999999...=0.9+0.09+0.009+... וכמובן שזהו
סכום אינסופי.
נוכל לסדר את המחוברים כסדרה - 0.9,0.09,0.009,...,0.000009,... וכמובן שזה ממשיך עם אינסוף איברים.

קל לשים לב כי מתקיים a_n=0.9\cdot{0.1^{n-1}} וניתן לרשום \frac{a_{n+1}}{a_n}=0.1,
כלומר המנה בין כל שני איברים היא קבועה ולכן מדובר בסדרה הנדסית.
היות ש-0<q<1, אזי הסדרה היא סדרה הנדסית אינסופית וסכומה מתכנס ומקיים S_n=\frac{a_1}{1-q}
קל להציב את הערכים ולהראות שהסכום המתקבל הוא בדיוק 1 ומכאן ש-...0.99999999 שווה ל-1.

באשר לקירובים האחרים, ניתן להיעזר בדיוק באותו עיקרון כדי להראות כי ...0.8888888 שווה ל-8/9
וכי ...0.111111111 שווה ל-1/9.

gilas
19-10-2011, 01:01
בזמנו הציגו לי הוכחה אחרת, סליחה גל, עייפה מדי לקרוא את ההודעה שלך...:(

נסמן x=0.99999999

נכפול את המשוואה ב-10 : 10x=9.9999999....
נכפול את המשוואה ב-100 : 100x=99.999999...

נחסר את המשוואות : 100x-10x=99.999999...-9.9999999...

ונפתור:
90x=90
ולכן
x=1

גל_כהן
19-10-2011, 01:03
גילה, לא עדיף כבר לחסר בין השתיים הראשונות? לשום מה גם ההכפלה ב-100?

במילים של תומר, אני תמה על פשר המשוואה הנוספת.

susdu
19-10-2011, 01:08
כמה פשוט ככה נכון gilas

gilas
19-10-2011, 01:08
גילה, לא עדיף כבר לחסר בין השתיים הראשונות? לשום מה גם ההכפלה ב-100?

במילים של תומר, אני תמה על פשר המשוואה הנוספת.

חח, גל , לא הבנתי מה אומר "במילים של תומר" אחרי לילה שני כמעט בלי שינה, השאלה שלך קשה לי מדי עכשיו...
ואני תמהה מה אני מגיבה בכלל. אוסף של אנשים תמהים יש פה באתר ;)

טוב, נו , אתה צודק. אבל רק רציתי לראות אם מישהו ישים לב :)

gilas
19-10-2011, 01:10
כמה פשוט ככה נכון gilas
זה לא אני. הלוואי היה לי ראש שכזה.

tototomer1
19-10-2011, 01:10
נחסר את המשוואות : 100x-10x=99.999999...-9.9999999...

-לא חשוב-

וגל, אהבתי :)

tototomer1
19-10-2011, 01:11
לא חשוב אל תתייחסי ללמעלה.. עכשיו בדקתי והבנתי..

אז זאת באמת הוכחה פשוטה ונכונה XD כל הכבוד :)

susdu
19-10-2011, 01:12
דרך נוספת:

\\\\\frac{1}{9}=0.111111111111........ \\\\9*\frac{1}{9}=9*0.111111111111........ \\\\\frac{9}{9}=0.9999999999999........ \\\\1=0.9999999999999........

gilas
19-10-2011, 01:12
לא חשוב אל תתייחסי ללמעלה.. עכשיו בדקתי והבנתי..

אז זאת באמת הוכחה פשוטה ונכונה XD כל הכבוד :)
אחלה.

tototomer1
19-10-2011, 01:12
וגל, האמת לא הבנתי בדיוק מה שרשמת, אבל אחרי שאני אלמד סדרות אני אחזור לנושא הזה ואז אני אבין :)

gilas
19-10-2011, 01:15
דרך נוספת:

\\\\\frac{1}{9}=0.111111111111........ \\\\9*\frac{1}{9}=9*0.111111111111........ \\\\\frac{9}{9}=0.9999999999999........ \\\\1=0.9999999999999........
susdu, לך יש "ראש כזה".
את זה כבר ראינו מזמן.

susdu
19-10-2011, 01:17
איזה ראש?

gilas
19-10-2011, 01:21
איזה ראש?
סליחה, לא הבהרתי באמת (צריכה להגמל מההרגל של "לחשוב בקול") -
ראש חכם כזה. כבר אמרתי שתענוג לקרוא דברים שאתה כותב

susdu
19-10-2011, 01:26
לא חכם, יותר למוד טעויות :)

חן_
19-10-2011, 01:27
נראה לי שהצלחתי להוכיח שזה נכון, מכיוון 1=1/3+1/3+1/3
ו-...0.333333333=1/3
אז ...0.99999999=1
איך זה טעות?
הצבתי : 1=...0.33333+...0.3333333+...0.3333333
ואז 1=...0.99999

גל_כהן
19-10-2011, 01:28
susdu, הדרך שלך זהה לזו שחן_ הציעה בתחילה ונראה לי שכבר ציינתי ששימוש בקירוב אחד כדי להציג קירוב
אחר הוא דבר קצת מצחיק. אולי זה מצחיק רק בעיניי, נראה שבעיניי גילה זה מבריק.

וגילה, ה"במילים של תומר" מן הסתם היה מעין עקיצה פרטית לתומר, אל לך להתייחס.
אולי אחרי שני לילות לבנים וטרם החג כדאי שתשני קצת, לא?

gilas
19-10-2011, 01:29
לא חכם, יותר למוד טעויות :)
ללמוד מטעויות זו החוכמה והיא לא טריויאלית בכלל... לדעתי לפחות.

חן_
19-10-2011, 01:29
אה הבנתי...
ובאמת חשבתי איך זה שהדרך של susdu נכונה ושלי לא

susdu
19-10-2011, 01:30
susdu, הדרך שלך זהה לזו שחן_ הציעה בתחילה ונראה לי שכבר ציינתי ששימוש בקירוב אחד כדי להציג קירוב
אחר הוא דבר קצת מצחיק. אולי זה מצחיק רק בעיניי, נראה שבעיניי גילה זה מבריק.


מה כוונתך?

גל_כהן
19-10-2011, 01:35
לקחת את הקירוב של 1/9 והכפלת אותו ב-9 כדי לקבל את הקירוב של 1, בעיניי שימוש שכזה בקירוב אחד
כדי לקבל קירוב אחר הוא דבר קצת בעייתי, אבל כמו שאמרתי, יכול להיות שזה רק בעיניי. יכול להיות
שזה קביל לחלוטין ואין שום בעיה.

gilas
19-10-2011, 01:35
susdu, הדרך שלך זהה לזו שחן_ הציעה בתחילה ונראה לי שכבר ציינתי ששימוש בקירוב אחד כדי להציג קירוב
אחר הוא דבר קצת מצחיק. אולי זה מצחיק רק בעיניי, נראה שבעיניי גילה זה מבריק.

וגילה, ה"במילים של תומר" מן הסתם היה מעין עקיצה פרטית לתומר, אל לך להתייחס.
אולי אחרי שני לילות לבנים וטרם החג כדאי שתשני קצת, לא?
הבנתי שזו בדיחה פרטית.
וכן אני קמה. הבעיה שאני באמצע שיר...
לילה טוב שיהיה וחג שמח.

susdu
19-10-2011, 01:37
0.1111... הוא לא קירוב של 1/9, הוא הצורה המדויקת ביותר להצגת המספר הזה (מלבד 1/9), שמורכב מאינסוף ספרות של 1 אחרי הנקודה.
גם 0.9999... הוא לא קירוב של 1, אלא 1.

גל_כהן
19-10-2011, 01:42
לא יודע, עדיין נראה לי קצת בעייתי. כנראה שזה רק אני. אולי בבוקר אני אחשוב אחרת...

susdu
19-10-2011, 01:47
אין ספק שההוכחה שלך מעניקה רקע מעמיק יותר באשר למהות הקשר בין שני המספרים,
כיוון שהיא עושה שימוש באופן שבו מרכיבים מספרים סופיים (0.9+0.09...)
אם הייתי צריך באמת להסביר למישהו כדי שיבין את "מאחורי הקלעים", הדרך שלך היא אופטימלית
ההוכחות האלגבריות דוגמת שלי ושל חן_ (שגם נכונה) הן יותר תמציתיות ונשענות על ידע קודם (או לפחות זאת השאיפה)
של המתעניין.

יערה1
19-10-2011, 04:01
לגבי מה שכתבו על הסדרות האינסופיות- זה לא נכון כי סכום של סדרה הנדסית אינסופית הוא בעצם הגבול אליו סכום הסדרה יגיע, כלומר קוראים לזה סכום הסדרה, אבל בעצם לשם סכום הסדרה שואף, אך לא מגיע לשם- זהו הגבול.

susdu
19-10-2011, 07:25
את טועה. השימוש הסמנטי במילה גבול כערך שלא ניתן להגיע אליו לא משליך על העובדה שסכום הסדרה (0.9+0.09+...) הוא עדיין 1.
מערכת המספרים שאת מכירה נסמכת על התכונה הארכימדית שאומרת שלא קיימים מספרים קטנים או גדולים עד אינסוף. בהיעדר מספרים כאלה ניתן לומר ש0.999...=1, כיוון שאנו גורסים שקיימות רק 2 אפשרויות: או ששני מספרים זהים או שלא.

בניגוד למה שאת חושבת, מתמטיקה היא לא מדע מדויק. במילים אחרות היא אומרת:
"אם זה קרוב כל כך עד שלא ניתן להבחין בהבדל, מבחינתי הם זהים". אם אני ימכור לך 10 קילו תפוחים על מאזניים בשוק,
וסטיית המאזניים היא 1 גרם, את לא תדעי אם מכרתי לך 10 קילו או 9.99999999999 קילו, מבחינתך אלה עדיין 10 קילו תפוחים.

דרך אחרת להסתכל על העניין היא לנסות להכניס מספר בין 0.999... ושורה אינסופית של 9' לבין 1, ברור לך כי אין מספר כזה.
אפשר להתחכם ולהציג מערכות מספרים אחרות (מספרים היפר-ממשיים, בתרגום קלוקל לעברית) ששם ניתן לכמת את ההבדל ביניהם,
אולם במסגרת הדיון, 0.999...=1 מכל הבחינות.

גל_כהן
19-10-2011, 12:00
טוב, הגיע הבוקר וכנראה שהתפכחתי מאז הלילה, אני מסכים לחלוטין עם הדברים שציינת קודם.

ShoobyD
26-10-2011, 07:07
אם כבר אתם מסתמכים על ההצגה העשרונית כפיתוח של חילוק ארוך (כמו שסוסדו וחן עשו), ניתן לוותר גם על ההוכחות בעזרת כפל שלכם ולהראות שהשוויון מתקיים ישירות דרך חילוק ארוך של 9 ב־9..
רק צריך להתחיל ב־0 בספרה הראשונה במקום ב־1, ומכאן כל שאר הספרות במנה כבר אוטומטית מתקבלות כ־9.