PDA

צפה בגרסה המלאה : עזרה עם תרגיל בשדות



engk
06-11-2011, 19:48
אני לא יודע איך לגשת לתרגיל הזה, ופתרון עם הסבר ממש יעזור לי.

פתור משוואה ax=b בשדה F המצוין:
http://i44.tinypic.com/xneyvm.gif

מזה אומר שהשדה הוא Q-שורש3? ואיך ניגשים בכלל לתרגיל מהסוג הזה?
ולא הבנתי כ"כ את התבנית ax=b.
אשמח להסבר מורחב.

תודה רבה.

Ofir Shpigelman
07-11-2011, 20:27
השדה המדובר מוגדר באופן הבא (לנו נתנו להוכיח שהוא שדה):
\mathbb{Q}[\sqrt{3}]=\left \{ a+b\sqrt{3} \mid a,b\in \mathbb{Q} \right \}

עכשיו כשבתכלס אומרים לך לפתור משוואה שכזו, מה שאתה צריך בתכלס זה למצוא את ההופכי של המקדם של x כלומר:
(ax=b) \Rightarrow x=ba^{-1}

אז השאלה היא איך מוצאים את ההופכי של a. רעיון דומה יש במספרים מרוכבים עם המספר הצמוד.
a\cdot (1-2\sqrt{3})=(1+2\sqrt{3})(1-2\sqrt{3})=-11\Rightarrow a^{-1}=\frac{-1}{11}(1-2\sqrt{3})

ואז מה שנותר לך לעשות, זה להכפיל את הזוועה למעלה בb.

הדר
07-11-2011, 20:30
השדה המדובר מוגדר באופן הבא (לנו נתנו להוכיח שהוא שדה):
\mathbb{Q}[\sqrt{3}]=\left \{ a+b\sqrt{3} \mid a,b\in \mathbb{Q} \right \}

עכשיו כשבתכלס אומרים לך לפתור משוואה שכזו, מה שאתה צריך בתכלס זה למצוא את ההופכי של המקדם של x כלומר:
(ax=b) \Rightarrow x=ba^{-1}

אז השאלה היא איך מוצאים את ההופכי של a. רעיון דומה יש במספרים מרוכבים עם המספר הצמוד.
a\cdot (1-2\sqrt{3})=(1+2\sqrt{3})(1-2\sqrt{3})=-11\Rightarrow a^{-1}=\frac{-1}{11}(1-2\sqrt{3})

ואז מה שנותר לך לעשות, זה להכפיל את הזוועה למעלה בb.

בדר"כ אמורים גם להגדיר שהסימון הזה הוא כוונה למה שציינת עם הa והb.
בלי הגדרה לא אמורים לנחש שזו הכוונה..
אני גם זוכרת שנותנים בדר"כ להוכיח שהוא שדה.

engk
08-11-2011, 21:44
לא הבנתי למה כופלים בהופכי? ומספר כפול ההופכי שלו שווה 1, אז איך יצא לך 11-?
ואם זה b כפול ההופכי של a למה כפלת את a בהופכי של a?

אשמח אם תפשט את ההסבר, הנושא לא כל כך ברור לי.
תודה

engk
12-11-2011, 08:43
אשמח לעזרה בבקשה..

הדר
12-11-2011, 21:12
השדה המדובר מוגדר באופן הבא (לנו נתנו להוכיח שהוא שדה):
\mathbb{Q}[\sqrt{3}]=\left \{ a+b\sqrt{3} \mid a,b\in \mathbb{Q} \right \}

עכשיו כשבתכלס אומרים לך לפתור משוואה שכזו, מה שאתה צריך בתכלס זה למצוא את ההופכי של המקדם של x כלומר:
(ax=b) \Rightarrow x=ba^{-1}

אז השאלה היא איך מוצאים את ההופכי של a. רעיון דומה יש במספרים מרוכבים עם המספר הצמוד.
a\cdot (1-2\sqrt{3})=(1+2\sqrt{3})(1-2\sqrt{3})=-11\Rightarrow a^{-1}=\frac{-1}{11}(1-2\sqrt{3})

ואז מה שנותר לך לעשות, זה להכפיל את הזוועה למעלה בb.

היי
תסתכל שוב על מה שהוא עשה.
הוא אמר שהפתרון לאיקס הוא בעצם b כפול ההופכי של a, כי אם נצמצם את המשוואה שצריך לפתור בa נקבל למה איקס שווה.
זה למה צריך למצוא את ההופכי של a. אחרי שנמצא אותו, נכפול אותו בb ונקבל את הפתרון של איקס.

עכשיו איך נמצא מה ההופכי של a?
כמו שאמרת, מספר כפול ההופכי שלו שווה ל1. אבל אנחנו רוצים משהוא שיהיה מהצורה של השדה שציינו, ז"א עם שורש 3 וכו'...
אז בוא נראה:
1 חלקי a יהיה ההופכי. זאת אומרת:
\frac{1}{1+2\sqrt{3}}

נכפול מונה ומכנה ב1-2\sqrt{3}
(זה מה שהוא התכוון ל"כפול בצמוד" ..כאילו הצמוד של המכנה..)

נקבל במונה
1-2\sqrt{3}
ובמכנה:
מינוס 11

זה בעצם ההופכי של a . אותו נכפול בb הנתון ותוצאת הכפל תהיה האיקס המבוקש.

מקווה שיותר ברור.

הדר

engk
12-11-2011, 23:11
תודה רבה לכם.