PDA

צפה בגרסה המלאה : הוכחה במרוכבים



geynis
08-11-2011, 17:48
מישהו יכול לעזור בהוכחה הבאה:
הראה שכל מספר מרוכב השונה ממינוס 1 שערכו המוחלט שווה ל1 אפשר לייצגו כך:

\frac{1+ti}{1-ti}


t הוא מספר ממשי

תודה :)

Bogri74
08-11-2011, 18:00
חשב את הגודל של

(1+ti)/(1-ti)

ותראה שהוא שווה ל1 לכל t. אחרי זה תראה שהמספר הנ"ל לא יכול להיות שווה למינוס 1.

geynis
08-11-2011, 19:00
לא כל כך הבנתי,אפשר לראות בבירור שלא משנה איזה t יהיה שם הערך המוחלט של המנה הוא 1. כי זה שני מספרים צמודים. השאלה איך אני מוכיח שאני יכול לקחת מספר מרוכב ולרשום אותו בצורה הזאת. או שאני לא הבנתי את השאלה :/

Bogri74
08-11-2011, 20:31
ראשית נראה שגודל של המספר הוא 1 לכל t. מתקיים:

\frac{1+ti}{1-ti}=\frac{1+ti}{1-ti}\frac{1+ti}{1+ti}=\frac{1+2ti-t^2}{1+t^2}

כלומר המספר המופרד לחלק ממשי ומדומה הוא:

\frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t}{1+t^2}i

גודל של המספר הוא

\frac{1}{1+t^2}sqrt{(1-t^2)^2+4t^2}=\frac{1}{1+t^2}sqrt{(1+t^2)^2}=1

עכשיו נניח שברצוננו להציג מספר a+bi שעבורו מתקיים a^2+b^2=1 ע"י המספר הנתון בתרגיל. זה אומר שצריך למצוא t כך שיתקיים:

a=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\b=\frac{2t}{1+t^2}

התנאי a^2+b^2=1 מכתיב תחומי הגדרה הבאים:

1\geq{a}\geq{-1}\\1\geq{b}\geq{-1}

נבדוק אם קיימות הגבלות נוספות על a,b ידוע כי

a=\frac{1-t^2}{1+t^2}

מכך נובע

t=sqrt{\frac{1-a}{1+a}}

והשיווין מתקיים בתנאי

\frac{1-a}{1+a}\geq{a}

שזה מכתיב

1\geq{a}>-1

כלומר ל- a מותר להיות כל מספר מתחום ההגדרה המוגדר לעיל פרט למינוס 1או a\neq{-1}

בדיקה דומה עבור b נותנת:

b=\frac{2t}{1+t^2}\\bt^2-2t+b=0\\t=\frac{1\pm{sqrt{1-b^2}}}{b}

כלומר:

1-b^2\geq{0}\\b\neq{0}

וזה מכתיב של- b מותר להיות כל מספר מתום ההגדרה המוגדר לעיל פרט לאפסb\neq{0}

והמסקנה שכל מספר מרוכב a+bi שעבורו מתקיים a^2+b^2=1 ניתן להצגה ע"י המספר הנתון בתרגיל פרט למקרה בו a=-1,b=0

מש"ל.