PDA

צפה בגרסה המלאה : אם מישהו יכול להסביר את הפרדוקס הזה...



RoyMemo
04-02-2012, 19:21
ידוע שסכום הסדרה -
\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}.....

הוא אינסוף.


כמו כן ידוע שסכום הסדרה
\frac{1}{1} + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16}.....
הוא אפילו לא 2...



בסדרה הראשונה כל איבר הוא \frac{1}{n} ובסדרה השניה \frac{1}{n^{2}}
נניח שהייתי מניח שורה של ריבועים (התמונה היא של תיבות אך תתייחסו רק לפאה הקדמית - הריבוע) ככה שהשטח של הראשון 1, של השני רבע, של השלישי תשיעית וכו'..(בדיוק הסדרה השניה) זה אומר שהצלעות המרכיבות אותם הם 1, חצי, שליש, רבע וכו' (הסדרה הראשונה)...

משמע יש להם שטח סופי קטן (אפילו לא 2) שיכולתי לצבוע בקלות, אך אם הייתי רוצה לצבוע את הבסיס המשותף שלהם הייתי צריך אינסוף צבע?

http://www.qedcat.com/archive/d335f320-bbef-11e0-98bd-005056b06a0e-5940423.png



לא מצאתי לזה תשובה בשום מקום...אם מישהו יודע את הפתרון של הפרדוקס אשמח לשמוע

tototomer1
04-02-2012, 19:44
אין לי הסבר מתמטי לזה, אבל אם תריץ אלגוריתם:

בסדרה הראשונה:
עבור n=1000, סכום הסדרה הוא 7.48547...
עבור n=10000, סכום הסדרה הוא 9.787606...
עבור n=100000, סכום הסדרה הוא 12.09014...
עבור n=1000000, סכום הסדרה הוא 14.39272...

כלומר בכל פעם זה גדל וגדל באופן די משמעותי (שים לב שכשמספר האיברים בסדרה גדל פי 1000 (מספר קטן יחסית לאינסוף), סכום הסדרה גדל פי 2

לעומת זאת בסדרה השניה:
עבור n=1000 סכום הסדרה הוא 1.6439345...
עבור n=10000 סכום הסדרה הוא 1.6448340...
עבור n=100000 סכום הסדרה הוא 1.644924...

בקיצור הסכום הוא בערך 1.644.... לכל מספר

RoyMemo
05-02-2012, 10:15
אתה אמרת בדיוק מה שאני רשמתי
אני אמרתי שסכום הסדרה הראשונה הוא אינסוף וסכום הסדרה השניה הוא אפילו לא 2..

מה שאמרת לא עונה על הפרדוקס עצמו, שכביכול בשביל שטח כל הריבועים הייתי צריך מעט צבע ובשביל להעביר קו עט פשוט על צלעות הריבוע הייתי צריך אינסוף דיו.. שבמציאות המצב הזה אבסורד

תמיר94
06-02-2012, 16:49
יש לך טעות בהתייחסות שלך לכמות הצבע הדרוש לצביעת הקו.
נאמר שריבוע הראשון דרוש Y ליטר צבע; אם כך, לריבוע השני דרוש רבע Y ליטר צבע ולשלישי רק תשיעית Y ליטר צבע וכן הלאה...
טור הסדרה ההרמונית אומנם מתבדר אך לא הוא המייצג את כמות הצבע הדרושה לצביעת הקו.
אם נניח שעל מנת לאמוד את כמות הצבע הדרושה לצביעת הקו יש לסכום את הטור ההרמוני, נקבל שלצלע הריבוע הראשון דרושה כמות מסויימת של צבע - נאמר X ליטר ולקו הבא אחריו ידרש X/2 ליטר צבע... בבירור סדרת הריבועים מתכנסת לאפס מהר מן הסדרה המקורית ובסופו של דבר נגיע לריבוע מסויים בו כמות הצבע הנדרשת לצביעת צלעו של הריבוע גדולה מהכמות הנדרשת לצביעת הריבוע כולו; שזו כמובן שגיאה.
זה נכון שטור אורכי הצלעות מתבדר אך בעודנו מדברים על צביעתו יש לנו צורך לדבר על שטח; שכן, איך נחליט כמה צבע נדרש לצביעת קו חד מיימדי? רוחב הקו שלנו הוא אפסי (קו חד מיימדי) והשטח שעלינו לצבוע עומד ביחס ישר לגבול המכפלה בין אורך הצלע ל'רוחב' הקו.
אין לנו ביטוי לרוחב הקו כדי לחשב את הגבול באופן ישיר אך מכך שאורכו של הרוחב קטן מצלע הריבוע הניצבת לצלע שלנו, בין אם אותו אורך קבוע או לאו, נוכל לסמנו t (כקבוע או כסדרה) ובעזרת מבחן ההשוואה להתכנסות טורים חיוביים נקבל שהשטח שעלינו לצבוע מתכנס.

RoyMemo
07-02-2012, 17:57
תמיר,

הסבר יפה! תודה שהגבת.
שים לב שיכולתי גם לדבר על לצבוע את שטח הפנים של הקוביות המוצגות באיור לעומת מילוי נפחם. ואז כן יש לי שני מימדים שאיתם אוכל לצבוע.

לאחרונה למדתי שההסבר לפרדוקס הוא שאורך הצלעות בריבוע הוא אכן אינסוף, אך זה אינסוף במימד אחד! (צלעות) בעוד שסכום השטחים הוא אכן פחות מ-2 אך זה סכום דו מימדי! בכמות דו מימדית, קטנה ככל שתהיה, ניתן להכניס אינסוף יחידות חד מימדיות. על כן לא מדובר על אינסוף מול סכום הקטן מ-2 באותה מערכת מידות, שכן אינסוף חד מימדי קטן מכל יחידה דו מימדית. בכל יחידה דו מימדית קטנה ככל שתהייה ניתן להכניס אינסוף יחידות חד מימדיות.
את אותו דבר ניתן להשליך על דו מימדי מול 3 מימדי, 3 מימדי מול 4 מימדי וכו'.

אסור להתבלבל בין הפרדוקס הזה לבין x בריבוע לעומת x בשלישית, למשל, שכן המעריך לא מייצג מימד פיזי ואלו ערכים שאין להם שום מימד פיזי.

יום טוב:happy:

ShoobyD
07-02-2012, 21:36
אנסה לחדד מעט את תשובתו של תומר.
כשאתה מדבר על "לצבוע צלעות", אתה מניח שלמברשת הצביעה שלך יש רוחב מסוים.
אלא מאי? שגובה הריבועים עצמם שואף לאפס (כמו אורכם), מכאן שגם רוחב המברשת שלך אמור לשאוף לאפס.
אם אתה צובע את הבסיס (או כל קו אינסופי שהוא), כאשר רוחב במברשת שלך שואף לאפס, לא בהכרח שתצטרך כמות צבע אינסופית.

yedidya123
06-03-2013, 21:00
כמו שככל שאתה תיתן לי מספר אני יתן לך אחד יותר נמןך וזה יהיה אפס ועוד המספר שלך לחלק לשתיים ןזה המושג להשאיף כך גם פה אתה נותן לי כל פעם אחד חלקי הריבוע של המספר הבא ומחבר אז זה ישאף לשתיים ולא שתיים

ShoobyD
15-03-2013, 14:37
כמו שככל שאתה תיתן לי מספר אני יתן לך אחד יותר נמןך וזה יהיה אפס ועוד המספר שלך לחלק לשתיים ןזה המושג להשאיף כך גם פה אתה נותן לי כל פעם אחד חלקי הריבוע של המספר הבא ומחבר אז זה ישאף לשתיים ולא שתיים
אני מנסה להבין אם זה עברית.

yedidya123
17-03-2013, 20:59
הבנתי מה הבעיה !
ככה , כל מספר שיהיה הכי קטן יש יותר קטן ממנו וזה מה שנקרא להשאיף לאפס ולכן כאשר אתה מחבר חצי של מספר ועוד חצי של החצי אז אתה רק מתקרב למספר השלם אתה שואף אליו ולכן גם תעשה מיליון חיבורים כאלה לא תגיע למספר השלם אלא רק תשאף אליו אם לא מובן הפעם שיגידו לי מה לא מובן!!!!!!!!!

ShoobyD
19-03-2013, 11:47
אם הבנתי אותך נכון – זו טעות. הטור האינסופי שווה בדיוק למספר, כמו שהשבר המחזורי ‎0.999…‎ שווה בדיוק ל־1, ולא רק "שואף"/"מתקרב" אליו. בכל מקרה, זה כלל לא קשור לשאלה ולא עונה עליה.
התשובה האמתית כבר הוסברה, סכום שטחי הריבועים הוא סופי כי גובהם גם שואף לאפס, ולא רק אורכם, בעוד שבצביעת הבסיס מניחים קיום גובה קבוע (רוחב המברשת).

yedidya123
21-03-2013, 22:52
זה בוודאי קשור לשאלה הבעיה שלך שאתה לא מבין מה שאני מסביר תנסה להבין ותדבר איתי

ShoobyD
23-03-2013, 22:28
קשה להבין כשאינך משתמש בשום סימן פיסוק שהוא. :\
אם תנסה להסביר את דבריך בצורה יותר קוהרנטית, אולי אנשים מלבדך יוכלו להבין למה אתה מתכוון (למרות ששוב, איני מבין מדוע אתה מחפש להמציא את הגלגל מחדש, כבר סיפקו תשובה לשאלה, וכל תשובה אחרת שתיתן היא פשוט שגיאה).

קובי הגאון
24-03-2013, 22:45
ניסיון יפה חחחחחחחחח