PDA

צפה בגרסה המלאה : תרגיל במתמטיקה



Bogri74
26-03-2012, 09:51
הוכיחו כי

\int_{-4}^4\sqrt{x^2+9}dx\int_3^5\sqrt{x^2-9}dx<200

גל_כהן
27-03-2012, 06:08
הנה הצעה שאינה דורשת ביצוע אינטגרציה והופכת את הדרישה לחמורה יותר.
בפונקציה הראשונה למעשה אנו מעוניינים למצוא את השטח שבין הפונקציה לציר בגבולות שבין 4- ל-4.
שטח זה לבטח יהיה קטן יותר מהמלבן שנוכל ליצור באותם גבולות כאשר שני קודקודיו העליונים הם הנקודות המתקבלות מהצבת הגבולות בפונקציה,
קרי (4,5-) ו-(4,5). שטח המלבן הזה הוא כמובן 40.
באותו אופן מראים שהשטח השני קטן מ-8 ובסך הכל סכום השטחים קטן מ-48.

Bogri74
27-03-2012, 10:02
הנה הצעה שאינה דורשת ביצוע אינטגרציה והופכת את הדרישה לחמורה יותר.
בפונקציה הראשונה למעשה אנו מעוניינים למצוא את השטח שבין הפונקציה לציר בגבולות שבין 4- ל-4.
שטח זה לבטח יהיה קטן יותר מהמלבן שנוכל ליצור באותם גבולות כאשר שני קודקודיו העליונים הם הנקודות המתקבלות מהצבת הגבולות בפונקציה,
קרי (4,5-) ו-(4,5). שטח המלבן הזה הוא כמובן 40.
באותו אופן מראים שהשטח השני קטן מ-8 ובסך הכל סכום השטחים קטן מ-48.

גל שים לב שמדובר במכפלת השטחים ולא בסכום. עבור סכום ניתן להוכיח שהוא קטן מ-32.

amirzino
06-04-2012, 11:32
22631

הסתבכתי עם השרטוט אבל אני מאמין שהרעיון מובן (:

בגרף השמאלי מצאתי ישר המשיק לגרף בx=4 ובדקתי את שטח המשולש הנוצר למעלה ובגרף השני ניסיתי לדחוף שם מלבן כדי לצמצם את השטח
אני לא בטוח שהפיתרון מדוייק אבל אני חושב שזו דרך אפשרית

-אמיר

Bogri74
06-04-2012, 12:02
אני מניח שהפתרון שלך קביל, אך הכוונה לפתרון הרבה יותר יפה ופחות מסובך. פשוט צריך לשים לב שאם השטח הראשון הוא S1 והשני S2 אז מתקיים:

S2=40-2S1

ולכן

S1*S2=(40-2S1)S1

ומכיוון ש S1<8, אז

S1*S2<192

תמיר94
12-04-2012, 21:18
לאלו שפחות מבריקיםשאלו הפחות מבריקים מבינינו יכולים לקבל הסבר מדוע S2=40-2S1?

Bogri74
29-04-2012, 10:19
לאלו שפחות מבריקיםשאלו הפחות מבריקים מבינינו יכולים לקבל הסבר מדוע S2=40-2S1?

שתי העקומות הן בעצם היפרבולות זהות, רק מסובבות ב-90 מעלות אחת יחסית לשנייה. כלומר מה שעבור אחת משתי ההיפרבולות הוא ציר x, לשנייה הוא ציר y.

בראל
29-05-2013, 22:37
לא צריך להסתבך.
1. צריך לחקור את הפונק' ולשרטט אותם. (ראו שרטוט כמה תגובות מעליי)
2. נתבונן בפרבולה שיצאה לנו:
אנחנו צריכים לגלות את השטח בין -4 ל4. לכן נגלה את שטח המלבן בין נק' הקיצון של הפרבולה לישר y = 5 שעובר בנקודות 4 ו- -4 . אין ספק ששטח המלבן גדול יותר מהשטח של הפרבולה בין -4 ל 4.
3. נתבונן בפונק' השנייה:
השטח בין 3 ל 5 נמצא בקירוב לשטח משולש ישר זווית שאפשר לבנות על (3,0) (5,0) ו- (5,4). ברור ששטח המשולש קטן משטח הפונק' בין 3 ל 5 אך שטח המשולש גדול מהשטח בין המשולש לפונק'. ולכן שנגלה את השטח של המשולש נכפיל אותו בשתיים כדי להסיר ספק.
4. מכפלת השטחים שיצא לנו קטנה בהרבה מ200. ככה שברור שאם השטח שיצא לנו שהוא גדול ממכפלת השטחים האמתיים קטן מ200 קל וחומר השטח המקורי.