PDA

צפה בגרסה המלאה : תרגיל במתמטיקה 3 (חקירת פונקציה)



Bogri74
05-04-2012, 10:01
ממבט ראשון התרגיל נראה סטנדרטי ופשוט, אך תאמינו לי הוא לא נטול יופי.

לאיזה a לפונקציה

f(x)=\frac{a}{3}x^3-\frac{a-6}{2}x^2+2x+a^3

נקודת קיצון אחת בלבד בקטע (-2,0)

Planche
05-04-2012, 16:25
התשובה היא a=2?

Bogri74
05-04-2012, 20:55
התשובה היא a=2?

התשובה לא נכונה.

amirzino
06-04-2012, 00:52
יכול להיות שאין a כזה?

tototomer1
06-04-2012, 03:22
ממה שאני ראיתי, אין שום a כזה. ההסבר:

קודם כל נבדוק לאיזה ערכים יש לפונקציה נקודות קיצון (חשודות) בכלל:

f'(x)=ax^2-(a-6)x+2 \\f'(x)=0 \\ax^2+(6-a)x+2=0 \\x_{1,2}=\frac{a-6\pm{}\sqrt{36-12a+a^2-8a}}{2a} \\x_{1,2}=\frac{a-6\pm{}\sqrt{(a-18)(a-2)}}{2a}

כלומר, עבור הערכים a=2 או a=18 לפונקציה יש רק עד נקודת קיצון אחת בכל תחום הגדרתה.

פה כנראה נמצא הקאץ' של התרגיל - צריך לשים לב שבתוך הדיסקרימיננטה יש 2 סוגריים, בשניהם זה a מינוס משהו, והדיסקרימיננטה חייבת להיות חיובית או 0 (בגלל השורש), אז a צריך להיות גדול מ2 וגדול מ18, אז בסה"כ גדול מ18.

אבל אם נציב מספר גדול מ-18, למשל a=20, נקבל שנקודות הקיצון החשודות הן 0.5 או 0.2.
ואם תנסו להציב כל מספר אחר, תמיד 2 התוצאות של נקודות הקיצון (החשודות) יהיו רק בתחום שבין 0 ל-1.

בקיצור, לפונקציה לא תהיה נקודת קיצון בתחום בין מינוס 2 ל-0 עבור אף ערך של a.

Bogri74
06-04-2012, 09:51
בקיצור, לפונקציה לא תהיה נקודת קיצון בתחום בין מינוס 2 ל-0 עבור אף ערך של a.

התשובה כמובן לא נכונה.

גל_כהן
06-04-2012, 10:03
בוריס, התשובה היא a=0?

Bogri74
06-04-2012, 10:35
בוריס, התשובה היא a=0?

לא, גם זה לא נכון. וגל התרגיל הראשון עם האינטגרלים גם לא נפתר.

גל_כהן
06-04-2012, 11:11
למה לא?
a=0 יהפוך את הפונקציה ל-f(x)=3x^2+2x ולה יש רק נקודת מינימום אחת ב-x=-1/3
שהוא לבטח בתחום (-2,0).

Bogri74
06-04-2012, 11:14
למה לא?
a=0 יהפוך את הפונקציה ל-f(x)=3x^2+2x ולה יש רק נקודת מינימום אחת ב-x=-1/3
שהוא לבטח בתחום (-2,0).

מצאת רק נקודה אחת שעונה על הדרישה. יש למצוא את כל האפשרויות.

גל_כהן
06-04-2012, 11:25
קודם היה נראה שפסלת לחלוטין את האפשרות ש-a=0 עונה על הדרישה.
לגבי a=2 שפסלת קודם אני מסכים שכן אפשרות זו מניבה נקודת פיתול ולא קיצון.

קל להוכיח (באמצעות מבחן הנגזרת השנייה) כי אם a \neq 0, אזי שתי הנקודות שמצא תומר הן קיצון.
כאשר a \geq 18, אזי שתי הנקודות המתקבלות הן חיוביות, כלומר בתחום זה יש סתירה לדרישה.

נותרנו אם כן עם התחום a \leq 2.
בתחום 0<a \leq 2, שתי הנקודות המתקבלות הן שליליות, כלומר בתחום זה יש סתירה לדרישה.

נשארנו רק עם האפשרות a<0.
בתחום הזה מתקיים a-6<sqrt{a^2-20a+36} ואז a-6-sqrt{a^2-20a+36}<0
וכן \frac{a-6-sqrt{a^2-20a+36}}{2a}>0, כלומר נקודת קיצון אחת היא לבטח חיובית.
מה קורה עם הנקודה x=\frac{a-6+sqrt{a^2-20a+36}}{2a}? היות שמתקיים התנאי
sqrt{a^2-20a+36}>a-6 המונה חיובי והמכנה שלילי ולכן נקודה זו היא שלילית.

התשובה הסופית אם כן (ואם לא טעיתי בשום הנחה שהוצגה כאן) היא a \leq 0.

Bogri74
06-04-2012, 11:55
לא זאת לא התשובה:)

גל_כהן
06-04-2012, 16:55
תוכל להגיד מה התשובה? אני לא מצליח למצוא שגיאה במה שהצגתי.

Bogri74
06-04-2012, 17:09
התשובה היא

a\in(-\infty,5/3]