PDA

צפה בגרסה המלאה : קיום אנדימפוטנטים באגודה



Ofir Shpigelman
11-04-2012, 16:51
תהי (S,\cdot) חבורה למחצה.
האם בהכרח קיים a \in S כך שמתקיים: a^{2}=a?

אם כן, איך מוכיחים את זה עבור חבורה למחצה כלשהי (סופית ואינסופית)?
אם לא, אפשר דוגמא לחבורה שלא?

noysoffer
08-05-2012, 20:00
הטענה לא נכונה.

הבחנה: הטענה נכונה אם ורק אם S מונויד, כלומר, אם יש ל-S איבר יחידה.

דוגמא נגדית: ניקח את החבורה 2\mathbb{N} ביחס לכפל.
נשים לב לכך שזוהי חבורה למחצה, כי היא סגורה לכפל (הבדיקה די קלה).

אבל, לא קיים איבר a כזה.
נניח בשלילה כי קיים איבר כזה. אזי:
a=2n : n\in \mathbb{N}

אז לפי ההנחה:
a=a^{2}=(2n)^{2}=4n^{2}=2n

2n^{2}=n

לכן, n=0.5, סתירה לכך ש-n טבעי.

ולכן, לא קיים איבר כזה.

דרך אגב, יש מצב שתוכל לשלוח לי תרגילים בקורס שאתה לוקח באלגברה מודרנית? אני פשוט התחלתי ללמד את עצמי (אלגברה ב'1), ואין לי תרגילים טובים.

תודה רבה ובהצלחה!!!
נוי