PDA

צפה בגרסה המלאה : טרפז



Bogri74
24-06-2012, 16:27
בטרפס ABCD אורך שוקיים AB=8, CD=10. הבסיס BC=2. חוצה זווית D חוצה את AB.

מצאו את שטח הטרפז.

omeromer
25-06-2012, 18:33
אני מנסה כבר יומיים... אפשר רמז? כיוון? משהו?

TTAJTA4
25-06-2012, 18:40
הנתון - חוצה זווית D חוצה את AB. אומר כי הקטע חוצה בחצי את הזווית D וגם חוצה בחצי את הקטע AB?

omeromer
25-06-2012, 18:41
הנתון - חוצה זווית D חוצה את AB. אומר כי הקטע חוצה בחצי את הזווית D וגם חוצה בחצי את הקטע AB?

כן זה כל הרעיון פה, שצריך למצוא מבין כל הטרפזים שהצלעות שלהם הן 8 ו10 והבסיס שלהן 2 את השטח של הטרפז (או הטרפזים) המיוחד\ים שהישר הזה בו\בהם הוא גם חוצה זווית וגם חוצה את הצלע.

brainless
25-06-2012, 19:02
יכול להיות איכשהו בטעות במקרה שהבסיס הגדול - AD שווה גם הוא ל 8?

omeromer
25-06-2012, 19:05
יכול להיות איכשהו בטעות במקרה שהבסיס הגדול - AD שווה גם הוא ל 8?

איך הגעת לזה? זה נראה סביר... זה אומר שהטרפז הוא ישר זווית דרך אגב

TTAJTA4
25-06-2012, 19:16
איך הגעת לזה? זה נראה סביר... זה אומר שהטרפז הוא ישר זווית דרך אגב

איך זה הגיוני בכלל שהקטע AD יהיה שווה ל-8? זה אומר שהשוק יותר גדולה מהבסיס (הגדול במיקרה שלנו)... כי השוק הוא 10

omeromer
25-06-2012, 19:17
איך זה הגיוני בכלל שהקטע AD יהיה שווה ל-8? זה אומר שהשוק יותר גדולה מהבסיס (הגדול במיקרה שלנו)... כי השוק הוא 10

ולמה השוק לא יכולה להיות יותר גדולה מהבסיס?

Bogri74
26-06-2012, 08:04
יכול להיות איכשהו בטעות במקרה שהבסיס הגדול - AD שווה גם הוא ל 8?

אפילו אם כן, הרי שיש להוכיח את זה.

רמז:

קו אמצעים

omeromer
26-06-2012, 10:58
הרמז הפך את זה לקל מדי :\

נסמן את נקודת המפגש של AB עם החוצה זווית בE
נעביר ישר מE אל CD כך שהוא מקביל לAD ולBC, הישר הזה הוא קטע אמצעים מפני שהוא חוצה את אחת הצלעות ומקביל לבסיסים, נקרא לישר EP
הקטעים DP וPC הם שווים מפני שEP קטע אמצעים, לכן כל אחד שווה 5 (כי CD שווה 10)
הזווית ADE שווה לזווית EDP כי DE חוצה זווית
הזווית ADE שווה לזווית DEP כי AD מקביל לEP
מכך נובע שהזווית EDP שווה לDEP ולכן המשולש EDP הוא משולש שווה שוקיים, כלומר DP שווה לEP שווה ל5.

קטע אמצעים בטרפז שווה לסכום הבסיסים חלקי 2, לכן נוכל לחשב את הבסיס AD:
EP = \frac{AD + BC}{2} \\ 5 = \frac{AD + 2}{2} \\ AD = 8

נעביר ישר CT מנקודה C לישר AD כך שהוא מקביל לAB, תיווצר מקבילית ATCB (מרובע שכל צלעותיו הנגדיות מקבילות הוא מקבילית)
הקטע AT שווה ל2 (נגדי לקטע BC במקבילית), לכן הקטע TD הוא 6
הקטע TC שווה לקטע AB ששווה ל8 (צלעות נגדיות במקבילית)

נוצר לנו משולש TCD שצלעותיו הן:
TD = 6
TC = 8
CD = 10
המספרים האלה הם שלשה פיתגורית לכן המשולש הוא משולש ישר זווית (T זווית ישרה)
הזווית CTD היא ישרה ושווה לזווית BAD (מתאימות בין ישרים מקבילים), לכן הטרפז הוא טרפז ישר זווית וAB הוא בעצם הגובה.

יש לנו מספיק נתונים לחשב את השטח:
S = \frac{AB(AD + BC)}{2} = \frac{8(8 + 2)}{2} = 40
שטח הטרפז הוא 40 יחידות שטח.

brainless
26-06-2012, 11:38
אפילו אם כן, הרי שיש להוכיח את זה.

רמז:

קו אמצעים

מן הסתם כך בדיוק הגעתי למספר הזה.
חיכיתי לאישור בכדי להציג את הנימוק ולהמשיך את התרגיל.
בכל אופן תודה על תרגיל נהדר. נשמח לעוד כאלה :)

עומר, תותח אתה!

Bogri74
26-06-2012, 11:53
הרמז הפך את זה לקל מדי :\

נסמן את נקודת המפגש של AB עם החוצה זווית בE
נעביר ישר מE אל CD כך שהוא מקביל לAD ולBC, הישר הזה הוא קטע אמצעים מפני שהוא חוצה את אחת הצלעות ומקביל לבסיסים, נקרא לישר EP
הקטעים DP וPC הם שווים מפני שEP קטע אמצעים, לכן כל אחד שווה 5 (כי CD שווה 10)
הזווית ADE שווה לזווית EDP כי DE חוצה זווית
הזווית ADE שווה לזווית DEP כי AD מקביל לEP
מכך נובע שהזווית EDP שווה לDEP ולכן המשולש EDP הוא משולש שווה שוקיים, כלומר DP שווה לEP שווה ל5.

קטע אמצעים בטרפז שווה לסכום הבסיסים חלקי 2, לכן נוכל לחשב את הבסיס AD:
EP = \frac{AD + BC}{2} \\ 5 = \frac{AD + 2}{2} \\ AD = 8

נעביר ישר CT מנקודה C לישר AD כך שהוא מקביל לAB, תיווצר מקבילית ATCB (מרובע שכל צלעותיו הנגדיות מקבילות הוא מקבילית)
הקטע AT שווה ל2 (נגדי לקטע BC במקבילית), לכן הקטע TD הוא 6
הקטע TC שווה לקטע AB ששווה ל8 (צלעות נגדיות במקבילית)

נוצר לנו משולש TCD שצלעותיו הן:
TD = 6
TC = 8
CD = 10
המספרים האלה הם שלשה פיתגורית לכן המשולש הוא משולש ישר זווית (T זווית ישרה)
הזווית CTD היא ישרה ושווה לזווית BAD (מתאימות בין ישרים מקבילים), לכן הטרפז הוא טרפז ישר זווית וAB הוא בעצם הגובה.

יש לנו מספיק נתונים לחשב את השטח:
S = \frac{AB(AD + BC)}{2} = \frac{8(8 + 2)}{2} = 40
שטח הטרפז הוא 40 יחידות שטח.

פתרון מדוייק!