PDA

צפה בגרסה המלאה : חידה בהסתברות



gilad123
30-07-2012, 19:00
שלום לכולם,

נתקלתי לאחרונה בחידה פשוטה אבל מטרידה בהסתברות. אני לא בטוח אם התשובה שיש לי היא נכונה. אשמח לשמוע את דעתכם:

יש לי שני ילדים, ואחד מהם הוא בן, מה הסיכוי ששני הילדים שלי בנים?
האפשרויות הן בן-בת, בת-בן, בן-בן ובת-בת. מכיווו שאני יודע שיש לי בן אחד האפשרות האחרונה יורדת ולכן הסיכוי הוא שליש.

עכשיו שאלה חדשה:
יש לי שני ילדים, ואחד מהם הוא בן וקוראים לו משה, מה הסיכוי ששני הילדים שלי בנים?
האפשרויות הן משה-בת, בת-משה, משה-בן ובן-משה. שים לב שכעת הסיכוי שלי לשני בנים הוא חצי !

האם יתכן שידיעת שמו של הילד משנה את ההסתברות??

היכן המלכודת? (אם יש כזו..)

חן_
30-07-2012, 19:05
שלום לכולם,

נתקלתי לאחרונה בחידה פשוטה אבל מטרידה בהסתברות. אני לא בטוח אם התשובה שיש לי היא נכונה. אשמח לשמוע את דעתכם:

יש לי שני ילדים, ואחד מהם הוא בן, מה הסיכוי ששני הילדים שלי בנים?
האפשרויות הן בן-בת, בת-בן, בן-בן ובת-בת. מכיווו שאני יודע שיש לי בן אחד האפשרות האחרונה יורדת ולכן הסיכוי הוא שליש.

עכשיו שאלה חדשה:
יש לי שני ילדים, ואחד מהם הוא בן וקוראים לו משה, מה הסיכוי ששני הילדים שלי בנים?
האפשרויות הן משה-בת, בת-משה, משה-בן ובן-משה. שים לב שכעת הסיכוי שלי לשני בנים הוא חצי !

האם יתכן שידיעת שמו של הילד משנה את ההסתברות??

היכן המלכודת? (אם יש כזו..)

אני חושבת שיש לך טעות,
אם יש שני ילדים ואחד מהם הוא בן יש רק שתי אפשריות:
בן-בן או בן-בת
כלומר 50%
השם לא משנה:
"יש לי שני ילדים, ואחד מהם הוא בן וקוראים לו משה, מה הסיכוי ששני הילדים שלי בנים?"
יש עדיין שתי אפשרויות
משה-בן או משה-בת
כלומר 50%

לפי אתר אחד מישהו ענה שיש 1/3, אבל מדוע יש הבדל בסדר? (נגיד בן-בת זה לא אותו דבר כמו בת-בן)
עריכה.. מישהו אחר רשם 50% (אין לי מושג מי צודק..)

gilad123
30-07-2012, 19:09
תוכלי לראות את הסדר כסדר הלידה שלהם, כך:
נולדו לי שני ילדים, האפשרויות לסידורים האפשריים הן: בן-בת, בת-בת, בן-בן ובת-בן. עד כאן מוסכם?

עכשיו נתון חדש: לפחות אחד מהילדים הוא בן (הוא יכול להיות הצעיר או הבכור מבין השניים)
זה אומר שהאפשרות בת-בת יורדת ונשארתי עם שלוש אפשרויות.
אני שואל על הסיכוי לבן-בן, ולכן זה אחד מתוך שלוש, כלומר שליש..

אני עדיין תקוע למרות זאת..

guy-marcus
31-07-2012, 00:16
זהו כלל לא פרדוקס, ולא משחק דעות- ישנה תשובה אחת נכונה לפי חוקי ההסתברות.
השאלה "מהו הסיכוי ששני הילדים שלי בנים?" שקולה לשאלה "מהו הסיכוי שהילוד השני שלי הוא בן?". האם הילוד השני הוא בן? או שכן, או שלא. לפיכך הסיכוי הוא 50%. זוהי הסתברות מותנית.
האפשרויות שאתה ציינת והן "בן-בת, בת-בן, בן-בן, בת-בת" (ולאחר סינון: בן-בת, בת-בן, בן-בן), הן התשובה לשאלה מהן כל האפשרויות (כלומר, יש חשיבות לסדר) של ההולדה. לעומת זאת, בשאלה שכתבת- אין חשיבות לסדר- לא משנה מי נולד קודם, ולכן האפשרויות בן-בת ובת-בן מתלכדות לאפשרות אחת, וממילא נשארנו עם שתי אפשרויות ומכאן סיכוי התרחשות של 50% לכל אחת מהן.
ידיעת שמו של הילד אינה משנה את ההסתברות כלל וכלל. שים לב שגם בשאלה השנייה שכתבת, מתלכדות אפשרויות ובסופו של דבר ההסתברות היא 50%.

gilad123
31-07-2012, 00:38
אהלן גיא,

לא חשבתי שמדובר בפרדוקס, אבל כן חשבתי שאולי הבעיה נעוצה באינטואיציות מוטעות שלנו (כמו בבעיית מונטי).
נניח שאני אשאל את השאלות כך שיש חשיבות לסדר, כלומר נולדו אחד אחרי השני. ובהנחה שבטוח אחד מהם הוא בן.
הסיכוי לבן-בן יהיו שליש, האם עד כאן נכון לומר כך?
עכשיו אותה שאלה, רק בניסוח אחר: גם כאן ההנחה היא שבטוח אחד הוא בן (משה להלן) וגם כאן אני רוצה לדעת מה הסיכוי שלמשה יש אח.
לכאורה מה השתנה בשאלה? אבל אם נסקור את כל האפשרויות נראה שפתאום ישנה עוד אפשרות (בן-משה/משה-בן) כלומר 50%
היכן הכשל בניסוח? אני לא מצליח לראות הבדל מהותי בין השניים..
תודה!

guy-marcus
31-07-2012, 00:44
אהלן גיא,

לא חשבתי שמדובר בפרדוקס, אבל כן חשבתי שאולי הבעיה נעוצה באינטואיציות מוטעות שלנו (כמו בבעיית מונטי).
נניח שאני אשאל את השאלות כך שיש חשיבות לסדר, כלומר נולדו אחד אחרי השני. ובהנחה שבטוח אחד מהם הוא בן.
הסיכוי לבן-בן יהיו שליש, האם עד כאן נכון לומר כך?
עכשיו אותה שאלה, רק בניסוח אחר: גם כאן ההנחה היא שבטוח אחד הוא בן (משה להלן) וגם כאן אני רוצה לדעת מה הסיכוי שלמשה יש אח.
לכאורה מה השתנה בשאלה? אבל אם נסקור את כל האפשרויות נראה שפתאום ישנה עוד אפשרות (בן-משה/משה-בן) כלומר 50%
היכן הכשל בניסוח? אני לא מצליח לראות הבדל מהותי בין השניים..
תודה!

אבל לא זו הייתה השאלה.

באם אכן השאלה הייתה- יש לי שני ילדים, ואחד מהם הוא בן, מה הסיכוי שמי שנולד לי ראשון היה בן וגם מי שנולד לי שני היה בן, ולא כל מקרה כזה או אחר המתקיים כאשר ידוע כי יש לי בן אחד נתון (לפחות), אזי התשובה הייתה שליש כיוון שישנם שלושה מקרים (1. נולדה לי בת ואז נולד לי בן. 2. נולד לי בן ואז נולדה לי בת. 3. נולד לי בן ואז נולד לי בן) המקיימים את התנאי היחיד "ואחד מהם הוא בן", ואנחנו מדברים על המקרה הספציפי שנולד לי בן ואז נולד לי בן.

אך, שאלתך הייתה: יש לי שני ילדים, ואחד מהם הוא בן, מה הסיכוי ששני הילדים שלי בנים? (כמובן לא משנה מי נולד קודם, שהרי האפשרות שאין שני הילדים שלי בנים מכילה בתוכה שני תרחישים- א. נולד לי בן ואז נולדה לי בת. ב. נולדה לי בת ואז נולד לי בן).

gilad123
31-07-2012, 00:48
מדוע פסלת את האפשרות שהבת נולדת קודם? בשני הניסוחים האפשרות הזו קיימת.
בשני הניסוחים יש את אותה הנחת יסוד (שאחד לפחות הוא בן, לא יותר מזה) ואין הנחה אחרת שמקבעת את סדר הלידה
או המין של הילד השני, הבת יכולה להיות הבכורה או הצעירה באותה מידה.
אשמח להסבר מפורט יותר..

guy-marcus
31-07-2012, 01:01
מדוע פסלת את האפשרות שהבת נולדת קודם? בשני הניסוחים האפשרות הזו קיימת.
בשני הניסוחים יש את אותה הנחת יסוד (שאחד לפחות הוא בן, לא יותר מזה) ואין הנחה אחרת שמקבעת את סדר הלידה
או המין של הילד השני, הבת יכולה להיות הבכורה או הצעירה באותה מידה.
אשמח להסבר מפורט יותר..

תגובתך זו לעיל נכתבה לגבי תגובתי בעת עריכתה. שים לב כי תגובתי עברה עריכה.

gilad123
31-07-2012, 01:13
אני מקבל את התיקון, אכן הניסוח שלי לא היה מדויק.
ועכשיו שוב: ישנה חשיבות לסדר הלידה, כאשר ידוע לי שלפחות אחד מהם הוא בן.
במקרה הראשון בודקים את הולדת הבן לצד האפשרויות (כל האפשרויות פתוחות ועל כן כמו שהסכמת הסיכוי לבן-בן הוא שליש)
במקרה השני בודקים את הולדת משה לצד האפשרויות (גם כאן כל האפשרויות פתוחות אך הסיכוי למשה-בן ולהיפך הוא חצי)
היכן הכשל עכשיו?

guy-marcus
31-07-2012, 01:34
אני מקבל את התיקון, אכן הניסוח שלי לא היה מדויק.
ועכשיו שוב: ישנה חשיבות לסדר הלידה, כאשר ידוע לי שלפחות אחד מהם הוא בן.
במקרה הראשון בודקים את הולדת הבן לצד האפשרויות (כל האפשרויות פתוחות ועל כן כמו שהסכמת הסיכוי לבן-בן הוא שליש)
במקרה השני בודקים את הולדת משה לצד האפשרויות (גם כאן כל האפשרויות פתוחות אך הסיכוי למשה-בן ולהיפך הוא חצי)
היכן הכשל עכשיו?

טוב, אז בהנחה שהשאלה אכן השתנתה (התשובה לשאלה המקורית היא 50%):
אין זה נכון. חשוב רגע, בשאלה הראשונה כתבת בתחילה 4 אפשרויות: בן-בת, בת-בן, בן-בן, בת-בת. נתמקד באפשרות מספר 3 והיא- בן-בן. האם ייחסת חשיבות איזה בן יוולד קודם? לא. לכאורה האפשרות בן-בן מתפצלת לשתי אפשרויות, כיוון שלא ידוע לך איזה מהם יוולד קודם ולכן קיימות שתי אפשרויות עבור כל תרחיש. מדוע בכל זאת לא פיצלת את אפשרות מספר 3 לשתי אפשרויות? כיוון שבין אם יש ובין אם אין חשיבות לסדר הולדת בן-בת/בת-בן, בכל מקרה לא תהיה חשיבות לסדר בן-בן או בן-בן [מקווה שהבנת את ההבדל שהתכוונתי] כיוון שהשאלה הייתה מה הסיכוי ששני הילדים שלי בנים=מה הסיכוי שתצא לי האפשרות בן-בן, ואפשרות זו כוללת את המצבים: 1. בן-משה. 2. משה-בן. 3. משה-דויד. 4. משה-משה. 5. בן-בן. 6. משה-אהרון וכו' וכו'...

gilad123
31-07-2012, 01:54
נראה לי שההסבר שלך נכון.. :okey:
אם כי עקבתי אחריך עד לשמות הנוספים שהוספת- לא הבנתי מה המשמעות של שאר האפשרויות (החל מ 3..)
אם אני אתעלם לרגע מהשורה האחרונה, אז בעצם אתה אומר שהאפשרות הנוספת שהופכת לי את הסיכויים משליש לחצי
היא בגלל שעכשיו לבן-בן יש משמעות לסדר, כי משה-בן ובן-משה הן עכשיו שתי אפשרויות שקודם היו אחת.
אז בעצם אין כשל בניסוח, הניסוחים נכונים רק שההבדל הדק הזה נותן סיכוי אחר לתוצאות.
מצד אחד נראה שזה נפתר, אבל מצד שני משהו עדיין מוזר לי- יוצא שאם לפני הלידות החלטתי על שם ואני שואל על סיכויי לקבל שני בנים,
יוצא שהסיכוי גדל בשישית מאשר אם הייתי שואל את אותה השאלה ללא השם!
איך אני מסתדר עם זה??

(הולך לישון.. נמשיך מחר:) )

guy-marcus
31-07-2012, 02:18
נראה לי שההסבר שלך נכון.. :okey:
אם כי עקבתי אחריך עד לשמות הנוספים שהוספת- לא הבנתי מה המשמעות של שאר האפשרויות (החל מ 3..)
אם אני אתעלם לרגע מהשורה האחרונה, אז בעצם אתה אומר שהאפשרות הנוספת שהופכת לי את הסיכויים משליש לחצי
היא בגלל שעכשיו לבן-בן יש משמעות לסדר, כי משה-בן ובן-משה הן עכשיו שתי אפשרויות שקודם היו אחת.
אז בעצם אין כשל בניסוח, הניסוחים נכונים רק שההבדל הדק הזה נותן סיכוי אחר לתוצאות.
מצד אחד נראה שזה נפתר, אבל מצד שני משהו עדיין מוזר לי- יוצא שאם לפני הלידות החלטתי על שם ואני שואל על סיכויי לקבל שני בנים,
יוצא שהסיכוי גדל בשישית מאשר אם הייתי שואל את אותה השאלה ללא השם!
איך אני מסתדר עם זה??

(הולך לישון.. נמשיך מחר:) )

שאר האפשרויות שהוספתי היו דוגמות שרירותיות לשמות לשני האחים שאחד מהם הוא משה (למעט 5), הנכללות בתרחיש בן-בן.
אני אומר [או יותר נכון כותב] ששתי האפשרויות משה-בן ובן-משה מוכלות באפשרות בן-בן כיוון שמשה הוא בן ולכן גם משה-בן הם צמד בנים וגם בן-משה הם צמד אחים.
ההבדל הדק של השם אינו נותן סיכוי אחר לתוצאות- זה נכון שישנו פיצול לשתי אפשרויות איזה בן נולד קודם (משה או הבן האחר) אך שתי אפשרויות אלו הן בהגדרת בן-בן [שני בנים].

gilad123
31-07-2012, 10:59
אז אתה אומר בעצם שבניסוח השני הסיכוי הוא לא חצי אלא שליש?
וזאת למרות שאם נכתוב את כל האפשרויות נראה שבשניים מתוך ארבעה מקרים נקבל שני בנים?

guy-marcus
31-07-2012, 12:40
אז אתה אומר בעצם שבניסוח השני הסיכוי הוא לא חצי אלא שליש?
וזאת למרות שאם נכתוב את כל האפשרויות נראה שבשניים מתוך ארבעה מקרים נקבל שני בנים?

לגבי המודגש- אם כוונתך שהניסוח השני שלך הוא כמו שכתבתי אותו (בפירוט שלא ישתמע לשני פנים) בתגובתי למעלה, כן.
באשר לשאלתך השנייה- אם נכתוב את כל 4 האפשרויות שציינת, נראה כי ישנן 2 אפשרויות שהן בן-בן (משה-בן, ובן-משה. בשני המקרים מדובר בשני זכרים).

gilad123
01-08-2012, 09:10
ישר כח גדול, פתרת לי את הקושי, ונהניתי גם מההתכתבות..
תודה רבה!