PDA

צפה בגרסה המלאה : תרגיל נחמד בגיאו-דיי קל.



Dmot
07-09-2012, 19:21
נתון טרפז ABCD, בו AB||DC. אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה O. הוכח: אם הזוויות ADO וBCO שוות זו לזו, אז הטרפז הוא בר חסימה במעגל.
שבת שלום ומבורך.

Dmot
08-09-2012, 15:18
מוקפץ בשל האתגר :happy:
שבת שלום ומבורך

Bogri74
09-09-2012, 08:22
התרפז הוא בר חסימה כי הוא שווה שוקיים (משולשים ADO ו- BCO חופפים)

Dmot
09-09-2012, 12:28
זה נכון, אבל איך חפפת? (:
יום טוב ומבורך.

Bogri74
09-09-2012, 16:04
זה נכון, אבל איך חפפת? (:
יום טוב ומבורך.

זה שהמשולשים דומים זה ברור מייד לפי הזוויות. ואם הם לא חופפים כלומר DO/OC\neq1 אז AB ו-DC אינם מקבילים.

Dmot
09-09-2012, 16:08
נחמד (: אני הוכחתי זאת ע"י כך ששטחי המשולשים הללו שווים (שכן המשולש ADC וCD שווים, וDOC הוא שטח משותף). משולשים דומים ששטחיהם שווים הם חופפים.
כל הכבוד!
יום טוב ומבורך.

SeeGreen
09-09-2012, 16:37
שלום
תרגיל נחמד מאוד תומר!
ABllDC נתון
AO/OC=BO/OD תאלס

ADO=ACO
DOC היא זווית חיצונית של שתיהם
קל להוכיח ש DAO=CBO
לכן ADO~BCO ז.ז
AO/OB=DO/OC יחס דמיון משולשים
AO/OC=DO*OB/OC^2
DO*OB/CO^2=BO/OD
CO^2=OD^2
בגלל שאלו אורכי צלעות הן בהכרח חיוביות [כי באלגברה יתכן כי OD שלילי וCO חיובי או להפך וריבועיהם שווים]
CO=OD
לכן ODC=OCD
לכןD=C=a
A=180-a=180-D סכום זוויות צמודות לשוק 180 מעלות
C+A=180-a+a=180 חיבור קטעים
לכן ABCD בר חסימה במעגל - אם במרובע סכום זוג זוויות נגדיות 180 מעלות המרובע בר חסימה במעגל

Dmot
09-09-2012, 18:15
שלום
תרגיל נחמד מאוד תומר!
ABllDC נתון
AO/OC=BO/OD תאלס

ADO=ACO
DOC היא זווית חיצונית של שתיהם
קל להוכיח ש DAO=CBO
לכן ADO~BCO ז.ז
AO/OB=DO/OC יחס דמיון משולשים
AO/OC=DO*OB/OC^2
DO*OB/CO^2=BO/OD
CO^2=OD^2
בגלל שאלו אורכי צלעות הן בהכרח חיוביות [כי באלגברה יתכן כי OD שלילי וCO חיובי או להפך וריבועיהם שווים]
CO=OD
לכן ODC=OCD
לכןD=C=a
A=180-a=180-D סכום זוויות צמודות לשוק 180 מעלות
C+A=180-a+a=180 חיבור קטעים
לכן ABCD בר חסימה במעגל - אם במרובע סכום זוג זוויות נגדיות 180 מעלות המרובע בר חסימה במעגל
דרך יפה! (: כל הכבוד!!!
לילה טוב ומבורך.

מתן-
12-09-2012, 17:54
זה שהמשולשים דומים זה ברור מייד לפי הזוויות. ואם הם לא חופפים כלומר DO/OC\neq1 אז AB ו-DC אינם מקבילים.

אתה יכול בבקשה להסביר מדוע AB ו-DC אינם מקבילים במקרה זה ?

Bogri74
13-09-2012, 15:07
אתה יכול בבקשה להסביר מדוע AB ו-DC אינם מקבילים במקרה זה ?

פשוט מאד:

מדמיון המשולשים ADO ו-BCO נובע דמיון משולשים DOC ו- AOB, זוויות BAC ו- BDC שוות. מעובדה ש DC מקביל ל- AB נובע כי זוויות BAC ו- ACD שוות. זאת אומרת שזוויות BDC ו- ACD שוות כלומר משולש DOC שווה שוקיים כלומר DO שווה ל-OC. ולכן המשולשים ADO ו- BCO לא רק דומים אלה גם חופפים.

or150
24-12-2012, 09:45
שיחקתי כמה שניות עם זוויות על הדף. כשמסתכלים על המשולשים DBC ו-CAD מקבלים את הזווית החסרה לחפיפה והשאלה נפתרה.