PDA

צפה בגרסה המלאה : משוואה טריגונומטרית



Bogri74
12-09-2012, 06:33
פתרו את המשוואה הבאה:

\int_0^x{cos(\tau+x^2)}d\tau=sinx

כאשר

x\in[2,3]

גל_כהן
13-09-2012, 23:08
\int_{0}^{x}{ cos(\tau+x^2 ) d \tau=\[sin(\tau+x^2)\]_{0}^{x}=sin(x+x^2)-sin(x^2)
ומכאן שהמשוואה היא sin(x+x^2)-sin(x^2)=sin(x).
נעביר אגפים :
sin(x+x^2)=sin(x)+sin(x^2)
ניעזר בנוסחה של זווית כפולה ובנוסחה של סכום סינוסים :
2 sin(\frac{x+x^2}{2}) cos(\frac{x+x^2}{2})=2 sin(\frac{x+x^2}{2}) cos(\frac{x-x^2}{2})
נקבל שתי אפשרויות :
1. sin(\frac{x+x^2}{2})=0 \right \frac{x+x^2}{2}=\pi k \right x^2+x-2\pi k=0 \right x=\frac{-1\pm{sqrt{1+8\pi k}}}{2}
2. cos(\frac{x+x^2}{2})=cos(\frac{x-x^2}{2}) \right \frac{x+x^2}{2}=\pm{\frac{x-x^2}{2}}+2\pi k
מתוך כך נקבל x=\pm{sqrt{2\pi k}} \ Or \ x=2\pi k.

בתוך התחום הנתון נקבל את שני הפתרונות x=\frac{sqrt{1+8\pi}-1}{2} \sim 2.056 ו-x=sqrt{2 \pi} \sim 2.506.

לילה טוב :) !

Bogri74
14-09-2012, 11:02
נכון, רק דבר קטן: לפני שאתה מעביר אגפים אפשר פשוט להשתמש בנוסחה של הפרש סינוסים ובכך לקצר את הדרך.


חג שמח ושנה טובה!