PDA

צפה בגרסה המלאה : קחו שעה ונסו לפתור.



Bogri74
12-09-2012, 10:58
במשולש חד זווית ABC ששטחו 18 מורידים גובה AP על הצלע BC וגובה CQ על הצלע AB. נתון PQ=2sqrt{2} ושטח משולש BPQ הוא 2. דרוש לחשב את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABC.

Dmot
12-09-2012, 13:10
המרובע AQCP בר חסימה במעגל [אם יש צורך אוכיח זאת, באופן כללי, תמיד העברה של שני גבהים במשולש יוצרת מרובע בר חסימה במעגל]. מכאן, הזוויות A שווה למאה שמונים פחות הזווית P. מזוויות צמודות (סכומן 180) מקבלים שהזווית CPQ שווה לזווית A. הזווית B שווה בשני המשולשים (ABC וBPQ) ולכן המשולשים דומים.
שטחי משולשים דומים מתייחסים זה לזה כריבוע יחס הדימיון. מכאן,
\sqrt{\frac{S_{BPQ}}{S_{ABC}}}=\frac{PQ}{AC}

\sqrt{\frac{2}{18}}=\frac{PQ}{AC}

\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{PQ}{AC}

\frac{1}{3}=\frac{PQ}{AC}

3PQ=AC

3\cdot 2\sqrt{2}=AC

6\sqrt{2}=AC
מכאן, אני מרגיש שדיי הסתבכתי. אבל זה עובד (: אחפש פתרון מהיר יותר.

יחס הדימיון הוא 1:3. לכן אם נסמן BQ=x,BP=y נקבל BC=3x,AB=3y. מחיסור צלעות, AQ=3y-x,PC=3x-y.
מפיתגורס במשולשים ABC וBQC מקבלים:
QC=8\sqrt{x},AP=8\sqrt{y}
מפיתגורס במשולשים APC וAQC מקבלים:
(3y-x)^2+(x\sqrt{8})^2=(6\sqrt{2})^2 \\ (3x-y)^2+(y\sqrt{x})^2=(6\sqrt{2})^2
בנוסף, עקב שטח משולש אפשר לקבל:
\frac{AP\cdot BC}{2}=18 \\ AP\cdot BC=36 \\ y\sqrt{8}\cdot 3x=36 \\ xy\sqrt{8}=12
פתרונות המשוואה של השטח ושל פיתגורס מביאים:
x\approx 1.432,y\approx 2.962 (או הפוך).
שטח משולש ניתן בין היתר ע"י הנוסחא:
S=\frac{abc}{4R}
מכאן,
\frac{abc}{4S}=R
ולכן,
\frac{6\sqrt{2}\cdot 3\cdot 1.432\cdot 3\cdot 2.962}{4\cdot 18}=R

R\approx 0.5
אשמח לדעת אם יש טעות (:
יום טוב ומבורך.

Bogri74
12-09-2012, 14:57
עד לשורה שבה אתה רושם שהסתבכת הכל מדוייק. אחרי זה נסה להגיע לערכו של סינוס הזווית B ותשתמש במשפט הסינוסים על מנת להגיע לרדיוס הדרוש.

Dmot
12-09-2012, 15:43
רציתי להמנע מטריגו, כי אני יכול לפתור בגיאו... ^_^
יום טוב ומבורך.

Bogri74
12-09-2012, 17:25
זכותך, אך אין בתרגיל דרישה כזאת ולדעתי רצוי ללכת בדרך הקצרה והיפה יותר.

cosB=1/3\\sinB=sqrt{1-cos^2B}\\R=\frac{|AC|}{2sinB}

Dmot
12-09-2012, 17:27
עכשיו שאתה מראה זאת כך, זה באמת מעט יפה יותר (:
אני דיי חסיד של גיאומטריה ומנסה לצמצם את השימוש בטריגו רק כאשר הדבר הכרחי. אבל, פתרון יפה (:
תודה!
יום טוב ומבורך (: