PDA

צפה בגרסה המלאה : מעגל קנוני #3..



NiCkLeSs
16-09-2012, 12:08
היי שוב..

שוב הביאו לנו שיעורי בית הנושא הזה, שוב ניסיתי ושוב נתקעתי !
מסתבר שהמורה באמת לא הסבירה כמו שצריך, כי הגענו למצב שאף אחד לא הצליח לעשות את זה בכיתה !
אז כמובן שהאתר הזה הוא הפיתרון היחיד שיש לי לפני שאני ניגש למורה פרטית (שאני ממש לא רוצה, גם בגלל כסף).

תמונה של השאלה:

http://ufu.co.il/files/tu31cvbbmfkerre0sfbl.jpg

למי שלא רואה:
במעגל קנוני חסום ריבוע ABCD.
משוואת הצלע AB היא 5y-3x=34.
הישר x=2 חותך את המעגל ברביע הראשון בנקודה B.

א. מצאו את שיעורי הקודקוד B (הצלחתי, רק להציב).
ב. מצאו את משוואת המעגל (הצלחתי גם כן, קל).
ג. מצאו את שיעורי קודקוד A.
ד. מצאו את שיעורי הקודקודים C ו-D.

תשובות: א. B(2, 8)i ...... ב. x^2+y^2=68 ...... ג. A(-8, 2)i ...... ד. C(8, -2)i .א D(-2, -8)i.


המון תודה לפותרים!
שנה טובה לכם! :)

Dmot
16-09-2012, 13:49
ראשית, כל הכבוד שהצלחת עד כאן! (:
נסתכל על הישר, ונחלק אותו ב-5 (אני ממש שונא לעשות זאת-לעבוד עם מספרים "לא שלמים", אבל לעיתים, אין ברירה)
y-0.6x=6.8
נבודד את y, ונציב במשוואת המעגל.
y=6.8+0.6x

x^2+(6.8+0.6x)^2=68 \\ x^2+6.8^2+2\cdot 6.8\cdot 0.6x+0.6^2x^2=68
מהמחשבון,
1.36x^2+8.16x-21.76=0
נוסחת שורשים,
x_{1,2}=\frac{-8.16\pm \sqrt{8.16^2-4\cdot 1.36\cdot -21.76}}{2\cdot 1.36}

x_{1,2}=\frac{-8.16\pm \sqrt{184.96}}{2\cdot 1.36}

x_{1,2}=\frac{-8.16\pm 13.6}{2\cdot 1.36}
פעם פלוס, פעם מינוס.
x_1=\frac{-8.16+13.6}{2\cdot 1.36}=2

x_2=\frac{-8.16-13.6}{2\cdot 1.36}=-8

הישר AB חותך את המעגל בשתי נקודות-A וB. כיוון שהנקודה B מונחת על הישר x=2 אז x1 מתאים לה. מכאן, שx2 הוא שיעור ה-x של A.
מציבים במשוואת הישר או במעגל (מומלץ בישר).
A(-8,2)

סעיף ד'. למען האמת, אפשר לקבוע זאת ישר, מטעמי סימטריה (תחשוב על לסובב את הריבוע כך שצלעותיו יקבילו לצירים, ואז לסובב אותו...).
אבל, אפשר לפתור אלגברית. יש כמה דרכים. אחת דיפרנציאלית ואחת אנליטית. אני מניח שתרצה את האנליטית (:
אם למדת על מרחק בין ישרים מקבילים, אפשר לפתור תרגיל זה בקלות יתר (חומר של יב'). במידה ותרצה, אצרף פתרון כזה.
אני מניח שלא למדת, אז הנה הדרכה.
-מוצאים את גודל הצלע AB ע"י דיסטנס. כל הצלעות בריבוע שוות, ולכן מצאת את צלע הריבוע.
-מעבירים את משוואת הישר הנתון לצורה מפורשת, כלומר, לצורה: y=mx+n.
-מחלצים את השיפוע של הישר AB [המקדם של x]. מכפלת ישרים מאונכים היא 1- ("הופכי ונגדי") ולכן מוצאים את השיפוע של AD.
-מוצאים משוואת AD עם נקודה ושיפוע.
-משווים למעגל, מוצאים את הנקודה D.
-מכאן, או דיסטנס כדי למצוא את C, או שוב נקודה ושיפוע....

שנה טובה ומוברכת ויום טוב ומבורך! ^_^ כל הכבוד, דרך אגב, על הניסיון להימנע ממורה פרטית...

NiCkLeSs
16-09-2012, 14:28
ראשית, כל הכבוד שהצלחת עד כאן! (:
נסתכל על הישר, ונחלק אותו ב-5 (אני ממש שונא לעשות זאת-לעבוד עם מספרים "לא שלמים", אבל לעיתים, אין ברירה)
y-0.6x=6.8
נבודד את y, ונציב במשוואת המעגל.
y=6.8+0.6x

x^2+(6.8+0.6x)^2=68 \\ x^2+6.8^2+2\cdot 6.8\cdot 0.6x+0.6^2x^2=68
מהמחשבון,
1.36x^2+8.16x-21.76=0
נוסחת שורשים,
x_{1,2}=\frac{-8.16\pm \sqrt{8.16^2-4\cdot 1.36\cdot -21.76}}{2\cdot 1.36}

x_{1,2}=\frac{-8.16\pm \sqrt{184.96}}{2\cdot 1.36}

x_{1,2}=\frac{-8.16\pm 13.6}{2\cdot 1.36}
פעם פלוס, פעם מינוס.
x_1=\frac{-8.16+13.6}{2\cdot 1.36}=2

x_2=\frac{-8.16-13.6}{2\cdot 1.36}=-8

הישר AB חותך את המעגל בשתי נקודות-A וB. כיוון שהנקודה B מונחת על הישר x=2 אז x1 מתאים לה. מכאן, שx2 הוא שיעור ה-x של A.
מציבים במשוואת הישר או במעגל (מומלץ בישר).
A(-8,2)

סעיף ד'. למען האמת, אפשר לקבוע זאת ישר, מטעמי סימטריה (תחשוב על לסובב את הריבוע כך שצלעותיו יקבילו לצירים, ואז לסובב אותו...).
אבל, אפשר לפתור אלגברית. יש כמה דרכים. אחת דיפרנציאלית ואחת אנליטית. אני מניח שתרצה את האנליטית (:
אם למדת על מרחק בין ישרים מקבילים, אפשר לפתור תרגיל זה בקלות יתר (חומר של יב'). במידה ותרצה, אצרף פתרון כזה.
אני מניח שלא למדת, אז הנה הדרכה.
-מוצאים את גודל הצלע AB ע"י דיסטנס. כל הצלעות בריבוע שוות, ולכן מצאת את צלע הריבוע.
-מעבירים את משוואת הישר הנתון לצורה מפורשת, כלומר, לצורה: y=mx+n.
-מחלצים את השיפוע של הישר AB [המקדם של x]. מכפלת ישרים מאונכים היא 1- ("הופכי ונגדי") ולכן מוצאים את השיפוע של AD.
-מוצאים משוואת AD עם נקודה ושיפוע.
-משווים למעגל, מוצאים את הנקודה D.
-מכאן, או דיסטנס כדי למצוא את C, או שוב נקודה ושיפוע....

שנה טובה ומוברכת ויום טוב ומבורך! ^_^ כל הכבוד, דרך אגב, על הניסיון להימנע ממורה פרטית...
חח אוקיי.. דבר ראשון - הצלחתי בזכותך, בזכות הפתירה שלך לתרגילים הקודמים שלי באותו נושא! בלעדייך.. גם את זה בקושי הייתי מצליח (:

דבר שני.. לא ממש למדתי עדיין על מרחק בין ישרים מקבילים (כנראה עוד נלמד), אבל זה מוזר שהיא הביאה לנו תרגיל כזה שלא נלמד עוד!
ככה שהסתבכתי עם הסעיף האחרון (ד').
לא הייתי לי בעיה למצוא את דיסטנס של AB, אבל נתקעתי בערך מפה:


מעבירים את משוואת הישר הנתון לצורה מפורשת, כלומר, לצורה: http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?y=mx+n
.
לאיזה משוואת ישר אתה מתכוון? ואיך אני מעביר אותה?
והסתבכתי בעוד כמה שלבים..

אני יודע שזאת ההדרכה הכי טובה שיש, ואני מבין חלקים פה ושם אבל הבעיה היא שזה די מסבך אותי, אני אפילו לא יודע למה S:
אני יודע שהפיתרון הוא הכי קל בארץ ושאני יוכל לפתור לבד, אבל איכשהוא הסתבכתי..
במידה ולא תוכל להעלות לכאן את הפיתרון המלא לסעיף ד', אני אבין.

בכל מקרה, המון תודה על כל שאר העזרה! שוב שיחקת אותה :)
מה גם שאני לא הולך לוותר בקלות וללכת למורה פרטית.. זה הפיתרון האחרון שלי.
שנה טובה ושוב, אלף תודות!

Dmot
16-09-2012, 15:28
אני שמח לעזור לך (: לא הצלחת בזכותי, הצלחת בזכותך. אל תזקוף דברים השייכים לך לי (: עצם זה שלמדת מהתרגילים שפתרתי עבורך מראה שזה הכל בזכותך, ולא בזכותי ;)
זה לא שהמורה לא לימדה, אלא שבמתמטיקה, אפשר לפתור תרגיל בהרבה דרכים. ישנן קלות יותר וישנן קשות יותר. אם תסתכל על התרגיל הזה בשלב מאוחר יותר תוכל לראות שיש דרכים שמקצרות, אבל כרגע, אתה לא מכיר אותן, אז אין ברירה ולפתור בדרך "רגילה" (:
דרך קלה יותר.
נסמן: D_x=-m. הנקודה D נמצאת על המעגל, והיא נמצת ברביע השלישי.
נציב זאת במשוואת המעגל,
y^2+x^2=68 \\ y^2+(-m)^2=68 \\ y^2+m^2=68 \\ y=\pm \sqrt{68-m^2}
כיוון ש-D נמצאת ברביע השלישי, אז שיעור ה-y שלה שלילי, ולכן,
D(-m,-\sqrt{68-m^2})
מדיסטנס בין A וB מצאת שהדיסטנס הוא \sqrt{136}. הצלע AB שווה לצלע AD (צלעות שוות בריבוע). ולכן, הדיסטנס שלהם זהה.
ניצור דיסטנס בין הנקודה A לנקודה D.
d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \\ \sqrt{136}=\sqrt{(-8--m)^2+(2--\sqrt{68-m^2})^2} \\ 136=(m-8)^2+(\sqrt{68-m^2}+2)^2 \\ 136=64-16m+m^2+68-m^2+4\sqrt{68-m^2}+4 \\ 0=-16m+4\sqrt{68-m^2} \\ 16m=4\sqrt{68-m^2} \\ 4m=\sqrt{68-m^2} \\ 16m^2=68-m^2 \\ 17m^2=68 \\ m^2=4 \\ m_1=2 \ \ m_2=-2
והרי סימנו: D_x=-m וD נמצאת ברביע השלישי, ולכן הפתרון המתאים הוא m1.
מציבים זאת בנקודה, ומוצאים:
D(-2,-8)
אפשר למצוא את C באותה צורה-סימון של C(n,-\sqrt{68-n^2}) ודיסטנס עם B, או לבנות משוואת ישר DC ע"פ נקודה (D) ושיפוע (הישרים DC וAB מקבילים, ולכן הם בעלי שיפועים שווים) והשואוה לישר.
מקווה שמובן! בנוסף, תפסיק להחמיא לי בבקשה (: אני מסמיק.
יום טוב ומבורך ושנה טובה ומתוקה!

NiCkLeSs
16-09-2012, 15:45
אני שמח לעזור לך (: לא הצלחת בזכותי, הצלחת בזכותך. אל תזקוף דברים השייכים לך לי (: עצם זה שלמדת מהתרגילים שפתרתי עבורך מראה שזה הכל בזכותך, ולא בזכותי ;)
זה לא שהמורה לא לימדה, אלא שבמתמטיקה, אפשר לפתור תרגיל בהרבה דרכים. ישנן קלות יותר וישנן קשות יותר. אם תסתכל על התרגיל הזה בשלב מאוחר יותר תוכל לראות שיש דרכים שמקצרות, אבל כרגע, אתה לא מכיר אותן, אז אין ברירה ולפתור בדרך "רגילה" (:
דרך קלה יותר.
נסמן: D_x=-m. הנקודה D נמצאת על המעגל, והיא נמצת ברביע השלישי.
נציב זאת במשוואת המעגל,
y^2+x^2=68 \\ y^2+(-m)^2=68 \\ y^2+m^2=68 \\ y=\pm \sqrt{68-m^2}
כיוון ש-D נמצאת ברביע השלישי, אז שיעור ה-y שלה שלילי, ולכן,
D(-m,-\sqrt{68-m^2})
מדיסטנס בין A וB מצאת שהדיסטנס הוא \sqrt{136}. הצלע AB שווה לצלע AD (צלעות שוות בריבוע). ולכן, הדיסטנס שלהם זהה.
ניצור דיסטנס בין הנקודה A לנקודה D.
d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \\ \sqrt{136}=\sqrt{(-8--m)^2+(2--\sqrt{68-m^2})^2} \\ 136=(m-8)^2+(\sqrt{68-m^2}+2)^2 \\ 136=64-16m+m^2+68-m^2+4\sqrt{68-m^2}+4 \\ 0=-16m+4\sqrt{68-m^2} \\ 16m=4\sqrt{68-m^2} \\ 4m=\sqrt{68-m^2} \\ 16m^2=68-m^2 \\ 17m^2=68 \\ m^2=4 \\ m_1=2 \ \ m_2=-2
והרי סימנו: D_x=-m וD נמצאת ברביע השלישי, ולכן הפתרון המתאים הוא m1.
מציבים זאת בנקודה, ומוצאים:
D(-2,-8)
אפשר למצוא את C באותה צורה-סימון של C(n,-\sqrt{68-n^2}) ודיסטנס עם B, או לבנות משוואת ישר DC ע"פ נקודה (D) ושיפוע (הישרים DC וAB מקבילים, ולכן הם בעלי שיפועים שווים) והשואוה לישר.
מקווה שמובן! בנוסף, תפסיק להחמיא לי בבקשה (: אני מסמיק.
יום טוב ומבורך ושנה טובה ומתוקה!
נתפשר על 50%-50% ;)

ותודה רבה על הפירוט והעזרה לסעיף, אבל אני חייב להודות שלא הצלחתי להבין אפילו חלק קטן חח..
זאת דרך חדשה? מצטער אבל לא ממש הבנתי מה עשית פה, הסתבכתי טוטאלית S;

לא הבנתי מה זה הסימון הזה: http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?D_x=-m.. בשביל מה ולפי איזה נוסחה או כלל השתמשת בזה?
הבנתי שהצבת את ה-(m-) במשוואת המעגל, אבל זה מה בעצם אותו m- ?
כנ"ל, לא הבנתי ממש את הקטע הזה: http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?D(-m,-\sqrt{68-m^2}) - לפי איזה נוסחה / כלל? ומה עשית פה? חח
איך הגעת שהדיסטנס הוא: http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?\sqrt{136} ?

בקיצור הסתבכתי טוטאלית S;
ממש מצטער על הבורות אבל איכשהוא.. החומר הזה לא מדבר אליי ואני לא מצליח להבין אותו נכון =/
לפני שנתיים + שנה שעברה (י' ו-יא') ישבתי על ציון 100 כל השנה (אני יודע שהבגרויות היו די קלות), אבל בכל זאת..

Dmot
16-09-2012, 16:34
מספיק טוב בשבילי (:
הסימון: D_x=-m פירושו לסמן את שיעור ה-x של D ב m-.
הנקודה D נמצאת על המעגל, ולכן מקיימת אותו (: לכן, הצבתי את שיעור ה-x של הנקודה במשוואת המעגל (:. כיוון ששיעור ה-x של הנקודה D כפי שסימנתי הוא m-,אז הצבתי m- במשוואת המעגל. לאחר מכן, מצאתי שתי אפשרויות לשיעור ה-y של הנקודה, אחת חיובית ואחת שלילית. פסלתי את התשובה החיובית לפי השרטוט- הנקודה D נמצאת ברביע השלישי-שבו x קטן מאפס וגם y קטן מאפס.
הדיסטנס הוא 136, כי זהו הדיסטנס בין הנקודות A ו-B.
d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \\ d_{AB}=\sqrt{(-8-2)^2+(2-8)^2} \\ d_{AB}=\sqrt{(-10)^2+(-6)^2} \\ d_{AB}=\sqrt{100+36} \\ d_{AB}=\sqrt{136}}
וכיוון שכל הצלעות בריבוע שוות, אז הדיסטנס בין AB שווה לדיסטנס בין AD.
מובן יותר?
יום טוב ומבורך ושנה טובה ומבורכת!

NiCkLeSs
16-09-2012, 17:01
מספיק טוב בשבילי (:
הסימון: D_x=-m פירושו לסמן את שיעור ה-x של D ב m-.
הנקודה D נמצאת על המעגל, ולכן מקיימת אותו (: לכן, הצבתי את שיעור ה-x של הנקודה במשוואת המעגל (:. כיוון ששיעור ה-x של הנקודה D כפי שסימנתי הוא m-,אז הצבתי m- במשוואת המעגל. לאחר מכן, מצאתי שתי אפשרויות לשיעור ה-y של הנקודה, אחת חיובית ואחת שלילית. פסלתי את התשובה החיובית לפי השרטוט- הנקודה D נמצאת ברביע השלישי-שבו x קטן מאפס וגם y קטן מאפס.
הדיסטנס הוא 136, כי זהו הדיסטנס בין הנקודות A ו-B.
d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \\ d_{AB}=\sqrt{(-8-2)^2+(2-8)^2} \\ d_{AB}=\sqrt{(-10)^2+(-6)^2} \\ d_{AB}=\sqrt{100+36} \\ d_{AB}=\sqrt{136}}
וכיוון שכל הצלעות בריבוע שוות, אז הדיסטנס בין AB שווה לדיסטנס בין AD.
מובן יותר?
יום טוב ומבורך ושנה טובה ומבורכת!
אהה הבנתייי..
פשוט לא הבנתי מה זה לעזאזל m- ומאיפה הוא בא חחח.

הבנתי את ההצבה שלו במשוואת המעגל, ומה שלא הבנתי בעצם זה את זה: http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?D(-m,-\sqrt{68-m^2})
אבל אז הבנתי שזה בעצם ה-x וה-y של נקודה D חח.. זה פשוט סיבך אותי, לא רגיל לדברים כאלה (:

בגדול הבנתי מה עשית, וזה הרבה יותר קל ממה שחשבתי חח..
תודה רבה על כל העזרה, זה בעצם כל מה שהייתי צריך :)
חג שמח ושנה טובה ומתוקה !!!

Dmot
16-09-2012, 17:07
זה בסדר גמור שלא הבנת. מעט מבינים את זה בפעם הראשונה שהם רואים את זה (:
חג שמח גם לך, גמר חתימה טובה ושנה טובה ומבורכת! (: לילה טוב ומבורך!