PDA

צפה בגרסה המלאה : עוד שאלה במספרים מרוכבים :)



oh La La
26-10-2012, 14:27
היייי
זאת השאלה
2i)^9*z^3)=(1+i)^17)

אני מקווה שהוא מובן :פ ..
תודה מראש :)

omeromer
26-10-2012, 15:10
החלק המסובך פה הוא הביטוי:
(1 + i)^{17}

כאשר נתקלים בביטוי כזה יש 2 דרכים לפשט אותו:

דרך א' - אלגברית:
תמיד שיש לנו ביטוי מהצורה (a + ai)^{k} קל לפשט אותו, והדרך לפשט אותו היא:
אם החזקה אי זוגית - נהפוך אותה לחזקה זוגית בכך שנחסיר מהחזקה 1 ונכפיל בביטוי (a + ai) וכך בעצם לא נשנה שום דבר.
אם החזקה זוגית זה טוב מאוד ואפשר להמשיך.

אם החזקה הייתה אי זוגית נקבל ביטוי מהצורה (a + ai)^{2n}(a + ai) ואם היא הייתה זוגית נקבל ביטוי מהצורה (a + ai)^{2n}, בשניהם מופיע הביטוי:
(a + ai)^{2n} שאותו נפשט:
((a + ai)^2)^n
הסיבה להפרדה הזאת היא שהביטוי (a + ai)^2 הוא תמיד מאוד פשוט, והסיבה לכך היא שאם מעלים בריבוע מספר מרוכב ע"פ הנוסחא:
(a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi
הביטוי a^2 - b^2 יצמטצם כאשר a = b ואז נקבל רק את הביטוי 2abi = 2a^2i, כלומר שמעלים מספר מרוכב שהחלק הממשי שלו שווה לחלק המדומה, מקבלים ביטוי מאוד פשוט שהוא רק מכפלה.

עכשיו אפשר להמשיך לפשט:
((a + ai)^2)^n \\ (a^2 - a^2 + 2aai)^n \\ (2a^2i)^n

הביטוי שלנו הוא (1 + i)^{17}, החזקה היא אי זוגית ולכן נהפוך אותה לזוגית ככה:
(1 + i)^{16}(1 + i)
עכשיו נבודד את הביטוי הריבועי:
((1 + i)^2)^{8}(1 + i)
עכשיו שנפתח את הסוגריים של הריבוע אנחנו יודעים שנקבל ביטוי פשוט:
(1^2 - 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i)^{8}(1 + i) \\ (2i)^8(1 + i) \\ 2^8 \cdot i^8 \cdot (1 + i) \\ 256 \cdot 1 \cdot (1 + i) \\ 256 + 256i

דרך ב' - טריגונומטרית:
הדרך השניה היא להעביר את המספר להצגה קוטבית.
ניתן להגיד ש:
1 + i = rcis(\alpha) \\ r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \\ \tan \alpha = \frac{1}{1} \\ \alpha = 45^{\circ} \\ 1 + i = \sqrt{2} cis(45)

ולכן:
(1 + i)^{17} = (\sqrt{2} cis(45))^{17}
ע"פ משפט דה מואבר:
(1 + i)^{17} = \sqrt{2}^{17} cis (45 \cdot 17) \\ (1 + i)^{17} = 256\sqrt{2}(cis 765) \\ (1 + i)^{17} = 256 \sqrt{2} cis(765 - 720) \\ (1 + i)^{17} = 256\sqrt{2}(\cos 45 + i\sin 45) \\ (1 + i)^{17} = 256\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i) \\ (1 + i)^{17} = 256 + 256i


כל שאר המשוואה שכתבת לא מובנת לי, אם תכתוב אותה יותר ברור אמשיך לפתור

oh La La
26-10-2012, 15:40
24556

מממ עכשיו זה מובן ?

omeromer
26-10-2012, 16:32
כן:
(2i)^9 \cdot z^3 = 256(1 + i) \\ 2^9 \cdot i^8 \cdot i \cdot z^3 = 2^8(1 + i) \\2^9i \cdot z^3 = 2^8(1 + i) \\ 2i \cdot z^3 = 1 + i \\ z^3 = \frac{1 + i}{2i} \\ z^3 = \frac{1 + i}{2} \cdot \frac{1}{i}
חשוב לזכור:
\frac{1}{i} = \frac{1 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{i}{-1} = -i
נציב:
z^3 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i
מפה רק צריך לעבור להצגה קוטבית של המספר בצד ימין של המשוואה ולמצוא את השורשים.

oh La La
26-10-2012, 16:47
תודה רבה אחי .. :)