PDA

צפה בגרסה המלאה : שאלה שלישית במספרים מרוכבים



oh La La
26-10-2012, 16:47
היי סליחה על ההפרעה חח אבל פשוט אני רוצה לבדוק אם התשובות שלי אם הם נכונות :p

אוקי השאלה היא משלושה סעיפים אבל הם לא תלויים אחד בשני

א- יהי z מספר מורכב הוכח כי השיוויון z-i|=1| מתקיים אם ורק אם http://latex.codecogs.com/gif.latex?i|z|^{2}=z-\bar{z}
ב- מצא את כל הפתרונות המשוואה http://latex.codecogs.com/gif.latex?z^{3}-(2+2i)^{2}=0
ג- פתור את המשוואה http://latex.codecogs.com/gif.latex?1-z+z^{2}-z^{3}=0 כאשר z היא משתנה מרוכב

תודה מראש :)

omeromer
26-10-2012, 17:56
א) לא יודע

ב) פשוט להעביר אגפים ולהפוך את (2 + 2i)^2 להצגה קוטבית, ואז למצוא את ה3 שורשים.

ג) 1 - z + z^2 - z^3 = 0

נסמן x = 1 - z + z^2 - z^3
נכפיל את 2 הצדדים במינוס z:
-z \cdot x = -z + z^2 - z^3 + z^4
קיבלנו 2 משוואות, נחסיר את הראשונה מהשנייה:
-z \cdot x - x = z^4 - 1 \\ x(-z - 1) = z^4 - 1
כאשר
-z - 1 = 0 \\ -z = 1 \\ z = -1
נבדוק אם זה פתרון:
1 + 1 + 1 + 1 = 0 \\ 4 = 0
זה לא פתרון, ולכן z \neq -1 ולכן אפשר לחלק ב-z - 1:

x = \frac{z^4 - 1}{-z - 1} = \frac{(z^2 - 1)(z^2 + 1)}{-(z + 1)} = \frac{(z- 1)(z + 1)(z^2 + 1)}{-(z + 1)} = -(z + 1)(z^2 + 1)

כלומר 1 - z + z^2 - z^3 = -(z + 1)(z^2 + 1)
נציב במשוואה:
-(z + 1)(z^2 + 1) = 0 \\ z = -1 \\ z^2 = -1 \\ z = i \\ z = -i

oh La La
26-10-2012, 18:03
אני לא יכול לעשות את זה
http://latex.codecogs.com/gif.latex?1+z^{2}=z^{3}+z
http://latex.codecogs.com/gif.latex?1+z^{2}=z(1+z^{2})
z=0 ???

oh La La
26-10-2012, 18:09
ועוד שאלה אתה יכול להסביר לי אם אני עושה את זה נכון בסעיף ב

ולהמשיך לבדוק :)

האם זה נכון ???

oh La La
26-10-2012, 18:12
24558

oh La La
26-10-2012, 18:12
סליחה היתה בעיה ב אני לא יודעת איפה חח :)

omeromer
26-10-2012, 18:16
אני לא יכול לעשות את זה
http://latex.codecogs.com/gif.latex?1+z^{2}=z^{3}+z
http://latex.codecogs.com/gif.latex?1+z^{2}=z(1+z^{2})
z=0 ???
כן אפשר לעשות ככה, זה דרך יותר טובה משלי שלא חשבתי עליה. הטעות היא אבל שהפתרון של המשוואה הזאת הוא לא z = 0, כדי להמשיך ולמצוא את כל הפתרונות צריך להעביר אגפים ולהוציא גורם משותף:
1 + z^2 = z(1 + z^2) \\ z(1 + z^2) - 1(1 + z^2) = 0 \\ (z - 1)(1 + z^2) = 0 \\ z - 1 = 0 \\ z = 1 \\ z^2 + 1 = 0 \\ z^2 = -1 \\ z = i \\ z = -i



ועוד שאלה אתה יכול להסביר לי אם אני עושה את זה נכון בסעיף ב

ולהמשיך לבדוק

האם זה נכון ???
התכוונת סעיף ג'? ואי אפשר לראות כלום ממה שכתבת

oh La La
26-10-2012, 18:25
לא התקוונתי לסעיף ב .. אני מגיעה לביטוי הזה ומשם אני ממשיכה לבדוק את השורשים נכון ? :)
http://www.emath.co.il/forums/attachments/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94-%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%A8%D7%A0%D7%99%D7%AA/24558d1351264315-gif-1-.gif

omeromer
26-10-2012, 18:28
לא התקוונתי לסעיף ב .. אני מגיעה לביטוי הזה ומשם אני ממשיכה לבדוק את השורשים נכון ? :)
http://www.emath.co.il/forums/attachments/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94-%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%A8%D7%A0%D7%99%D7%AA/24558d1351264315-gif-1-.gif
בהנחה שהביטוי הזה נכון (לא ראיתי את הדרך שהגעת אליו אז אני לא יכול לקבוע), אז כדי למצוא את השורשים כל מה שנשאר לעשות זה להציב k = 1, k = 2, k = 3 או כל 3 k'יים סמוכים ולקבל 3 פתרונות, יותר מזה והפתרונות כבר יחזרו על עצמם.

oh La La
26-10-2012, 18:33
בסדר אין לי בעיה במציאת השורשים !

אני רק רוצה לדעת אם הביטוי הזה נכון או לא :)
כך פתרתי אותו ...
24560
24559
ואז הביטוי שמה למעלה :)
האם התהליך נכון ??

omeromer
26-10-2012, 18:40
אני אכתוב פתרון ותשווה אותו לשלך:
z^3 = (2 + 2i)^2 \\ 2 + 2i = rcis \alpha \\ r = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} \\ \tan \alpha = 1 \\ \alpha = 45 \\ 2 + 2i = 2\sqrt{2} cis 45 \\ z^3 = (2\sqrt{2} cis 45)^2
דה מואבר:
z^3 = 8 cis 90 \\ z = 2cis \frac{90 + 360k}{3} \\ z = 2cis (30 + 120k)i

oh La La
26-10-2012, 18:45
אאא כן זה אותה תשובה .. רק כתבתי אותה בדרך אחרת ..
מדהים אתה !!
תודה רבה רבה ..

** אתה לא יכול לנסות לפתור את סעיף א הוא מעצבן >< !!

omeromer
26-10-2012, 18:48
אאא כן זה אותה תשובה .. רק כתבתי אותה בדרך אחרת ..
מדהים אתה !!
תודה רבה רבה ..

** אתה לא יכול לנסות לפתור את סעיף א הוא מעצבן >< !!
סעיף א' אני לא בטוח איך עובדת דרך הוכחה של משפטים שכוללים "אם ורק אם", תחכה שמישהו עם יותר ידע בהוכחות מתמטיות יגיב.