PDA

צפה בגרסה המלאה : שאלה במספרים מרוכבים



oh La La
05-11-2012, 12:09
היי מה קורה ?
השאלה היא :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?p(z)=z^{7}+a_{6}z^{6}+a_{5}z^{5}+a_{4}z^ {4}+a_{3}z^{3}+a_{2}z^{2}+a_{1}z+a_{0}
המקדמים ממשיים .. נתון ש z1=-5+5i שורש של הפולינופ והוא שורש של הנגזרת הראשונה וגם שורש הנגזרת ה2
מצאתי שיש שלושה שורשים שהם z1 ושלושה אחרים שהם הצמודים של z1-ים !
אז נשאר שורש אחד רק למצוא וצריך שיהיה ממשי בגלל שאם הוא היה מורכב אז צריך להיות אזשהו שורש נוסף שיהיה הצמוד שלו נכוווון ???

אאא ונתון ש המקדם החופשי = -15
צריך למצוא את מקדם a6 ?? :)
אשמח לראות פיתרון מלא :)

ShoobyD
08-11-2012, 01:48
בעקרון צדקת בכל מה שכתבת. :)
(הנתונים רק נראים לי מעט מוזרים, המקדם החופשי קטן מדי לעומת השורשים, מה שאומר שהשורש האחרון ממש זעיר.)


המקדם החופשי הוא שלילת מכפלת כל השורשים*, מכאן שאם נקרא לשורש האחרון r, אזי נקבל כי: -(-5+5i)^3(-5-5i)^3r = -15
כזכור z\bar{z} = |z|^2, ולכן המשוואה הנ״ל הופכת ל־(|-5+5i|^2)^3r = 50^3r = 125000r = 15
מכאן שהשורש האחרון הוא r = \frac{3}{25000} = 0.00012

המקדם a_6 הוא למעשה הנגדי של סכום השורשים*, ומכאן: a_6 = -3(-5+5i)-3(-5-5i)-r = 30-r = 29.99988



*אלו הכללות לנוסחאות ויאטה.
אם נזכור שהפולינום הוא מהצורה \(x-(-5-5i)\)^3 \(x-(-5+5i)\)^3 (x-r), אז כאשר נפתח סוגריים נקבל את הטענות הנ״ל.