PDA

צפה בגרסה המלאה : [אנליטית] אליפסה



darkstudy
19-01-2013, 01:50
סיימתי ללמוד את נושא האליפסה ולמרות שאני מצליח לפתור תרגילי אליפסה מבגרויות אני עדיין מרגיש שלא הבנתי עד הסוף לעומק את הנושא (קראתי את הסיכום באתר הזה).
1) למה מתקיים c^{2}=a^{2}-b^{2} - אין הסבר נורמאלי בסיכום באתר.
2) למה r1+r2=2a - מה הקשר בין מרחקי הנקודות מהמוקדים לערך של a.
3) איך הגיעו לנוסחה של - r1=a-\frac{cx}{a} וכנ"ל לגבי r2. והאם צריך לזכור את הנוסחאות הלאה.
4) ואם יש לכם טיפ על דברים (תכונות) של האליפסה שלא מובנים מאיליו מקריאת הנושא שאפשר להשתמש כאשר פותרים תרגיל עם אליפסה - דברים שלא ברורים מאיליו מהנוסחאות.

גל_כהן
19-01-2013, 10:24
נצטרך לעשות כאן כמה הוכחות וזה לא יהיה הכי פשוט, תעקוב. הערה חשובה - ההוכחות המובאות להלן נכונות עבור a>b, כמובן שקל להוכיח על אותו משקל עבור המקרה ש-b>a.

נתחיל מהשאלה השנייה - הגדרת האליפסה היא "המקום הגיאומטרי שסכום מרחקיה של נקודה משני מוקדים הוא קבוע".
הגודל הקבוע הזה הוא 2a.
נניח כי על האליפסה ישנה נקודה (x_0,y_0), מוקדי האליפסה הם (c,0) \ , \ (-c,0) ונקודות החיתוך של האליפסה
עם ציר ה-x הן (a,0) \ , \ (-a,0).

מרחקי הנקודה מהמוקדים הם r_1=sqrt{(x_0-c)^2+y_0^2} \ , \ r_2=sqrt{(x_0+c)^2+y_0^2}.
נניח כי סכום המרחקים הנ"ל שווה לפרמטר m כלשהו, כלומר מתקיימת המשוואה :
r_1+r_2=m \right sqrt{(x_0-c)^2+y_0^2}+sqrt{(x_0+c)^2+y_0^2}=m
נעביר אגפים ונעלה בריבוע - sqrt{(x_0-c)^2+y_0^2}=m-sqrt{(x_0+c)^2+y_0^2} \right x_0^2-2cx_0+c^2+y_0^2=m^2-2m sqrt{(x_0+c)^2+y_0^2}+x_0^2+2cx_0+c^2+y_0^2
נעביר אגפים בשנית - 2m sqrt{(x_0+c)^2+y_0^2}=m^2+4cx_0.
נחלק ב-2m ונקבל \underline{sqrt{(x_0+c)^2+y_0^2}=\frac{m}{2}+\frac {2cx_0}{m}} (עוד נחזור לפה).

נעלה שוב בריבוע - x_0^2+2cx_0+c^2+y_0^2=\frac{m^2}{4}+2cx_0+\frac{4c ^2x_0^2}{m^2}.
כעת נעביר אגפים - x_0^2-\frac{4c^2x_0^2}{m^2}+y_0^2=\frac{m^2}{4}-c^2.
נוציא גורם משותף באגף שמאל ונעשה מכנים משותפים - x_0^2 \(\frac{m^2-4c^2}{m^2} \)+y_0^2=\frac{m^2-4c^2}{4}.
נחלק את המשוואה בביטוי שבאגף ימין - \frac{x_0^2 \(\frac{m^2-4c^2}{m^2} \)}{\frac{m^2-4c^2}{4}}+\frac{y_0^2}{\frac{m^2-4c^2}{4}}=1.
בסך הכל נקבל \frac{x_0^2}{\frac{m^2}{4}}+\frac{y_0^2}{\frac{m^2-4c^2}{4}}=1.

כעת נתאים את המשוואה הנ"ל למשוואת האליפסה הידועה \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.
נשווה את המקדמים הרלוונטים ונקבל \frac{m^2}{4}=a^2 \right m=2a \ , \ \frac{m^2-4c^2}{4}=b^2 \right \frac{m^2}{4}-c^2=b^2 \right a^2-c^2=b^2.

בזאת הוכחנו שסכום מרחקיה של נקודה כלשהי על האליפסה ממוקדי האליפסה קבוע וגודלו 2a וכן הוכחנו ש-c^2=a^2-b^2.

נחזור לביטוי שאמרתי שנחזור אליו - sqrt{(x_0+c)^2+y_0^2}=\frac{m}{2}+\frac{2cx_0}{m}, נציב m=2a ונקבל r_2=sqrt{(x_0+c)^2+y_0^2}=a+\frac{c}{a}x_0.
קל מאוד להוכיח ש-r_1=sqrt{(x_0-c)^2+y_0^2}=a-\frac{c}{a}x_0.

בזאת הוכחתי כל מה שביקשת לדעת. הנוסחאות של מרחקי הנקודות בתלות ב-a וב-c יכולים מאוד להועיל וכדאי לזכור אותם.

אין לי טיפים פרט לזה שתעשה חיפוש כאן באתר, תעבור על שאלות באליפסה ותראה שאתה יודע להתמודד עם סוגים שונים של שאלות.

יום טוב :) !