PDA

צפה בגרסה המלאה : [דיון] שימוש במשוואות שלא בדף הנוסחאות



darkstudy
13-04-2013, 22:27
יש הרבה משוואות שמצויינות כדרך אגב בספרי לימוד אבל לא נמצאות בדף הנוסחאות הרשמי של בחינת הבגרות. לדוגמה באנליטית משוואת מרחק נקודה ממדריך ומוקד הפרבולה: r=x+p/2 , כנ"ל למרחקי נקודה על האליפסה ממוקדיה.

האם ניתן להשתמש במשוואות האלה בבגרות או לא.

Dmot
13-04-2013, 22:56
יש הרבה משוואות שמצויינות כדרך אגב בספרי לימוד אבל לא נמצאות בדף הנוסחאות הרשמי של בחינת הבגרות. לדוגמה באנליטית משוואת מרחק נקודה ממדריך ומוקד הפרבולה: r=x+p/2 , כנ"ל למרחקי נקודה על האליפסה ממוקדיה.

האם ניתן להשתמש במשוואות האלה בבגרות או לא.
לא. אבל כדאי לשים לב להבדל בין תכונה לבין משפט/משוואה.
כלומר, למשל, פרבולה היא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות הנמצאות במרחקים שווים מישר (המדריך) ומנקודה (המוקד).
זו תכונה (וכך למעשה מוכיחים את הפרבולה) ועליה נשאלים בבגרות.
המשוואה שאתה הבנת אינה ניתנת לשימוש בבגרות ללא הוכחה, אך מאידך היא דיי טריוייאלית - המרחק של הנקודה מציר ה-y הוא שיעור ה-x שלה. המרחק של המדריך מציר ה-y הוא \frac{p}{2}. מכאן, d=x+\frac{p}{2} - כאשר d הוא המרחק של הנקודה מהמדריך.
שתי תכונות חשובות שכדאי לזכור וניתנות לשימוש בבגרות, אך אינן מופיעות בדף הנוסחאות הן הנוסחאות לרדיוס וקטור באליפסה.
r_1=a+\frac{cx}{a} \\ r_2=a-\frac{cx}{a} [רדיוס וקטור הוא המרחק של נקודה על האליפסה מהמוקדים שלה].
כדאי לזכור גם בע"פ הוכחות למשיק שיוצא מנקודה מחוץ למעגל למעגל ולפרבולה.
ישנן נוסחאות שאינן מופיעות בדף נוסחאות בוקטורים ואותן מומלץ דווקא לזכור, כיוון שהן נובעות מהנוסחאות לאנליטית.
למשל, דיסטנס בשלושה מימדים.
אם בדו מימד המשוואה היא d^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 אז בתלת מימד הדבר יהיה: d^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2. בצורה דומה, אמצע קטע: O(\frac{x_1+x_2}{2}.\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_ 2}{2})
לסיכום,
א. לא להשתמש בנוסחאות שלא רשומות בדף נוסחאות ללא הוכחה.
ב. יש נוסחאות שמותר להשתמש בהן כיוון שהן מהוות תכונה. למשל, הנורמל למישור.
ג. לשים לב שישנן נוסחאות שעולות מתוך היגיון. כמו נוסחאות באנליטית לשלושה מימדים.
ד. יש כמה נוסחאות שכדאי לזכור את ההוכחה שלהן. המרכזית בהן והמומלצת היא משוואת משיק למעגל מנקודה שלא על המעגל.
(חפש בפורום)
לילה טוב ומבורך, תומר.

darkstudy
15-04-2013, 21:28
ד. יש כמה נוסחאות שכדאי לזכור את ההוכחה שלהן. המרכזית בהן והמומלצת היא משוואת משיק למעגל מנקודה שלא על המעגל.
(חפש בפורום)
לילה טוב ומבורך, תומר.
האם אתה מתכוון למשפט "שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה."
או ל - "אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע"
כי בשני המקרים אלה משפטים שניתן לצטט ולהשתמש ללא הוכחה.

Dmot
16-04-2013, 02:04
משוואת משיק למעגל מנקודה שלא על המעגל ניתנת ע"י הנוסחא:
y=m(x-a)\pm R\sqrt{m^2+1}+b
שים לב להוכחה (ושנן אותה).
מרחקה של הנקודה (x_1,y_1) מהישר (Ax+By+C=0) ניתן ע"י הנוסחא:
d=\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.
כעת, נעביר את הישר לצורה המפורשת שלו.
Ax+By+C=0 \\ By=-Ax-C \\ y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}
ולכן, נוכל לסמן: -\frac{A}{B}=m \\ -\frac{C}{B}=n ולקבל את הצורה המקובלת: y=mx+n.
נחזור למשוואת המרחק, ונחלק את המונה ואת המכנה ב-|B|. ברגע שחילקנו את המונה והמכנה באותו ביטוי, לא שינינו את השבר. מקבלים מכאן:
d=\frac{\frac{|Ax_1+By_1+C|}{|B|}}{\frac{\sqrt{A^2 +B^2}}{|B|}}.
נעזרים בחוקי חזקות, שורשים וערך מוחלט:
\sqrt{x^2}=|x| \ \ \frac{|x|}{|y|}=|\frac{x}{y}| \ \ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=\sqrt{\frac{x}{y}}
מכאן,
d=\frac{|\frac{Ax_1+By_1+C}{B}|}{\frac{\sqrt{A^2+B ^2}}{\sqrt{B^2}}

d=\frac{|\frac{Ax_1+By_1+C}{B}|}{\sqrt{\frac{A^2+B ^2}{B^2}}
נפריד לשברים, ונעזר במכנה בחוק החזקות: \frac{x^y}{z^y}=(\frac{x}{z})^y.
d=\frac{\frac{A}{B}x_1+\frac{By_1}{B}+\frac{C}{B}| }{\sqrt{\frac{A^2}{B^2}+\frac{B^2}{B^2}}

d=\frac{\frac{A}{B}x_1+y_1+\frac{C}{B}|}{\sqrt{(\f rac{A}{B})^2+1}
נחזור לסימונים שלנו, נקבל:
d=\frac{|-mx_1+y_1-n|}{\sqrt{m^2+1}} (זאת נוסחת מרחק בין ישר, הכתוב בצורתו המפורשת, ובין נקודה - כדאי לזכור את ההוכחה, למרות שהיא לא קשורה למשיק).
כעת, נזכר בתנאי השקה של ישר למעגל. אם נסמן את מרכז המעגל ב-(a,b) ואת הרדיוס ב-R, הרי שתנאי ההשקה של הישר y=mx+n למעגל יהיה R=\frac{|-ma+b-n|}{\sqrt{m^2+1}} (אם המרחק של ישר ממרכז המעגל שווה בדיוק לרדיוס המעגל, אז הישר משיק למעגל).
נבודד את n, זאת באמצעות ביטול הערך המוחלט ע"י \pm ומשחקים אלגברים:
R\sqrt{m^2+1}=|-ma+b-n| \\ \pm R\sqrt{m^2+1}=-ma+b-n \\ n=\mp R\sqrt{m^2+1}-ma+b
כדאי לשים לב שמבחינה עקרונית היינו צריכים לשנות את סימן ה-"\pm" ל-\mp כיוון שהעברנו אותו אגף. אבל, מכיוון שלא משנה לנו מה בא קודם, פלוס או מינוס, אפשר להתעלם מהשינוי הזה.
לנוסחא דלעיל קוראים תנאי השקה של ישר למעגל, כלומר, איך ניתן לקבוע בקלות אם הישר y=mx+n משיק למעגל.
אפשר לשחק עוד עם הנוסחא הזאת, אם נציב אותה בישר y=mx+n. נקבל:
y=mx+n \\ y=mx\pm R\sqrt{m^2+1}-ma+b \\ y=m(x-a)\pm R\sqrt{m^2+1}+b
וזוהי נוסחא של משיק למעגל, ע"פ שיפועו בלבד. כלומר, בעזרת נוסחא זאת, אפשר בקלות למצוא, למשל, מה נוסחא של משיק מנקודה מחוץ למעגל, או למצוא משוואת משיק למעגל בלי למצוא אפילו את נקודת ההשקה, רק בהסתמך על שיפוע.
אם המעגל קנוני, אז a=0,b=0. מקבלים,
y=mx\pm R\sqrt{m^2+1}.
מקרה מעניין נוסף הוא המקרה שבו m=0. במקרה הזה, מקבלים,
y=\pm R+b
וקל לראות שזה באמת נכון (:

זאת נוסחא שכדאי לזכור את ההוכחה שלה. היא שימושית מאוד בבגרות ובאנליטית בכלל, אבל אין להשתמש בה בבגרות ללא הוכחה, ובה השתמשתי בכל הפעמים, במקום להשתמש בנוסחא בדף נוסחאות של משיק בנקודה על המעגל:
(x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=R^2, שהיא לא שימושית בעליל והשתמשתי בה פעם אחת בלבד. היא דורשת גם למצוא את נקודת ההשקה, שלעיתים זה סיוט אחד גדול (במיוחד אם יש תרגילים שמשלבים נקודות השקה בין מעגלים ופרבולות ובין מעגלים ומעגלים).

משהו שעוד כדאי לזכור הוא העובדה שאנו עובדים עם מקומות גיאומטריים ממעלה שנייה, ושמשיק יוצר נקודת השקה אחת בלבד. אם מנצלים את שתי העובדות הללו, אפשר למצוא משוואות משיק לצורות בעזרת הדיסקרימיננטה (דלתא) השווה לאפס. דוגמא למשיק לפרבולה ותנאי השקה לפרבולה.
y=mx+n \\ y^2=2px \\ (mx+n)^2=2px \\ m^2x^2+2mxn+n^2=2px \\ m^2x^2+2x(mn-p)+n^2=0 \\ \Delta=0 \\ 4(mn-p)^2-4n^2m^2=0 \\ (mn-p)^2-n^2m^2=0 \\ m^2n^2-2mnp+p^2-n^2m^2=0 \\ p^2=2mnp \\ p\neq 0 \\ p=2mn \\ n=\frac{p}{2m}
ואם מציבים חזרה במשוואת המשיק, y=mx+\frac{p}{2m}. אפשר גם למצוא משוואת משיק לאליפסה בצורה דומה וגם תנאי השקה. נאעדך, משוואת משיק לפרבולה מנקודה שעליה, yy_0=p(x+x_0), דיי שימושית. תנאי ההשקה n=\frac{p}{2m}, שימושי גם הוא, גם עבור נקודה מחוץ לפרבולה.

כדאי גם לזכור את הקונספט של גזירה סתומה. משוואת אליפסה לא מסודרת:
x^2b^2+y^2a^2=a^2b^2
גזירה סתומה לפי x,
2xb^2+2yy'a^2=0 \\ xb^2=-yy'a^2 \\ -\frac{xb^2}{ya^2}=y'
כלומר, שיפוע המשיק לגרף האליפסה בנקודה (x_1,y_1) הוא:
m=-\frac{x_1b^2}{y_1a^2}.

יום עצמאות שמח! תומר.

darkstudy
16-04-2013, 19:51
כן, עכשיו הבנתי למה התכוונת - אבל כל הנושא הזה ירד במתכונת החדשה מלפני כמה שנים- "מציאת משיק לצורה מנקודה שמחוץ לצורה".

Dmot
16-04-2013, 23:09
נכון ולא נכון בו זמנית (: הנוסחאות לעיל קבילות גם במקרים אחרים (: למשל, כאשר פרבולה ומעגל משיקים זה לזה מבחוץ, ורוצים למצוא את המשוואה של אחד מהם.
בעזרת תנאי ההשקה, אפשר לפתור את השאלות הללו בקלות - ולמען האמת, אני דיי בטוח שהשתמשתי במשהו בסגנון בבגרות שלי על מנת לייעל את הדרך ואת החישובים. מקרה אחר - גם שהנקודה נמצאת על הצורה ניתן להשתמש בתנאי ההשקה (אם מוכיחים אותם...)
ממליץ לזכור את ההוכחה, או ליתר דיוק, להבין את ההוכחה (:
כך או כך, עדיין אני שמח שהבנת. זה הכי חשוב.
לילה טוב ומבורך, תומר.