PDA

צפה בגרסה המלאה : עזרה בתרגיל מהאולימפיאדה לפיזיקה שלב ב', שנת 2011



GaFaxo
18-04-2013, 23:06
התרגיל:
http://img829.imageshack.us/img829/9113/85586752.png
http://img829.imageshack.us/img829/9113/85586752.png
מספר שאלות (החשובות הן 1 ו-2):
1. סעיף ה' וסעיף ו', אני לא מצליח. אוכל לקבל עזרה? הדרך נסיון שלי: על שניהם חשבתי הרבה והגעתי למסקנה מסויימת: הזמן שלוקח לקליע להגיע כאשר בול העץ זז מהווה סוג של סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת. למה?
כי לפני שהוא משתחרר בול העץ עושה העתק מסויים x1, אז הקליע מגיע ל-x1 ובזמן הזה בול העץ עושה x2 שיותר קטן מ-x1 (אפשר להוכיח את זה בקלות) וכך עד אין סוף...
מאחר ובסופו של דבר הקליע כן פוגע בו, אפשר להסיק שסכום הסדרה האינסופית הוא שווה להעתק הכולל שבול העץ עושה עד שהקליע פוגע בו, ואז אפשר לחלק את מהירות הקליע בהעתק הכולל ולקבל את הזמן הכולל.
הבעיה היא שאני ממש לא בטוח שכל מה שאמרתי עד עכשיו נכון, ולכן אני לא יודע אם צדקתי.
בכל מקרה, מנת הסדרה שיצאה לי היא:
101/t0
לכן ההעתק שמבצע הקליע השני הוא
a1/(1-q) = u1t0/(1-101/t0) = (V0t0/101)/((t0-101)/t0)
S = (V0t0/101) * (t0/(t0-101)) = (V0t0^2) / 101(t0-101)
זמן = מהירות לחלק לדרך
לכן:
t = V0 * (101(t0-101))/(V0t0^2) = 101(t0-101)/(t0^2)
משמע זה הזמן שלוקח לקליע השני להגיע. אבל אני לא יודע איך לעשות את זה ל-N איברים...

2. לגבי סעיף ד', אני אבוד לגמרי.
דרך הנסיון שלי: חשבתי על לעשות גם פה סוג של סדרה, אבל זה לא עובד (הסדרה היא כללית ואין לי מושג איך לבטא את הסכום שלה [צריך את סכום ריבועי המהירויות בשביל האנרגיה הכוללת שהופכת לחום]). אין לי מושג מה עושים פה..

3. אין בידיי תשובות סופיות (משום מה הם לא פירסמו) ולכן אני שואל אתכם האם התשובות שלי (שכן הצלחתי) נכונות:
א. u = V0/101
ב. u = NV0/(100+N)
ג. u(N) = NV0/(100+N)
לכן:
N(u) = 100u/(V0-u)
ז. N = 100

cthulhu
20-04-2013, 18:22
נניח שמכונת הירי נמצאת בראשית ציר x (כלומר x=0). כמו כן, נניח שהגוף נמצא בנק' x_0 מראשית ציר x. נניח גם שהגוף גדול פי p מהקליע.

מהירות קליע נסמן ב-v_0.
זמן מחזור (כמה זמן עובר עד ליריית קליע הבא) נסמן ב-T.

נסתכל על קליע ראשון - מכיוון שהגוף בהתחלה נח, הקליע הראשון יעוף במשך \frac{x_0}{v_0} שניות. לכן הפגיעה הראשונה תתרחש ב-t=\frac{x_0}{v_0}=k.

כל הקליעים נעים באותה המהירות, לכן הם עוברים את אותה הדרך בפרקי זמן שווים. רק שכל קליע "מאחר" ב-T.

אתה יכול להניח שיש עוד קליע מאחוריו בדרך ולחשב באמצעות מהירות יחסית כמה הוא צריך זמן על מנת להשיג את הגוף. ברגע שהקליע שלפניו פוגע, המהירות היחסית משתנה. כך שאתה משנה את התוצאה בהתאם לזמן שלקח לקליע שלפניו לפגוע (זמן מחזור ומהירות ידועים).

אתה יכול לשים לב לכך, שיש חוקיות בזמני הפגיעה של כל הקליעים. והיא כזאת:
פגיעה 1: k

פגיעה 2: k+ T \cdot \frac{p - 1 +2}{p}

פגיעה 3: \left(k+ T \cdot \frac{p - 1 +2}{p}\right)+T \cdot \frac{p - 1 +3}{p}

פגיעה 4: \left(\left(k+ T \cdot \frac{p - 1 +2}{p}\right)+T \cdot \frac{p - 1 +3}{p}\right)+T \cdot \frac{p-1+4}{p}

כלומר נוסחת הנסיגה תיראה כך:
\left\{
\begin{array}{l}
a_1=k\\
a_n=a_{n-1}+ T \cdot \frac{{p-1+N}}{p}
\end{array} \right.

לכן, אפשר מכאן לקבל ביטוי כללי של זמן הפגיעה כפונקציה של מס' קליע, והוא:
a_n=t_{hit}(n)=k+\frac{T(n-1)(n+2p)}{2p}

מבקשים למצוא כמה זמן יעבור אחרי פגיעת קליע n-1 ועד לפגיעת קליע n. פירוש הדבר, למצוא את t_n-t_{n-1}. כלומר:
t_n-t_{n-1}=t_{hit}(n)-t_{hit}(n-1)=T \cdot \frac{p-1+n}{p}

אפשר היה להגיע לאותה תשובה גם עם הרעיון הראשון שכתבתי, אבל זה יותר מסובך.

נבדוק את הפתרון על דוגמה:

גוף נמצא במרחק 3 מטרים מהמכונה. נניח שהמסות של הקליע ושל הגוף שווים - p=1 (זה לא כזה משנה. פשוט הגוף ינוע יותר מהר במקרה כזה במימדים שלנו). יורים קליעים בתדירות של שנייה אחת. כלומר כל שנייה יורים קליע. מהירות הקליע 6 מ'/ש'.

נוסחת מהירות הגוף כפונקציה של מס' הקליעים בגוף לא שונה בהרבה:
U(N)=\frac{Nv_0}{1+N}=\frac{6N}{1+N}
במקום 100 בתרגיל המקורי, יש כאן 1, כלומר המסה של הגוף היא פי 1 גדולה ממסה הקליע. כלומר המסה זהה.




זמן (שניות)
מקום של גוף מהראשית
(מטרים)
מקום של קליע מהראשית
(מטרים)
מהירות הגוף


t=0
3
0 (קליע מס' 1)
0


t=0.5
3
3 (פגיעה) (קליע מס' 1)
U(1)=3 \text{m/s}


t=1
x_0 +U(1) \cdot \Delta t=3+3 \cdot 0.5=4.5
0 (קליע מס' 2)
U(1)=3 \text{m/s}


t=2.5
9
v_0 \cdot \Delta t = 6 \cdot 1.5 = 9
(פגיעה) (קליע מס' 2)
U(2)=4 \text{m/s}



אתה יכול לשים לב שהזמן שעבר כאן מפגיעת קליע ראשון עד לפגיעת קליע שני הוא 2.5-0.5=2 \text{s}. וזה בדיוק תואם את הנוסחה שיצאה לנו:
\delta(n)=T \cdot \frac{p-1+n}{p}
\delta(2)=2 \cdot 1=2 \text{s}

אגב, מכיוון שמתקיים קשר הבא בין תדירות לבין זמן מחזור:
T=\frac{1}{f}

(כלומר זמן מחזור נמצא ביחס הפוך לתדירות)

אפשר להסיק שככל שתדירות הירי גדולה יותר, כך זמן המחזור קטן. וככל שזמן המחזור קטן, כך גם כל הביטוי להפרש הזמנים שמצאנו, שואף לאפס:
\lim_{T\rightarrow 0}(\delta(n))=\lim_{T\rightarrow 0}(T \cdot \frac{p-1+n}{p})=0

כלומר, אתה כמעט ולא תרגיש הבדל בין הפגיעות של הקליעים אם הירי יתבצע מאיזשהו רובה אוטומטי מתקדם או מקלע.

GaFaxo
20-04-2013, 19:18
זה בדיוק מה שאמרתי - צריך תיקון לזמנים. כי הקליע לא "מחכה" עד שהקודם יפגע ואז יוצא. עשיתי תיקון ובדרך חשבתי על דרך יותר פשוטה לפתור את התרגיל, והשתמשתי בסדרות (אך לא בדרך שאתה דיברת עליה). הנה הפתרון:

נניח שמכונת הירי נמצאת בראשית ציר x (כלומר x=0). כמו כן, נניח שהגוף נמצא בנק' x_0 מראשית ציר x.

מהירות קליע נסמן ב-v_0.
זמן מחזור (כמה זמן עובר עד ליריית קליע הבא) נסמן ב-T.

נסתכל על קליע ראשון - מכיוון שהגוף בהתחלה נח, הקליע הראשון יעוף במשך \frac{x_0}{v_0} שניות. לכן הפגיעה הראשונה תתרחש ב-t=\frac{x_0}{v_0}=k.

כל הקליעים נעים באותה המהירות, לכן הם עוברים את אותה הדרך בפרקי זמן שווים. רק שכל קליע "מאחר" ב-T.

אתה יכול להניח שיש עוד קליע מאחוריו בדרך ולחשב באמצעות מהירות יחסית כמה הוא צריך זמן על מנת להשיג את הגוף. ברגע שהקליע שלפניו פוגע, המהירות היחסית משתנה. כך שאתה משנה את התוצאה בהתאם לזמן שלקח לקליע שלפניו לפגוע (זמן מחזור ומהירות ידועים).

אתה יכול לשים לב לכך, שיש חוקיות בזמני הפגיעה של כל הקליעים. והיא כזאת:
פגיעה 1: k
פגיעה 2: k + 2 \cdot T
פגיעה 3: (k + 2\cdot T) + 3\cdot T
פגיעה 4: ((k + 2 \cdot T) + 3 \cdot T) + 4 \cdot T

כלומר נוסחת הנסיגה תיראה כך:
\left\{
\begin{array}{l}
a_1=k\\
a_n=a_{n-1}+n \cdot T
\end{array} \right.

לכן, אפשר מכאן לקבל ביטוי כללי, והוא:
a_n=t_n=\frac{1}{2} \left[2 k + T(n^2+n-2) \right]

מבקשים למצוא כמה זמן יעבור אחרי פגיעת קליע n-1 ועד לפגיעת קליע n. פירוש הדבר, למצוא את t_n-t_{n-1}. כלומר:
t_n-t_{n-1}=nT

אפשר היה להגיע לאותה תשובה גם עם הרעיון הראשון שכתבתי, אבל זה יותר מסובך.
לא הבנתי את החוקיות שניסחת (על סמך מה אתה מבסס את זה)?
בנוסף, איך אתה מבטא את T?

cthulhu
20-04-2013, 19:21
לא הבנתי את החוקיות שניסחת (על סמך מה אתה מבסס את זה)?
בנוסף, איך אתה מבטא את T?

הוספתי קצת הסברים. לגבי זמן המחזור כתבתי עוד בתחילת ההודעה. לגבי הביסוס - כמו שאמרתי - אתה מחשב את ההפרש בדוגמת קליע ראשון וקליע שני. זה בדיוק כמו לפתור דוגמה עם מספרים, רק שבמקום מספרים יש לך קבועים מסוימים לא ידועים. שיטת הפתרון בדיוק כמו שיטת הפתרון של סעיפים ראשונים (הסתכלות על חוק שימור תנע לכמה קליעים ראשונים והסקת מסכנה על חוקיות).

הנה התהליך היותר מפורט אם אתה לא מצליח:

נסתכל על קליע ראשון. קל לראות שהזמן שיקח לו להגיע לגוף יהיה:
t_1=\frac{x_0}{v_0}

(1 מסמן את מס' הפגיעה).

זהו, תשכח כעת מהקליע הראשון. בוא נעבור לקליע השני. הקליע השני, איך שלא תסובב את זה, יבזבז את אותו הזמן שביזבז הראשון (בכדי לעבור את x_0 במהירות זהה) + תוספת מסוימת שכוללת גם את הזמן שהוא חיכה. אז נכתוב:
t_2=\frac{x_0}{v_0}+c
כאשר התוספת היא מאוד מאוד קטנה, ברור לנו שתדירות הירי גדולה. כלומר כבר מבלי להתעמק ב-c, אפשר להבין שהוא יהיה תלוי בזמן מחזור או בתדירות (שכל אחד הוא ההפוך של האחר). כמו כן, ככל שהגוף יותר גדול מהקליע, ככה יותר קשה להזיז אותו ממקומו כי המסה האינרציאלית יותר גדולה. ואם יותר קשה להזיז אותו ממקומו, אז הוא גם ינוע יותר לאט אחרי פגיעה לעומת המקרה שבו מסתו קטנה יותר. אז אם הוא ינוע במהירות קטנה יותר ככל שמסתו תגדל, אז גם לקליע הבא יקח פחות זמן להגיע אליו. לכן c חייב לקטון ככל שהמסה גדלה. אז גם בגלל העובדה הזאת, אפשר מבלי לפתור, להבין ש-c יהיה ביחס הפוך ל-p. ככל ש-p קטן יותר, ככה הגוף קל יותר, ככה הוא מתרחק יותר מהר, ככה הזמן הנוסף גדל. ככל ש-p גדול יותר, ככה הגוף גדול יותר וככה הוא זז לאט יותר וככה אפשר להשיגו מהר יותר.

עכשיו נתעמק ב-c. ברור לנו שכאשר הקליע השני יגיע ל-x_0 הוא יצטרך לעבור עוד איזשהו מרחק מסוים (מפני שהקליע הראשון העניק מהירות לגוף ולכן הגוף זז מנק' ההתחלה). ומה המרחק הזה? המרחק הזה זה המרחק שעבר הקליע הקודם במשך זמן T. למה T? כי הקליע הבא התעקב במשך זמן זה.

הנה אנימציה פשוטה אם במקרה נתקעת בחלק הזה (אני לא אומן גדול, אז סלח לי אם זה לא מבהיר את הדבר):

http://i34.tinypic.com/w8rqja.gif
עכשיו, מפני שלשניהם יש מהירות, נוח לחשב את הזמן שייקח לו לעבור את פיסת הקטע הזאת באמצעות מהירות יחסית. אז נרשום:

c=\frac{v_0 \cdot T}{v_r(N-1)}

(N-1 כי קליע ה-N עוד לא נכנס אל תוך הגוף).

נציב את הפונקציות (מכיוון שבשתי הפ' יש מנה, במקום לחלק הכפלתי בהופכי שזה אותו הדבר):


c=\frac{v_0 \cdot T}{v_r(N-1)}=v_0 \cdot T \cdot \frac{p + N - 1}{v_0 \cdot p}


(רשמתי ביטוי כללי. בשביל t_2 כמובן שבמקום N צריך להציב 2).

כמו שאתה רואה, c אכן פרופורציונאלי ל-T (זמן מחזור) וגם נמצא ביחס הפוך ל-p (בתרגיל הספציפי הזה, p הוא 100).

מכאן כבר די ברורה החוקיות.

GaFaxo
20-04-2013, 20:52
תודה רבה לך! באמת, השקעת כמו אני לא יודע מה בשביל שאני אבין. כרגע אני לקראת מבחן באזרחות (שמתקיים מחר ולא התחלתי ללמוד), אז אני אקרא את הפתרון לעומק מחר, ואנסה להבין אותו. מקסימום אני אשלח לך הודעה פרטית.
ממש ממש תודה!

cthulhu
21-04-2013, 14:20
תודה רבה לך! באמת, השקעת כמו אני לא יודע מה בשביל שאני אבין. כרגע אני לקראת מבחן באזרחות (שמתקיים מחר ולא התחלתי ללמוד), אז אני אקרא את הפתרון לעומק מחר, ואנסה להבין אותו. מקסימום אני אשלח לך הודעה פרטית.
ממש ממש תודה!
בבקשה. רק שים לב לתיקונים קטנים שעשיתי, כך שההפרש עכשיו גם מתחשב בכמה המסה של הגוף גדולה מזה של הקליע. קודם הנחתי בשביל הפשטות ש-p=1, אבל בכדי שתראה את התמונה הכללית, אני פישטתי את כל הביטויים.

GaFaxo
22-04-2013, 18:16
בבקשה. רק שים לב לתיקונים קטנים שעשיתי, כך שההפרש עכשיו גם מתחשב בכמה המסה של הגוף גדולה מזה של הקליע. קודם הנחתי בשביל הפשטות ש-p=1, אבל בכדי שתראה את התמונה הכללית, אני פישטתי את כל הביטויים.
אוקיי עכשיו שסוף סוף יש לי זמן לשבת על זה, עבדתי על זה קצת והגעתי למסקנות טיפה שונות ממך, ולא ברור לי למה כי אני בטוח ב-100% שאתה צודק, לכן אני אגיד לך מה אני עשיתי ואולי תוכל להגיד לי איפה אני טועה?
אם נסמן את היחס של המסה M (של הבול) והמסה m של הקליע כ:
M/m = p
אזי p=100 במקרה זה, אבל נתעלם מזה. נתייחס ל-p כקבוע, כי הוא אכן כזה.
לפי מה שמצאנו:
u(N) = NV0/(100+N)
u(N) = NV0/(P+N)
עד פה אני לא חושב שטעיתי בשום דבר.
כעת נחשב את המהירות היחסית לכל N:
Vr(N) = V0 - u(N) = V0 - NV0/(P+N)
Vr(N) = (V0(P+N) - NV0)/(P+N)
Vr(N) = PV0/(P+N)
לכן זו המהירות היחסית.

אז כמו שאמרת, הקבוע k שמשמש כאיבר הראשון של הסדרה שווה ל-
x0/v0.
לכן, t1 = k
ואמנם, t2 שווה ל-k פלוס הזמן שלוקח לקליע לפגוע בגוף. הזמן הזה מחושב על ידי המשוואה הפשוטה של דרך, חלקי מהירות, ואמנם אנחנו יודעים מהי הדרך שביצע הבול:
X = u(1) * t0
(השתמשתי ב-t0 הנתון)
לכן,
t2 = k + (u1*t0)/(Vr(1))
t2 = k + (v0t0)/(p+1) * (p+1)/(pV0) = k + t0/P
וברור שזה חוזר על עצמו בכל t.
לכן, מסתבר שיש לי טעות, זה שונה ממה שיצא לך. איפה אני טועה?

עריכה: אופס, זה לא חוזר על עצמו בכל t, אבל החוקיות שאני קיבלתי שונה.
t3 = k + t0/p + 2t0/p
אז נוסחת הנסיגה היא:
t1 = k
tN = tN-1 + (N-1)t0/p
שזה גם שונה ממה שאתה הבאת פה, וגם זו לא סדרה חשבונית.

cthulhu
22-04-2013, 18:51
ואמנם, t2 שווה ל-k פלוס הזמן שלוקח לקליע לפגוע בגוף. הזמן הזה מחושב על ידי המשוואה הפשוטה של דרך, חלקי מהירות, ואמנם אנחנו יודעים מהי הדרך שביצע הבול:
X = u(1) * t0
(השתמשתי ב-t0 הנתון)
לכן,
t2 = k + (u1*t0)/(Vr(1))
t2 = k + (v0t0)/(p+1) * (p+1)/(pV0) = k + t0/P
וברור שזה חוזר על עצמו בכל t.
לכן, מסתבר שיש לי טעות, זה שונה ממה שיצא לך. איפה אני טועה?

עריכה: אופס, זה לא חוזר על עצמו בכל t, אבל החוקיות שאני קיבלתי שונה.
t3 = k + t0/p + 2t0/p
אז נוסחת הנסיגה היא:
t1 = k
tN = tN-1 + (N-1)t0/p
שזה גם שונה ממה שאתה הבאת פה, וגם זו לא סדרה חשבונית.

ההתחלה של החלק הזה היא בעייתית. למה החלטת ש"הדרך שביצע הבול" היא מהירות יחסית כפול זמן מחזור? הקליע לא בהכרח פוגע בבול אחרי t_0. כל הטריק כאן זה להסתכל על קליע קודם - בזמן שהקליע השני נח לו, הקליע הראשון עבר דרך שלך v_0 \cdot t_0. זה הדבר החשוב ביותר. מכיוון שהמהירות היחסית בין הקליעים היא אפס (הם נעים באותה מהירות), המרחק הזה נשמר לאורך כל המסלול עד לפגיעה של הקליע הראשון בבול.

תאר לעצמך שאתה יושב על קליע שני. נניח שזמן המחזור הוא 5 ש'. אתה מחכה בנק' ההתחלה ליציאה שלך, ובינתיים אתה רואה איך לפניך טס קליע ראשון. הוא כל הזמן מתרחק ממך, עד שמגיע זמנך לצאת, ואז אתה יוצא עם אותה המהירות כמו של קליע קודם. זה אומר שאתם כבר לא תתרחקו זה מזה יותר (עד לפגיע של הקליע הראשון בגוף כמובן). אז ברגע שהקליע הראשון פוגע בגוף, הקליע השני שאתה יושב עליו מתחיל להתקרב אל הגוף (כי הקליע הראשון כבר בתוף הגוף ולא זז, והוא נתן לו מהירות מסוימת שקטנה מהמהירות של הקליע עצמו - בגלל איבודי אנרגיה וכו'). אז ברגע הפגיעה של הראשון, יש בינך ולבין הקליע הראשון (שזה בעצם כבר הגוף עצמו) את אותו המרחק שנשמר לאורך כל המסלול, רק שהמהירות היחסית כבר היא לא אפס, לכן הקליע שאתה יושב עליו ישיג אותו בזמן שתיארתי.

GaFaxo
22-04-2013, 19:01
ההתחלה של החלק הזה היא בעייתית. למה החלטת ש"הדרך שביצע הבול" היא מהירות יחסית כפול זמן מחזור? הקליע לא בהכרח פוגע בבול אחרי t_0. כל הטריק כאן זה להסתכל על קליע קודם - בזמן שהקליע השני נח לו, הקליע הראשון עבר דרך שלך v_0 \cdot t_0. זה הדבר החשוב ביותר. מכיוון שהמהירות היחסית בין הקליעים היא אפס (הם נעים באותה מהירות), המרחק הזה נשמר לאורך כל המסלול עד לפגיעה של הקליע הראשון בבול.

תאר לעצמך שאתה יושב על קליע שני. נניח שזמן המחזור הוא 5 ש'. אתה מחכה בנק' ההתחלה ליציאה שלך, ובינתיים אתה רואה איך לפניך טס קליע ראשון. הוא כל הזמן מתרחק ממך, עד שמגיע זמנך לצאת, ואז אתה יוצא עם אותה המהירות כמו של קליע קודם. זה אומר שאתם כבר לא תתרחקו זה מזה יותר (עד לפגיע של הקליע הראשון בגוף כמובן).
אני באמת מעדיף להתייחס לאלה כפרמטרים ולא כמספרים, יותר נוח לי.
הבנתי את הנקודה שלך, אז אפשר להגיד שבעצם הדרך שמבצע הבול (עד שיוצא הקליע השני) היא:
(t0-k)u1
שאת זה בעצם סימנת כ-T (זמן מחזור).
עד פה הבנתי את זה בראש שלי, אבל אתה הגעת לחוקיות שאני לא מצליח להבין (הקטע עם ה- k+2T, k+3T וכן הלאה לכל איבר בסדרה).
אז אני אחשוב בקול רם עכשיו ותגיד לי אם אני צודק:
אני חשבתי שמחלקים את התנועה ל-2 קטעים (לכל קליע): לפני שהקליע שלפניו פוגע ואחרי שהקליע שלפניו פוגע.
אפשר להגיד שהזמן של "לפני שהקליע שלפניו פוגע" הוא הזמן שלקח לקליע שלפניו לפגוע (כי אנחנו מתייחסים לזמן הפגיעה של הקליע, לא לזמן הכולל של כל הקליעים), והזמן אחרי הוא הדרך של בול העץ יחד עם הקליעים חלקי המהירות היחסית. ביחד, זה זמן הפגיעה.
את זה אני מבין, אני רק לא מבין איך בסופו של דבר אני מבטא את ה-T ההתחלתי בהקשר לכל זה, ואיך אני מקשר את ה-T ל-t0 הנתון.

cthulhu
22-04-2013, 19:27
אני באמת מעדיף להתייחס לאלה כפרמטרים ולא כמספרים, יותר נוח לי.
הבנתי את הנקודה שלך, אז אפשר להגיד שבעצם הדרך שמבצע הבול (עד שיוצא הקליע השני) היא:
(t0-k)u1
שאת זה בעצם סימנת כ-T (זמן מחזור).
עד פה הבנתי את זה בראש שלי, אבל אתה הגעת לחוקיות שאני לא מצליח להבין (הקטע עם ה- k+2T, k+3T וכן הלאה לכל איבר בסדרה).
אז אני אחשוב בקול רם עכשיו ותגיד לי אם אני צודק:
אני חשבתי שמחלקים את התנועה ל-2 קטעים (לכל קליע): לפני שהקליע שלפניו פוגע ואחרי שהקליע שלפניו פוגע.
אפשר להגיד שהזמן של "לפני שהקליע שלפניו פוגע" הוא הזמן שלקח לקליע שלפניו לפגוע (כי אנחנו מתייחסים לזמן הפגיעה של הקליע, לא לזמן הכולל של כל הקליעים), והזמן אחרי הוא הדרך של בול העץ יחד עם הקליעים חלקי המהירות היחסית. ביחד, זה זמן הפגיעה.
את זה אני מבין, אני רק לא מבין איך בסופו של דבר אני מבטא את ה-T ההתחלתי בהקשר לכל זה, ואיך אני מקשר את ה-T ל-t0 הנתון.

לא. אתה לא יכול לדעת כל-כך בקלות את הדרך שעבר הבול עצמו. כמו שכתבתי בתגובה הקודמת - ברגע שהמהירות היחסית בין הקליע השני לבין הקליע הראשון לא שווה לאפס (וזה קורה רק כאשר הקליע הראשון פוגע בגוף, כי אז הוא כבר נע במהירות משותפת קטנה יותר יחד עם הגוף), זה מעיד על כך שהקליע הראשון (במקרה יותר כללי - הקליע הקודם), פגע בגוף. אתה צריך להשתמש בנתון החשוב הזה על מנת לחשב את הפגיעה של הקליע השני. כי המרחק בין הקליעים תמיד נשמר כל עוד הקליע הקודם לא פוגע בגוף.

רק עכשיו, ברגע שאתה יודע שהקליע הראשון פגע (המהירות היחסית ביניכם היא לא אפס) אתה יודע שיקח לקליע השני לפגוע בגוף בזמן ששווה למרחק הקבוע הזה שהיה ביניכם כל הזמן, חלקי המהירות היחסית בינך לבין הגוף כמס' הקליעים בגוף.

זה בדיוק המסר שניסיתי להעביר בתמונה - שם יש זמן מחזור של 5 ש' ומהירות כל קליע היא 3 מ'/ש'. לכן ברגע שהקליע השני יוצא, המרחק בינו לבין הקליע הראשון הוא 15 מ' (הזמן שחיכה הקליע השני הוא זמן המחזור * המהירות), והוא נשמר לאורך כל הדרך, עד שהקליע הראשון פוגע בגוף (זה קורה בשנייה השישית) - שים לב שציינתי שברגע שהקליע הראשון מגיע לגוף (18 מ'), הקליע השני כבר התקדם 3 מ', לכן המרחק הרגעי ביניהים הוא עדיין 15 מ'. מכאן כבר אתה מבין שהקליע השני ישיג את הגוף אחרי \frac{15}{u(1)}. זאת תוספת c שדיברתי עליה.

כלומר במקרה הכללי:
\frac{v_0 t_0}{v_r(n-1)}=\frac{v_0t_0}{Pv_0/(P+N-1)}=v_0t_0\frac{P+N-1}{v_0 P}=t_0 \frac{P+N-1}{P}


אגב, לא הבנתי את החלק האחרון שכתבת. t_0 ו-T זה אותו דבר. פשוט לשם נוחות במקום t_0 כתבתי T (זמן מחזור).

+ הערה - שים לב שהביטוי \frac{x_0}{v_0}+c מסמל את הזמן שבו הקליע פגע (מ-t=0) ולא את הזמן שלקח לו להגיע עד לפגיעה.

GaFaxo
22-04-2013, 19:43
לא. אתה לא יכול לדעת כל-כך בקלות את הדרך שעבר הבול עצמו. כמו שכתבתי בתגובה הקודמת - ברגע שהמהירות היחסית בין הקליע השני לבין הקליע הראשון לא שווה לאפס (וזה קורה רק כאשר הקליע הראשון פוגע בגוף, כי אז הוא כבר נע במהירות משותפת קטנה יותר יחד עם הגוף), זה מעיד על כך שהקליע הראשון (במקרה יותר כללי - הקליע הקודם), פגע בגוף. אתה צריך להשתמש בנתון החשוב הזה על מנת לחשב את הפגיעה של הקליע השני. כי המרחק בין הקליעים תמיד נשמר כל עוד הקליע הקודם לא פוגע בגוף.

רק עכשיו, ברגע שאתה יודע שהקליע הראשון פגע (המהירות היחסית ביניכם היא לא אפס) אתה יודע שיקח לקליע השני לפגוע בגוף בזמן ששווה למרחק הקבוע הזה שהיה ביניכם כל הזמן, חלקי המהירות היחסית בינך לבין הגוף כמס' הקליעים בגוף.

זה בדיוק המסר שניסיתי להעביר בתמונה - שם יש זמן מחזור של 5 ש' ומהירות כל קליע היא 3 מ'/ש'. לכן ברגע שהקליע השני יוצא, המרחק בינו לבין הקליע הראשון הוא 15 מ' (הזמן שחיכה הקליע השני הוא זמן המחזור * המהירות), והוא נשמר לאורך כל הדרך, עד שהקליע הראשון פוגע בגוף (זה קורה בשנייה השישית) - שים לב שציינתי שברגע שהקליע הראשון מגיע לגוף (18 מ'), הקליע השני כבר התקדם 3 מ', לכן המרחק הרגעי ביניהים הוא עדיין 15 מ'. מכאן כבר אתה מבין שהקליע השני ישיג את הגוף אחרי \frac{15}{u(1)}. זאת תוספת c שדיברתי עליה.

כלומר במקרה הכללי:
\frac{v_0 t_0}{v_r(n-1)}=\frac{v_0t_0}{Pv_0/(P+N-1)}=v_0t_0\frac{P+N-1}{v_0 P}=t_0 \frac{P+N-1}{P}


אגב, לא הבנתי את החלק האחרון שכתבת. t_0 ו-T זה אותו דבר. פשוט לשם נוחות במקום t_0 כתבתי T (זמן מחזור).
אז למקרה הכללי הזה אתה מוסיף את k שהוא
x0/v0
וכמובן שהוא מתבטל ב- n-1 כי k קבוע.
אוקיי, הבנתי (סוף סוף).
כל הקטע עם הסדרות היה מיותר, הפתרון הרבה יותר פשוט ממה שחשבתי.
אז זה פותר את סעיף ה'.
סעיף ו', אני מניח, יהיה בהצבת N ובהצבת 1?

cthulhu
22-04-2013, 19:54
אז למקרה הכללי הזה אתה מוסיף את k שהוא
x0/v0
וכמובן שהוא מתבטל ב- n-1 כי k קבוע.
אוקיי, הבנתי (סוף סוף).
כל הקטע עם הסדרות היה מיותר, הפתרון הרבה יותר פשוט ממה שחשבתי.
אז זה פותר את סעיף ה'.
סעיף ו', אני מניח, יהיה בהצבת N ובהצבת 1?
סעיף ה' בעצם מבקש את הפרש הסדרה שמצאנו.
סעיף ו' מבקש את איבר הכללי של הסדרה פחות k. אותו כתבתי בעצם:
t_{hit}(n)-k=\frac{T(n-1)(n+2p)}{2p}

GaFaxo
22-04-2013, 19:56
סעיף ה' בעצם מבקש את הפרש הסדרה שמצאנו.
סעיף ו' מבקש את איבר הכללי של הסדרה. אותו כתבתי בעצם:
a_n=t_{hit}(n)=k+\frac{T(n-1)(n+2p)}{2p}
:O
אני חייב להודות שהתבלבלתי שוב.
הרי כרגע אמרנו ש-
tN = v0t0/Vr(n-1)
לא?

cthulhu
22-04-2013, 20:07
:O
אני חייב להודות שהתבלבלתי שוב.
הרי כרגע אמרנו ש-
tN = v0t0/Vr(n-1)
לא?

לא, למה? זה הזמן שלקח לקליע N לעבור את הקטע שנוצר בינו לבין הגוף כאשר קליע N-1 פוגע בגוף. הם מבקשים למצוא את הזמן שחלף מרגע פגיעת הקליע הראשון ועד לפגיעת קליע N. כלומר זה פשוט האיבר ה-N בסדרה שלנו (רק מזכיר לך - הסדרה שלנו מייצגת את זמני הפגיעה של כל קליע) פחות האיבר הראשון.

אולי אתה שוכח שמתקיים קשר רקורסיבי:

a_n=a_{n-1}+c
אבל אז יוצא ש:
a_{n-1}=a_{n-2}+c
ו-
a_{n-2}=a_{n-3}+c

וכך הלאה, עד שמגיעים לאיבר הראשון (k). כלומר איבר N זה סכום כל האיברים הקודמים ועוד התוספת.

GaFaxo
22-04-2013, 20:11
לא, למה? זה הזמן שלקח לקליע N לעבור את הקטע שנוצר בינו לבין הגוף כאשר קליע N-1 פוגע בגוף. הם מבקשים למצוא את הזמן שחלף מרגע פגיעת הקליע הראשון ועד לפגיעת קליע N. כלומר זה פשוט האיבר ה-N בסדרה שלנו (רק מזכיר לך - הסדרה שלנו מייצגת את זמני הפגיעה של כל קליע) פחות האיבר הראשון.

אולי אתה שוכח שמתקיים קשר רקורסיבי:

a_n=a_{n-1}+c
אבל אז יוצא ש:
a_{n-1}=a_{n-2}+c
ו-
a_{n-2}=a_{n-3}+c

וכך הלאה, עד שמגיעים לאיבר הראשון (k). כלומר איבר N זה סכום כל האיברים הקודמים ועוד התוספת.

כל מה שקשור לאינדוקציה/מציאת נוסחת האיבר הnי של הסדרה הכללית ירד מהמיקוד במתמטיקה, כך שאני לא יודע למצוא את האיבר הnי.
אז שניה, בוא נבהיר את זה אחת ולתמיד:

v0t0/Vr(n-1 זה הזמן שלוקח לקליע ה-N לפגוע בגוף אחרי שהקליע N-1 פוגע בו, סבבה.
אבל מה עם כל הזמן לפני? את זה עד עכשיו לא הבנתי. איך אני מייצג את כל הזמן לפני?
אז אמרתי קודם שהקטע מחולק לשני חלקים, נגיד מסתכלים על קליע 3:
1. לפני שקליע 2 פגע (את הזמן של זה הבנתי עקרונית איך לחשב, אבל לא עשיתי את זה נכון. אתה יכול להסביר את החלק הזה שוב?)
2. אחרי שקליע 2 פגע (את הנוסחא לזה יש לנו).

קודם אמרת שהחלוקה הזו לא נכונה.

cthulhu
22-04-2013, 20:42
כל מה שקשור לאינדוקציה/מציאת נוסחת האיבר הnי של הסדרה הכללית ירד מהמיקוד במתמטיקה, כך שאני לא יודע למצוא את האיבר הnי.
אז שניה, בוא נבהיר את זה אחת ולתמיד:

v0t0/Vr(n-1 זה הזמן שלוקח לקליע ה-N לפגוע בגוף אחרי שהקליע N-1 פוגע בו, סבבה.
אבל מה עם כל הזמן לפני? את זה עד עכשיו לא הבנתי. איך אני מייצג את כל הזמן לפני?
אז אמרתי קודם שהקטע מחולק לשני חלקים, נגיד מסתכלים על קליע 3:
1. לפני שקליע 2 פגע (את הזמן של זה הבנתי עקרונית איך לחשב, אבל לא עשיתי את זה נכון. אתה יכול להסביר את החלק הזה שוב?)
2. אחרי שקליע 2 פגע (את הנוסחא לזה יש לנו).

קודם אמרת שהחלוקה הזו לא נכונה.

הסדרה הזאת מייצגת את זמני הפגיעה של כל הקליעים. לכן לפני שאתה ניגש לקליע N, אתה צריך לבנות שרשרת אירועים (כי הזמן מתחיל מ-t=0).

לגבי החלוקה - הכוונה שלי הייתה לחלוקה לא של הדרך עצמה, אלא לחלוקה של אירועים בדרך. אז אולי כאן זה בילבל אותך. המשמעות היא להסתכל על מה שקורה עם המרחקים והזמנים לפני פגיעת הקליע הקודם ואחרי. החלוקה הזאת בסדר גמור:

(זכור כי כל הקליעים נעים באותה המהירות)

במקרה שלך, לפני שקליע 2 פוגע, הקליע השלישי יצטרך לבזבז \frac{x_0}{v_0} בכדי בכלל לעבור את הנק' ההתחלתית של הגוף. אחר כך, בינו לבין הקליע הראשון יש מרחק של 2v_0t_0 שהוא צריך לכסות. הבעיה היא, שכשהוא יתחיל לכסות את המרחק הזה, באיזשהו שלב הקליע השני יפגע, וישנה שוב את מהירות הגוף, לכן הוא יצטרך לבזבז זמן שונה לחלק הנותר של הדרך.

דמיין לעצמך 3 כדורים שנעים במהירויות שוות ומרחק בין כל קליע הוא v_0t_0. ברגע שהקליע הראשון פוגע, הוא נותן לגוף מהירות מסוימת. לכן המהירות היחסית בין הקליע השלישי לבין הגוף משתנה. הקליע השלישי צריך לכסות מרחק של 2v_0t_0. כמו שכבר אמרתי, זה לא זמן קבוע, כי באיזשהו רגע הקליע השני יפגע בגוף ו"יפגע" בחישוב שלנו בגלל העובדה שהוא ישנה את המהירות של הגוף ולכן גם את המהירות היחסית שבין הגוף לקליע השלישי. כמה זמן יקח לקליע השני להגיע לגוף ובכך "להפריע לנו בחישובים"? \frac{v_0t_0}{v_r(1)} ! אבל גם הקליע השלישי בדרך. אז הקליע השלישי יבזבז גם הוא זמן כזה, אבל בעוד שהשני כבר סיים את העבודה שלו ונח לו בתוך הגוף, הקליע השלישי עוד צריך קצת להזיע ולהשיג את הגוף. מכיוון שלכל הקליעים מהירויות שוות, הם מכסים דרך שווה בפרקי זמן שווים. לכן לגוף השלישי עוד יצטרך לבזבז \frac{v_0t_0}{v_r(2)} זמן.
לכן, סה"כ:
t_3=k+\frac{v_0t_0}{v_r(1)}+\frac{v_0t_0}{v_r(2)}

GaFaxo
22-04-2013, 21:25
הסדרה הזאת מייצגת את זמני הפגיעה של כל הקליעים. לכן לפני שאתה ניגש לקליע N, אתה צריך לבנות שרשרת אירועים (כי הזמן מתחיל מ-t=0).

לגבי החלוקה - הכוונה שלי הייתה לחלוקה לא של הדרך עצמה, אלא לחלוקה של אירועים בדרך. אז אולי כאן זה בילבל אותך. המשמעות היא להסתכל על מה שקורה עם המרחקים והזמנים לפני פגיעת הקליע הקודם ואחרי. החלוקה הזאת בסדר גמור:

(זכור כי כל הקליעים נעים באותה המהירות)

במקרה שלך, לפני שקליע 2 פוגע, הקליע השלישי יצטרך לבזבז \frac{x_0}{v_0} בכדי בכלל לעבור את הנק' ההתחלתית של הגוף. אחר כך, בינו לבין הקליע הראשון יש מרחק של 2v_0t_0 שהוא צריך לכסות. הבעיה היא, שכשהוא יתחיל לכסות את המרחק הזה, באיזשהו שלב הקליע השני יפגע, וישנה שוב את מהירות הגוף, לכן הוא יצטרך לבזבז זמן שונה לחלק הנותר של הדרך.

דמיין לעצמך 3 כדורים שנעים במהירויות שוות ומרחק בין כל קליע הוא v_0t_0. ברגע שהקליע הראשון פוגע, הוא נותן לגוף מהירות מסוימת. לכן המהירות היחסית בין הקליע השלישי לבין הגוף משתנה. הקליע השלישי צריך לכסות מרחק של 2v_0t_0. כמו שכבר אמרתי, זה לא זמן קבוע, כי באיזשהו רגע הקליע השני יפגע בגוף ו"יפגע" בחישוב שלנו בגלל העובדה שהוא ישנה את המהירות של הגוף ולכן גם את המהירות היחסית שבין הגוף לקליע השלישי. כמה זמן יקח לקליע השני להגיע לגוף ובכך "להפריע לנו בחישובים"? \frac{v_0t_0}{v_r(1)} ! אבל גם הקליע השלישי בדרך. אז הקליע השלישי יבזבז גם הוא זמן כזה, אבל בעוד שהשני כבר סיים את העבודה שלו ונח לו בתוך הגוף, הקליע השלישי עוד צריך קצת להזיע ולהשיג את הגוף. מכיוון שלכל הקליעים מהירויות שוות, הם מכסים דרך שווה בפרקי זמן שווים. לכן לגוף השלישי עוד יצטרך לבזבז \frac{v_0t_0}{v_r(2)} זמן.
לכן, סה"כ:
t_3=k+\frac{v_0t_0}{v_r(1)}+\frac{v_0t_0}{v_r(2)}

סבבה, תודה רבה רבה, סוף סוף הבנתי (אני מקווה). אגב, בסעיף ז', אני חושב שהכוונה הייתה תרתי משמע "מתי", ואז משתמשים בנוסחא שקיבלנו לאיבר ה-nי.
אני מניח שבאולימפיאדה עצמה לא יתנו תרגיל כזה השנה, כי לא למדנו את החומר במתמטיקה בשביל למצוא את האיבר הnי במתמטיקה. אני יכול לעשות את זה על פי הגיון, אבל זה יקח המון זמן, ויש רק שעה וחצי ל-2 שאלות בדרגת קושי כזו.

עריכה: אוחח, אני משתגע. שוב חשבתי על זה (אני תמיד אוהב לחשוב בכיוון של - "כל מה שנאמר לי עכשיו הוא טעות - למה?" זה נורא עוזר לי במבחנים), והשאלה המתבקשת היא
מה אם k<t0?
אם k<t0 הרי שהמרחק ההתחלתי הוא יותר קטן מ-v0t0, ואז אתה לא יכול להיות בטוח שהמשוואה שכתבת למעלה.
יותר מזה, מה אם k=0 (כלומר, המרחק ההתחלתי הוא 0)? אז בכלל יכולים לפגוע בגוף 3 קליעים לפני שהוא בכלל מגיע למרחק v0t0

cthulhu
22-04-2013, 22:10
סבבה, תודה רבה רבה, סוף סוף הבנתי (אני מקווה). אגב, בסעיף ז', אני חושב שהכוונה הייתה תרתי משמע "מתי", ואז משתמשים בנוסחא שקיבלנו לאיבר ה-nי.
אני מניח שבאולימפיאדה עצמה לא יתנו תרגיל כזה השנה, כי לא למדנו את החומר במתמטיקה בשביל למצוא את האיבר הnי במתמטיקה. אני יכול לעשות את זה על פי הגיון, אבל זה יקח המון זמן, ויש רק שעה וחצי ל-2 שאלות בדרגת קושי כזו.

בבקשה. אני לא מכיר את הנהלים באולימפיאדה הזאת, אבל אני מניח שבשלבים מתקדמים יותר הם מניחים שהמשתתף יודע סדרות בסיסיות. למען האמת, נוסחת הנסיגה הזאת היא לא קשה מדי, יש כאן פולינום ממעלה ראשונה במקדם השינוי, לכן קבלת האיברי ה-nי הופך להיות עניין של כמה שורות:

1) מכיוון שהפולינום ממעלה ראשונה, כבר אפשר להסיק שיהיה לנו פולינום ממעלה שנייה באיבר הכללי.

2) נרשום את הפולינום הכללי:
a_n=b_2n^2+b_1n+b_0

3) יש לנו שלושה מקדמים לא ידועים, לכן צריך שלוש משוואות:
\left\{
\begin{array}{l}
k=b_2+b_1+b_0\\
k+\frac{T(p-1+2)}{p}=4b_2+ 2 b_1+b_0\\
(k+\frac{T(p-1+2)}{p})+\frac{T(p-1+3)}{p}=9b_2+3b_1+b_0
\end{array} \right.

אחרי כמה הצבות:

\frac{T(p+1)}{p}=3b_2+b_1

\frac{T(p+2)}{p}=5b_2+b_1

לכן:
b_1=\frac{T(2p-1)}{2p}
b_2=\frac{T}{2p}
b_0=k-(b_1+b_2)

ופשוט מציבים את המקדמים בפולינום:
a_n=\frac{T}{2p}n^2+\frac{T(2p-1)}{2p}n+k-T=k+\frac{T(n-1)(n+2p)}{2p}



עריכה: אוחח, אני משתגע. שוב חשבתי על זה (אני תמיד אוהב לחשוב בכיוון של - "כל מה שנאמר לי עכשיו הוא טעות - למה?" זה נורא עוזר לי במבחנים), והשאלה המתבקשת היא
מה אם k<t0?
אם k<t0 הרי שהמרחק ההתחלתי הוא יותר קטן מ-v0t0, ואז אתה לא יכול להיות בטוח שהמשוואה שכתבת למעלה.
יותר מזה, מה אם k=0 (כלומר, המרחק ההתחלתי הוא 0)? אז בכלל יכולים לפגוע בגוף 3 קליעים לפני שהוא בכלל מגיע למרחק v0t0

זה בכלל לא משנה. זה לא משנה מהסיבה הפשוטה שהדבר העיקרי כאן - לכל קליע יש מהירות אותה מהירות קבועה וזמן המחזור גם קבוע. אני חושב שהדרך הכי טובה לראות את זה, זה פשוט לקחת דוגמה מספרית ובדרך אתה תבין הכול.

GaFaxo
22-04-2013, 22:15
זה סדרות בסיסיות? ממש לא.
אני הייתי פותר את זה על ידי חיסור של ה-a(n-1) ואז חיבור כל האגפים השמאליים של הסדרה. יוצא
a1 + an = (N-1)c- או משהו בסגנון, לא עקבתי ממש אחרי הסדרה, אבל זה רעיון יותר פשוט לדעתי.

למה זה לא משנה? אם נגיד המרחק הוא מטר והמהירות היא 3 מטר לשניה, והתדירות היא 2 שניות,
נבחן את המצב:
k = 1/3 = 1/3s
בזמן הזה, המסה זזה במהירות של 3/101 m/s, במשך 1+2/3 שניות.
לפי מה שאני רואה, היא לא מדגדגת אפילו את ה- 6 מטר.

cthulhu
22-04-2013, 23:05
זה סדרות בסיסיות? ממש לא.
אני הייתי פותר את זה על ידי חיסור של ה-a(n-1) ואז חיבור כל האגפים השמאליים של הסדרה. יוצא
a1 + an = Nc או משהו בסגנון, לא עקבתי ממש אחרי הסדרה, אבל זה רעיון יותר פשוט לדעתי.

למה זה לא משנה? אם נגיד המרחק הוא מטר והמהירות היא 3 מטר לשניה, והתדירות היא 2 שניות,
נבחן את המצב:
k = 1/3 = 1/3s
בזמן הזה, המסה זזה במהירות של 3/101 m/s, במשך 1+2/3 שניות.
לפי מה שאני רואה, היא לא מדגדגת אפילו את ה- 6 מטר.
לא יודע איך מלמדים סדרות בבית ספר, אבל זאת סדרה די פשוטה. סדרות מורכבות יותר הן סדרות עם פונקציות גנרציה ועם מרכיבים קומפלקסיים לטעמי. בכל מקרה, שיהיה. לגבי הדרך שאמרת - לא כל כך הבנתי למה אתה מתכוון.

לגבי הדוגמה שלך - אני מניח שאתה מדבר על זמן מחזור ולא על תדירות (זה דברים שונים, למרות שקשורים אחד בשני). ואני גם מניח שהמסה של הגוף גדולה פי 100.

בכל מקרה, אני לא רואה מה הבעיה. כמו שאמרתי - הדבר החשוב הוא, שהקליעים נעים באותה מהירות ושזמן המחזור אינו משתנה.

נפתור בדרך רגילה:

אכן הזמן שייקח לקליע הראשון להגיע הוא \frac{x_0}{v_0}=\frac{1}{3} \text{s} .

עכשיו, מהרגע הזה ועד ל-t=2 הגוף נע במהירות מסיומת ומגיע לנק': x_{t=2}=x_0+(2-\frac{1}{3})\cdot u(1)=1+\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{101}=\frac{106}{101}

ברגע הזה, יוצא קליע שני, והוא יפגע בגוף אחרי:
\frac{x_{t=2}}{v_r(1)}=\frac{106}{101}\cdot \frac{101}{300}=\frac{106}{300} \text{s}

כלומר זמן הפגיעה שלו (מ-t=0):
2+\frac{106}{300} =\frac{353}{150} \text{s}

נבדוק את הנוסחה שלנו:

a_n=t_{hit}(n)=\frac{x_0}{v_0}+\frac{T(n-1)(n+2p)}{2p}

נציב:

t_{hit}(2)=\frac{1}{3}+\frac{2(2-1)(2+200)}{200}=\frac{1}{3}+\frac{202}{100}=\frac{ 353}{150}\text{s}

קיבלנו את אותו הדבר. מה הבעיה?

אם גדלים כאלה מקשים עליך להבין, פשוט תדמיין שהקליע הבא נמצא בצד השלילי של ציר ה-x, כלומר כאילו נע עוד לפני המכונה.

GaFaxo
24-04-2013, 21:11
לא יודע איך מלמדים סדרות בבית ספר, אבל זאת סדרה די פשוטה. סדרות מורכבות יותר הן סדרות עם פונקציות גנרציה ועם מרכיבים קומפלקסיים לטעמי. בכל מקרה, שיהיה. לגבי הדרך שאמרת - לא כל כך הבנתי למה אתה מתכוון.

לגבי הדוגמה שלך - אני מניח שאתה מדבר על זמן מחזור ולא על תדירות (זה דברים שונים, למרות שקשורים אחד בשני). ואני גם מניח שהמסה של הגוף גדולה פי 100.

בכל מקרה, אני לא רואה מה הבעיה. כמו שאמרתי - הדבר החשוב הוא, שהקליעים נעים באותה מהירות ושזמן המחזור אינו משתנה.

נפתור בדרך רגילה:

אכן הזמן שייקח לקליע הראשון להגיע הוא \frac{x_0}{v_0}=\frac{1}{3} \text{s} .

עכשיו, מהרגע הזה ועד ל-t=2 הגוף נע במהירות מסיומת ומגיע לנק': x_{t=2}=x_0+(2-\frac{1}{3})\cdot u(1)=1+\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{101}=\frac{106}{101}

ברגע הזה, יוצא קליע שני, והוא יפגע בגוף אחרי:
\frac{x_{t=2}}{v_r(1)}=\frac{106}{101}\cdot \frac{101}{300}=\frac{106}{300} \text{s}

כלומר זמן הפגיעה שלו (מ-t=0):
2+\frac{106}{300} =\frac{353}{150} \text{s}

נבדוק את הנוסחה שלנו:

a_n=t_{hit}(n)=\frac{x_0}{v_0}+\frac{T(n-1)(n+2p)}{2p}

נציב:

t_{hit}(2)=\frac{1}{3}+\frac{2(2-1)(2+200)}{200}=\frac{1}{3}+\frac{202}{100}=\frac{ 353}{150}\text{s}

קיבלנו את אותו הדבר. מה הבעיה?

אם גדלים כאלה מקשים עליך להבין, פשוט תדמיין שהקליע הבא נמצא בצד השלילי של ציר ה-x, כלומר כאילו נע עוד לפני המכונה.

אוחח.. מוזר. כי פיתחת את זה על פי ההנחה שהמרחק בין הקליעים הוא תמיד v0t0 עד לפני הפגיעה.
אני אשב על זה עוד קצת אחר כך, אני אנסה להבין לבד כי אני מרגיש שאני מנג'ז לך קצת.

cthulhu
24-04-2013, 22:17
אוחח.. מוזר. כי פיתחת את זה על פי ההנחה שהמרחק בין הקליעים הוא תמיד v0t0 עד לפני הפגיעה.
אני אשב על זה עוד קצת אחר כך, אני אנסה להבין לבד כי אני מרגיש שאני מנג'ז לך קצת.

שים לב ש:
\frac{v_0T}{v_r(1)}-(T-k)

זה הזמן שהקליע השני היה באוויר.

אם נציב:

\frac{v_0T}{v_r(1)}-(T-k)=\frac{606}{300}-\frac{5}{3}=\frac{106}{300}

אבל גם:
\frac{x_{t=2}}{v_r(1)}=\frac{106}{300} \text{s}

אני שוב מזכיר לך - הסדרה שלנו מייצגת את זמני הפגיעה של הקליעים ולא את משך זמן השהייה שלהם באוויר. התוספת c שדיברתי עליה, כבר כוללת את הזמן שהקליע חיכה ואת הזמן שלקח לו להגיע לגוף. פשוט במקום להסתבך ולחשב ביטויים כלליים בנפרד בשביל ה"delay" ובכמה התרחק הגוף, אפשר לעבור למערכות ייחוס אחרות ולתאר את התהליכים משם. התוצאות יהיו זהות בכל המקרים כי הזמן הוא אינווריאנטי.

כלומר, בהסתכלות ממערכת ייחוס אחרת, אפשר להגיע למסקנה שהזמן שהקליע ה-nי יחכה + יעבור את כל הדרך עד לפגיעה בגוף שווה בערכה לזמן שייקח לקליע זה לכסות את המרחק שעבר הקליע הקודם במשך זמן T, במהירות יחסית v_r(n-1).

תסתכל על הקשרים שבין המספרים ואולי זה יעזור לך להבין.

GaFaxo
25-04-2013, 18:38
שים לב ש:
\frac{v_0T}{v_r(1)}-(T-k)

זה הזמן שהקליע השני היה באוויר.

אם נציב:

\frac{v_0T}{v_r(1)}-(T-k)=\frac{606}{300}-\frac{5}{3}=\frac{106}{300}

אבל גם:
\frac{x_{t=2}}{v_r(1)}=\frac{106}{300} \text{s}

אני שוב מזכיר לך - הסדרה שלנו מייצגת את זמני הפגיעה של הקליעים ולא את משך זמן השהייה שלהם באוויר. התוספת c שדיברתי עליה, כבר כוללת את הזמן שהקליע חיכה ואת הזמן שלקח לו להגיע לגוף. פשוט במקום להסתבך ולחשב ביטויים כלליים בנפרד בשביל ה"delay" ובכמה התרחק הגוף, אפשר לעבור למערכות ייחוס אחרות ולתאר את התהליכים משם. התוצאות יהיו זהות בכל המקרים כי הזמן הוא אינווריאנטי.

כלומר, בהסתכלות ממערכת ייחוס אחרת, אפשר להגיע למסקנה שהזמן שהקליע ה-nי יחכה + יעבור את כל הדרך עד לפגיעה בגוף שווה בערכה לזמן שייקח לקליע זה לכסות את המרחק שעבר הקליע הקודם במשך זמן T, במהירות יחסית v_r(n-1).

תסתכל על הקשרים שבין המספרים ואולי זה יעזור לך להבין.
הצלחתי לפתור את הנוסחת נסיגה שלך, ויצאה לי נוסחא שלא תלויה ב-p.
בהסבר שלך צדקת שב-
x כאשר t=2 חלקי המהירות היחסית פלוס 2 שניות שווה לזמן. לא הטלתי בזה ספק.
הטלתי ספק בזה ש-
v0t0/Vr(1) יהיה נכון לקליע ה- N-1 עד ל-N כאשר N-1=1
ולכן הגעתי למסקנה שהתבלבלתי וזה פשוט לא נכון.
זה לא הגיוני שכל המרחק בין הקליע השני לבול העץ (בלי שום קשר לראשון!) הוא V0t0 בהכרח!
תוכל בבקשה, בלי הסברים ובלי שום דבר, פשוט לכתוב את הפתרון האלגברי של סעיף ה'?
כי אני לא מבין למה לעזאזל פתאום זה שוב מתבלבל לי. התרגיל הזה באמת משגע אותי.

cthulhu
25-04-2013, 18:51
הצלחתי לפתור את הנוסחת נסיגה שלך, ויצאה לי נוסחא שלא תלויה ב-p.
בהסבר שלך צדקת שב-
x כאשר t=2 חלקי המהירות היחסית פלוס 2 שניות שווה לזמן. לא הטלתי בזה ספק.
הטלתי ספק בזה ש-
v0t0/Vr(1) יהיה נכון לקליע ה- N-1 עד ל-N כאשר N-1=1
ולכן הגעתי למסקנה שהתבלבלתי וזה פשוט לא נכון.
זה לא הגיוני שכל המרחק בין הקליע השני לבול העץ (בלי שום קשר לראשון!) הוא V0t0 בהכרח!
תוכל בבקשה, בלי הסברים ובלי שום דבר, פשוט לכתוב את הפתרון האלגברי של סעיף ה'?
כי אני לא מבין למה לעזאזל פתאום זה שוב מתבלבל לי. התרגיל הזה באמת משגע אותי.

אם אתה מסכים עם נוסחת הנסיגה, אזי שהפתרון של ה' הוא פשוט:
a_n-a_{n-1}=T \cdot \frac{p-1+n}{p}

אני מסכים שהתרגיל הזה לא קל (בכל זאת, שלב ב' של אולימפיאדה). אבל המפתח להבנה הוא היכולת לעבור בין מערכות ייחוס שונות.

GaFaxo
25-04-2013, 19:25
אם אתה מסכים עם נוסחת הנסיגה, אזי שהפתרון של ה' הוא פשוט:
a_n-a_{n-1}=T \cdot \frac{p-1+n}{p}

אני מסכים שהתרגיל הזה לא קל (בכל זאת, שלב ב' של אולימפיאדה). אבל המפתח להבנה הוא היכולת לעבור בין מערכות ייחוס שונות.
הנוסחת נסיגה שכתבת היא:
a1 = k
an - a(n-1) = nT
לא הבנתי איך הגעת לאחרת. אני מניח, כמובן, שזה קשור ל-
v0t0/Vr
אבל אני בטוח שזה לא אקסקלוסיבי לזה. חוץ מזה, נוסחת הנסיגה מתקשרת לו', לא?
ושוב, אשמח אם תסביר מדוע
v0t0/Vr - (T-k)
זה הזמן שהקליע באוויר, שכן v0t0 הוא המרחק הפוטנציאלי (בהנחה ואין שום בול עץ) בין הקליעים, ואמנם, כפי שאמרתי, יכול להיות מקרה בו הוא לא.
אני גרוע בכל מה שקשור ליחסות (שנה שעברה למדנו עם מורה לא ממש טובה שלא העבירה את זה טוב), ולמזלי אמא קנתה לי את "פיזיקה תיכונית" של סירס וזימנסקי אז אולי אני אוכל לעבור על זה קצת. אבל עדיין, אני לא מבין את התרגיל הזה, והצלחתי את רב התרגילים שאפשר למצוא של שלב ב'.

cthulhu
25-04-2013, 19:48
הנוסחת נסיגה שכתבת היא:
a1 = k
an - a(n-1) = nT
לא הבנתי איך הגעת לאחרת. אני מניח, כמובן, שזה קשור ל-
v0t0/Vr
אבל אני בטוח שזה לא אקסקלוסיבי לזה. חוץ מזה, נוסחת הנסיגה מתקשרת לו', לא?
ושוב, אשמח אם תסביר מדוע
v0t0/Vr - (T-k)
זה הזמן שהקליע באוויר, שכן v0t0 הוא המרחק הפוטנציאלי (בהנחה ואין שום בול עץ) בין הקליעים, ואמנם, כפי שאמרתי, יכול להיות מקרה בו הוא לא.
אני גרוע בכל מה שקשור ליחסות (שנה שעברה למדנו עם מורה לא ממש טובה שלא העבירה את זה טוב), ולמזלי אמא קנתה לי את "פיזיקה תיכונית" של סירס וזימנסקי אז אולי אני אוכל לעבור על זה קצת. אבל עדיין, אני לא מבין את התרגיל הזה, והצלחתי את רב התרגילים שאפשר למצוא של שלב ב'.


הנה הסבר שונה טיפה, ממערכת ייחוס של כדור הארץ. אולי זה יהיה יותר מובן:

בוא נסתכל על 2 קליעים בלבד בינתיים, כמו בדוגמה הקודמת, וננסה להוציא ביטוי כללי לזמן שבו הקליע השני יפגע בגוף.

נסמן ב-T את זמן המחזור, ב-p את מקדם המסה של הגוף (פי כמה המסה של הגוף גדולה מהמסה של הקליע), ב-v את מהירות הקליע. כמו כן, נסמן את הפ' של מהירות הגוף כפונקציה של קליע n כ-u(n)=\frac{nv}{p+n} ואת המהירות היחסית בין קליע לבין גוף אשר בתוכו n קליעים: m(n)=\frac{pv}{p+n}.

נסמן גם: k=\frac{x_0}{m(0)} (הזמן שייקח לקליע ראשון להגיע לגוף).

האם אתה מסכים, שהזמן שבו הקליע השני יפגע בגוף זה T + הזמן שהקליע השני יהיה באוויר עד הפגיעה בגוף?

אם עד כאן הכול ברור, אז נמשיך. אני חושב שברור לך, שנוסחת הנסיגה של סדרה שמייצגת את זמני הפגיעה של הקליעים בבול, בצורה כללית תיהיה:


\left\{
\begin{array}{l}
a_1=k\\
a_n=a_{n-1}+ c
\end{array} \right.


(תשכח מה-c שהזכרתי בתוגובת הקודמות. תחשוב שזה סתם קבוע כלשהו).

הרי שהאיבר הראשון זה הזמן שבו יפגע הקליע הראשון בגוף (k), וכל איבר הבא, זה שרשור של איבר קודם + הזמן שהקליע הבא יחכה + הזמן שהקליע הבא יהיה באוויר. אנחנו חייבים לשרשר כי הזמן לא נעצר אף פעם. אנחנו מעוניינים לצאת מהחדר שבו מתרחש הניסוי, ולדעת, באמצעות הסדרה, באיזה זמן בדיוק לחזור לחדר בכדי לראות את רגע הפגיעה בגוף של הקליע שמעניין אותנו.
לכן הסדרה שלנו צריכה להתחשב בזמן שהקליע שלנו חיכה במכונה (אם זה קליע עשירי, אז זה מינימום 10T שניות + כמה זמן לקח לו להגיע לגוף). האם אתה מסכים עד כאן?

בוא נבנה ביטוי כללי לזמן שבו הקליע השני יפגע בגוף. מנוסחת הנסיגה הכללית מאוד שלנו, ברור לנו ש:

a_2=k+c

עם k הכול ברור לנו. אבל מהו c?

מכיוון שחלק מהזמן שהקליע חיכה כבר "התבזבז" כשרשמנו את k (הרי שבזמן הזה, כשהקליע הראשון היה בדרך, ה"טיימר" של ירי הקליע הבא תיקתק), אזי שעלינו להוסיף את הזמן שנשאר עד לירי הקליע השני:

T-\frac{x_0}{m(0)}=T-k

הביטוי הזה נכלל בתוך c, אבל זה רק חלק ממנו. עכשיו נשאר לנו לרשום כמה זמן בזבז הקליע השני מרגע היציאה שלו מהמכונה ועד לפגיעה בגוף.

אז הדרך שהגוף בינתיים עבר, היא:
x_0+\left[\left(T-\frac{x_0}{m(0)} \right) \cdot u(1)\right]

הזמן שייקח לו לכסות את הדרך הזאת במהירות יחסית m(1), הוא:

\frac{x_0+\left[\left(T-\frac{x_0}{m(0)} \right) \cdot u(1)\right]}{m(1)}


כלומר, ה-c הוא:

c=\left(T-\frac{x_0}{m(0)} \right)+\frac{x_0+\left[\left(T-\frac{x_0}{m(0)} \right) \cdot u(1)\right]}{m(1)}

אם תציב את כל הפונקציות ותפשט את הביטוי, אתה תקבל:

k+c=k+T \cdot \frac{(p+1)}{p}

וה-c כאן, זה מקרה פרטי של:
T \cdot \frac{(p-1+n)}{p}

כאשר n=2.

אם תשרשר ככה משוואות עד n, אתה תגיע לביטוי הכללי הזה של c. פשוט בהסתכלות ממערכות ייחוס אחרות, נוח להגיע לכך ש-c שווה ל-c=\frac{vT}{m(n-1)}.

אבל זה אותו הדבר. פשוט יש דרך קצרה יותר, ויש דרך ארוכה יותר.

shaikid
25-04-2013, 19:53
א ב ג צדקת

סעיף ה.
קיבלתי שהזמן שעבר מפגיעת הN-1 לפגיעת הN זה:
t0*(n+99)/100

הסבר: הזמן שלקח לבול העץ ולקליע להיפגש נסמן ב tN
ההעתק שיעבור הבול עץ שווה tN*V(N-1)
ההעתק שיעבור הקליע שווה לההעתק שיעבור בול העץ+v0*t0(המרחק בין הקליעים לפני הפגיעה)
דרך נוספת לבטא את ההעתק שיעבור הקליע הוא v0*tN
ומכאן מקבלים נוסחא ומוצאים שtN שווה לביטוי למעלה

סעיף ו.
זה סכום הזמנים שעבר מפיגעת הכדור ה2 עד פגיעת הכדור ה3 עד לפגיעת הכדור ה4 וכך הלאה עד פגיעת הכדור הN(סכום מ2 עד N של מה שמצאנו בסעיף ה.) וזה שווה לפי החישוב שלי
to(n^2+n+196)/200

סעיף ז
נשווה את המהירות הסופית של הבול לנוסחא של המהירות הכללית של הבול ונמצא ש n=100
נציב בנוסחא של סעיף ו ונקבל
51.48*t0

אני קורא עכשיו קצת חומר תיאורטי לגבי סעיף ד. כי אני לא זוכר בכלל שימורי אנרגיה וכל מינה שטויות

שלב ב' השנה כבר היה?

cthulhu
25-04-2013, 19:59
א ב ג צדקת

סעיף ה.
קיבלתי שהזמן שעבר מפגיעת הN-1 לפגיעת הN זה:
t0*(n+99)/100

הסבר: הזמן שלקח לבול העץ ולקליע להיפגש נסמן ב tN
ההעתק שיעבור הבול עץ שווה tN*V(N-1)
ההעתק שיעבור הקליע שווה לההעתק שיעבור בול העץ+v0*t0(המרחק בין הקליעים לפני הפגיעה)
דרך נוספת לבטא את ההעתק שיעבור הקליע הוא v0*tN
ומכאן מקבלים נוסחא ומוצאים שtN שווה לביטוי למעלה

סעיף ו.
זה סכום הזמנים שעבר מפיגעת הכדור ה2 עד פגיעת הכדור ה3 עד לפגיעת הכדור ה4 וכך הלאה עד פגיעת הכדור הN(סכום מ2 עד N של מה שמצאנו בסעיף ה.) וזה שווה לפי החישוב שלי
to(n^2+n+196)/200

סעיף ז
נשווה את המהירות הסופית של הבול לנוסחא של המהירות הכללית של הבול ונמצא ש n=100
נציב בנוסחא של סעיף ו ונקבל
51.48*t0

אני קורא עכשיו קצת חומר תיאורטי לגבי סעיף ד. כי אני לא זוכר בכלל שימורי אנרגיה וכל מינה שטויות

שלב ב' השנה כבר היה?

אתה טועה לגבי ו' וגם לגבי ז'. תקרא קצת את התגובות כאן.

shaikid
25-04-2013, 20:02
אתה טועה לגבי ו' וגם לגבי ז'. תקרא קצת את התגובות כאן.

נתחיל מזה:
ה. צדקתי? יופי
ו. למה זה לא נכון.. הדרך שלי שונה מהדרך שרשומה בעמוד הראשון אבל אני לא רואה סיבה למה שהדרך שלי לא תעבוד

cthulhu
25-04-2013, 20:05
נתחיל מזה:
ה. צדקתי? יופי
ו. למה זה לא נכון.. הדרך שלי שונה מהדרך שרשומה בעמוד הראשון אבל אני לא רואה סיבה למה שהדרך שלי לא תעבוד

אתה לא הסברת לנו את הדרך שלך, לכן אני לא יכול ממש לומר משהו לגביה. אבל התשובה הסופית שלך לא נכונה, זאת עובדה. וכן, צדקת בסעיף ה.

shaikid
25-04-2013, 20:08
אתה לא הסברת לנו את הדרך שלך, לכן אני לא יכול ממש לומר משהו לגביה. אבל התשובה הסופית שלך לא נכונה, זאת עובדה. וכן, צדקת בסעיף ה.
ערכתי לפני שהגבת אז אולי לא ראית


הסבר: הזמן שלקח לבול העץ ולקליע להיפגש נסמן ב tN
ההעתק שיעבור הבול עץ שווה tN*V(N-1)
ההעתק שיעבור הקליע שווה לההעתק שיעבור בול העץ+v0*t0(המרחק בין הקליעים לפני הפגיעה)
דרך נוספת לבטא את ההעתק שיעבור הקליע הוא v0*tN
ומכאן מקבלים נוסחא ומוצאים שtN שווה לביטוי למעלה

v0*tN=tN*(N-1)v0/(100+N-1)+v0t0
נמצמם בv0 ונעביר אגפים על מנת לבודד את tN
ונקבל את הביטוי שרשמתי

cthulhu
25-04-2013, 20:13
ערכתי לפני שהגבת אז אולי לא ראית


הסבר: הזמן שלקח לבול העץ ולקליע להיפגש נסמן ב tN
ההעתק שיעבור הבול עץ שווה tN*V(N-1)
ההעתק שיעבור הקליע שווה לההעתק שיעבור בול העץ+v0*t0(המרחק בין הקליעים לפני הפגיעה)
דרך נוספת לבטא את ההעתק שיעבור הקליע הוא v0*tN
ומכאן מקבלים נוסחא ומוצאים שtN שווה לביטוי למעלה

v0*tN=tN*(N-1)v0/(100+N-1)+v0t0
נמצמם בv0 ונעביר אגפים על מנת לבודד את tN
ונקבל את הביטוי שרשמתי




קודם כל, ההסבר שלך לא ברור כל כך, וגם קשה לראות את הנוסחאות שלך (תרשום ב-LaTeX). כל מה שאני יכול לומר לך, זה שכנראה אתה טעית בצמצום של משהו, כי התשובה הסופית של ו' צריכה להיות:
t_0\frac{n^2+199n-200}{200}

ולא

t_0\frac{n^2+n+196}{200}

GaFaxo
25-04-2013, 20:19
הנה הסבר שונה טיפה, ממערכת ייחוס של כדור הארץ. אולי זה יהיה יותר מובן:

בוא נסתכל על 2 קליעים בלבד בינתיים, כמו בדוגמה הקודמת, וננסה להוציא ביטוי כללי לזמן שבו הקליע השני יפגע בגוף.

נסמן ב-T את זמן המחזור, ב-p את מקדם המסה של הגוף (פי כמה המסה של הגוף גדולה מהמסה של הקליע), ב-v את מהירות הקליע. כמו כן, נסמן את הפ' של מהירות הגוף כפונקציה של קליע n כ-u(n)=\frac{nv}{p+n} ואת המהירות היחסית בין קליע לבין גוף אשר בתוכו n קליעים: m(n)=\frac{pv}{p+n}.

נסמן גם: k=\frac{x_0}{m(0)} (הזמן שייקח לקליע ראשון להגיע לגוף).

האם אתה מסכים, שהזמן שבו הקליע השני יפגע בגוף זה T + הזמן שהקליע השני יהיה באוויר עד הפגיעה בגוף?

אם עד כאן הכול ברור, אז נמשיך. אני חושב שברור לך, שנוסחת הנסיגה של סדרה שמייצגת את זמני הפגיעה של הקליעים בבול, בצורה כללית תיהיה:


\left\{
\begin{array}{l}
a_1=k\\
a_n=a_{n-1}+ c
\end{array} \right.


(תשכח מה-c שהזכרתי בתוגובת הקודמות. תחשוב שזה סתם קבוע כלשהו).

הרי שהאיבר הראשון זה הזמן שבו יפגע הקליע הראשון בגוף (k), וכל איבר הבא, זה שרשור של איבר קודם + הזמן שהקליע הבא יחכה + הזמן שהקליע הבא יהיה באוויר. אנחנו חייבים לשרשר כי הזמן לא נעצר אף פעם. אנחנו מעוניינים לצאת מהחדר שבו מתרחש הניסוי, ולדעת, באמצעות הסדרה, באיזה זמן בדיוק לחזור לחדר בכדי לראות את רגע הפגיעה בגוף של הקליע שמעניין אותנו.
לכן הסדרה שלנו צריכה להתחשב בזמן שהקליע שלנו חיכה במכונה (אם זה קליע עשירי, אז זה מינימום 10T שניות + כמה זמן לקח לו להגיע לגוף). האם אתה מסכים עד כאן?

בוא נבנה ביטוי כללי לזמן שבו הקליע השני יפגע בגוף. מנוסחת הנסיגה הכללית מאוד שלנו, ברור לנו ש:

a_2=k+c

עם k הכול ברור לנו. אבל מהו c?

מכיוון שחלק מהזמן שהקליע חיכה כבר "התבזבז" כשרשמנו את k (הרי שבזמן הזה, כשהקליע הראשון היה בדרך, ה"טיימר" של ירי הקליע הבא תיקתק), אזי שעלינו להוסיף את הזמן שנשאר עד לירי הקליע השני:

T-\frac{x_0}{m(0)}=T-k

הביטוי הזה נכלל בתוך c, אבל זה רק חלק ממנו. עכשיו נשאר לנו לרשום כמה זמן בזבז הקליע השני מרגע היציאה שלו מהמכונה ועד לפגיעה בגוף.

אז הדרך שהגוף בינתיים עבר, היא:
x_0+\left[\left(T-\frac{x_0}{m(0)} \right) \cdot u(1)\right]

הזמן שייקח לו לכסות את הדרך הזאת במהירות יחסית m(1), הוא:

\frac{x_0+\left[\left(T-\frac{x_0}{m(0)} \right) \cdot u(1)\right]}{m(1)}


כלומר, ה-c הוא:

c=\left(T-\frac{x_0}{m(0)} \right)+\frac{x_0+\left[\left(T-\frac{x_0}{m(0)} \right) \cdot u(1)\right]}{m(1)}

אם תציב את כל הפונקציות ותפשט את הביטוי, אתה תקבל:

k+c=k+T \cdot \frac{(p+1)}{p}

וה-c כאן, זה מקרה פרטי של:
T \cdot \frac{(p-1+n)}{p}

כאשר n=2.

אם תשרשר ככה משוואות עד n, אתה תגיע לביטוי הכללי הזה של c. פשוט בהסתכלות ממערכות ייחוס אחרות, נוח להגיע לכך ש-c שווה ל-c=\frac{vT}{m(n-1)}.

אבל זה אותו הדבר. פשוט יש דרך קצרה יותר, ויש דרך ארוכה יותר.

אוקיי, זה פי אלף יותר מובן. הקטע הוא שקפצת משלב לשלב (השלבים האחרונים), וזה מה שבילבל אותי. מלכתחילה הבנתי שצריך לחשב את המרחק הכללי שעשה הגוף בשביל לפתור, ולהוסיף מרחק חדש כל פעם.
תוכל רק להוכיח את זה למקרה הכללי?
(T * (p-1+n)/p)
זו, בתקווה, תהא הבקשה האחרונה שלי ממך.

עכשיו, לשם אלו שכן קוראים את זה (כמו shaikid שלצערי טעה בתשובתו), ולומדים כמוני במסגרת 5 יח"ל מתמטיקה ואין להם מושג איך לפתור את הסדרה, אפתור את הסדרה בדרך הבאה:
כאמור, נוסחת הנסיגה היא:
a1 = k
an - a(n-1) = T * (p-1+n)/p
נציב 2 איברים:

a2 - a1 = T * (p+1)/p
a3 - a2 = T * (p+2)/p
ניתן לראות שאם מחברים את כל האגפים השמאליים ואת כל האגפים הימניים, מתקבל המצב הבא:

a2-a1 = T * (p+1)/p
a3 - a2 = T * (p+2)/p
...
an - a(n-1) = T * (p-1+n)

והתוצאה של החיבור היא:
an - a1 = T * (p+1+p+2+...+p+n-1)/p

ניתן לראות ש2 עד n-1 זו סדרה חשבונית בעלת הפרש 1, איבר ראשון 1 +p וכמובן n-1 איברים.
an - k = T * (p+1+p+n-1)(n-1)/2p
an = k + T*(2p + n)(n-1)/2p

הנוסחא תואמת לזו שאתה מצאת.

shaikid
25-04-2013, 20:29
סעיף ה. יצא לי tN=t0(N+99)/100
שtN מבטא את הזמן שלוקח לקליע הN לפגוע בבול מרגע פגיעת הקליע הN-1

עכשיו בסעיף ו שואלים כמה זמן לוקח מפגיעת קליע 1 עד לפגיעת קליע N ==

\[\sum_{2}^{N} t(N)=\sum_{2}^{N} \frac{t0(N+99)}{100}=\frac{t0}{100}\sum_{2}^{N} N+99=\frac{t0}{100}\frac{N(N+1))}{2}-1+99=\frac{t0(N^2+N-196)}{200}\]

את הנוסחא לסכום זה פשוט סכום סדרה חשבונית ושמתי בסוף פחות 1 כי הסכום מתחיל מ2

מה לא בסדר פה?

GaFaxo
25-04-2013, 20:31
סעיף ה. יצא לי tN=t0(N+99)/100
שtN מבטא את הזמן שלוקח לקליע הN לפגוע בבול מרגע פגיעת הקליע הN-1

עכשיו בסעיף ו שואלים כמה זמן לוקח מפגיעת קליע 1 עד לפגיעת קליע N ==

\[\sum_{2}^{N} t(N)=\sum_{2}^{N} \frac{t0(N+99)}{100}=\frac{t0}{100}\sum_{2}^{N} N+99=\frac{t0}{100}\frac{N(N+1))}{2}-1+99=\frac{t0(N^2+N-196)}{200}\]

את הנוסחא לסכום זה פשוט סכום סדרה חשבונית ושמתי בסוף פחות 1 כי הסכום מתחיל מ2

מה לא בסדר פה?

אה זה מעולה, צודק, סליחה :)

shaikid
25-04-2013, 20:32
אוקיי, זה פי אלף יותר מובן. הקטע הוא שקפצת משלב לשלב (השלבים האחרונים), וזה מה שבילבל אותי. מלכתחילה הבנתי שצריך לחשב את המרחק הכללי שעשה הגוף בשביל לפתור, ולהוסיף מרחק חדש כל פעם.
תוכל רק להוכיח את זה למקרה הכללי?
(T * (p-1+n)/p)
זו, בתקווה, תהא הבקשה האחרונה שלי ממך.

עכשיו, לשם אלו שכן קוראים את זה (כמו shaikid שלצערי טעה בתשובתו), ולומדים כמוני במסגרת 5 יח"ל מתמטיקה ואין להם מושג איך לפתור את הסדרה, אפתור את הסדרה בדרך הבאה:
כאמור, נוסחת הנסיגה היא:
a1 = k
an - a(n-1) = T * (p-1+n)/p
נציב 2 איברים:

a2 - a1 = T * (p+1)/p
a3 - a2 = T * (p+2)/p
ניתן לראות שאם מחברים את כל האגפים השמאליים ואת כל האגפים הימניים, מתקבל המצב הבא:

a2-a1 = T * (p+1)/p
a3 - a2 = T * (p+2)/p
...
an - a(n-1) = T * (p-1+n)

והתוצאה של החיבור היא:
an - a1 = T * (p+1+p+2+...+p+n-1)/p

ניתן לראות ש2 עד n-1 זו סדרה חשבונית בעלת הפרש 1, איבר ראשון 1 +p וכמובן n-1 איברים.
an - k = T * (p+1+p+n-1)(n-1)/2p
an = k + T*(2p + n)(n-1)/2p

הנוסחא תואמת לזו שאתה מצאת.
דבר ראשון תגיד לי איפה טעיתי כי מה שאני עשיתי(לפחות כך זה נראה לי) נכון, ומה שגיסנו פה עשה מסובך מאוד(שיכול מאוד להיות שזה גם נכון)

ד.א.
סיימתי את הבגרות חביבי ובזמני כן היה נוסחאות נסיגה, או לפחות למדנו את זה אבל אף פעם לא היה לנו על זה שאלה במבחן(מה שגם אני משתמש ברקורסיה לדברים אחרים במדמח ובמתמטיקה)

cthulhu
25-04-2013, 20:32
סעיף ה. יצא לי tN=t0(N+99)/100
שtN מבטא את הזמן שלוקח לקליע הN לפגוע בבול מרגע פגיעת הקליע הN-1

עכשיו בסעיף ו שואלים כמה זמן לוקח מפגיעת קליע 1 עד לפגיעת קליע N ==

\[\sum_{2}^{N} t(N)=\sum_{2}^{N} \frac{t0(N+99)}{100}=\frac{t0}{100}\sum_{2}^{N} N+99=\frac{t0}{100}\frac{N(N+1))}{2}-1+99=\frac{t0(N^2+N-196)}{200}\]

את הנוסחא לסכום זה פשוט סכום סדרה חשבונית ושמתי בסוף פחות 1 כי הסכום מתחיל מ2

מה לא בסדר פה?

אתה לא פתרת נכון את הסכום. בנית אותו נכון, אבל פתרת בצורה לא נכונה.

ול-GaFaxo, אני עוד מעט אכתוב.

shaikid
25-04-2013, 20:35
אתה לא פתרת נכון את הסכום. בנית אותו נכון, אבל פתרת בצורה לא נכונה.

ול-GaFaxo, אני עוד מעט אכתוב.
צודק שכחתי לסכום את ה99 אני אעלה תיקון שנייה
התשובה שכתבת למעלה אכן נכוה(אפילו שלי נראה שהסתבכת שלא בצדק

תיקון לסעיף ז.
נציב N=100 ונקבל
148.5t0

GaFaxo
25-04-2013, 20:38
דבר ראשון תגיד לי איפה טעיתי כי מה שאני עשיתי(לפחות כך זה נראה לי) נכון, ומה שגיסנו פה עשה מסובך מאוד(שיכול מאוד להיות שזה גם נכון)

ד.א.
סיימתי את הבגרות חביבי ובזמני כן היה נוסחאות נסיגה, או לפחות למדנו את זה אבל אף פעם לא היה לנו על זה שאלה במבחן(מה שגם אני משתמש ברקורסיה לדברים אחרים במדמח ובמתמטיקה)

זמנך זה זמנך, היום אין אפילו אינדוקציה.

shaikid
25-04-2013, 20:41
זמנך זה זמנך, היום אין אפילו אינדוקציה.
סתם גרמתי לזה להישמע לפני הרבה זמן
עשיתי את הבגרות שנה שעברה
למדתי סדרות לפני שנתיים בט'

מישהו יכול להעלות פתרון לסעיף ד'

GaFaxo
25-04-2013, 21:54
דיון טפשי כל אחד בשיטותיו בואנעזוב אותו

בכל מקרה תן לי להבין מה עשית
אתה אומר שQ(אנרגית חום) = השינוי באנרגיה הקינטית של הקליע לפני הפגיעה לאחרי הפגיעה נשמע הגיונ=
mv^2/2-mu^2/2=m/2(v^2-v^2*N^2/(100+N)^2)=100mv^2(N+50)/(N+100)^2

זה נכון?
אני לא זוכר את הפתרון בעל פה אבל עקרונית, כן צריך להוכיח שסכום כל האנרגיות מתבטל בסופו של דבר.
למשל, ניתן לראות ש-
1/2m0v0^2 = Ek1
Ek2 = 1/2 * 101m0 * u1^2
ובמקרה של קליע אחד התקוע בפנים:
1/2m0v0^2 + 1/2 * 101m0 * u1^2 = 1/2 * 102m0 * u2^2
כלומר:
1/2m0v0^2 = 1/2 * 102m0 * u2^2 - Ek1
בחיבור של כל האנרגיות ביחד יוצא
N * 1/2m0v0^2 + Ekn = ET
ומפה זו כמובן לא בעיה.

cthulhu
25-04-2013, 22:31
u(n)=\frac{nv_0}{p+n}
E_k(n)=\frac{m(n+p)}{2}u(n)^2
Q(n)=E_{k,bullet}+E_k(n-1)-E_k(n)=\frac{m \cdot p^2 \cdot v_0^2}{2(n+p)(n+p-1)}
\sum_{n=1}^{n}Q(n)=\frac{m \cdot v_0^2 \cdot n \cdot p}{2(n+p)}=E_{k,bullet} \cdot \frac{np}{n+p}

ל-GaFaxo - הביטוי שנתתי דורש פישוט שיכלול גם סכומים ורקורסיה. אבל כמו שאמרתי - תסתכל על הבעיה במערכת ייחוס אחרת. זאת הייתה בסה"כ דוגמה.

אם אתה רוצה לדעת מתי יפגע קליע עשירי בגוף - תתיישב על הקליע הזה (כמו שאמרתי, תחשוב שאין מכונת ירי - הקליעים פשוט מתחילים עוד מהצד השלילי של ציר x, וביניהם מרחק קבוע). יהיה לך 9 פעמים את המרחק vT שתצטרך וכל vT כזה, הקליע העשירי יצטרך לעבור במהירות שונה. בהתחלה v_r(1), אח"כ v_r(2) וכו'. אבל המרחק תמיד קבוע.
תחשוב שהקליע העשירי נמצא בנק' x=-(n-1)vT=-9vT. אז עכשיו הבעיה הופכת לפשוטה מאוד - אתה לא צריך לדאוג לזמן מחזור, כי בשבילך עכשיו כל הקליעים כבר נעים בתור, זה אחר זה, ממינוס אינסוף עד לגוף עצמו. זה חוסך ממך צורך כל הזמן להסתכל על תחילת הציר (איפה שהמכונה נמצאת).

במילים אחרות, המרחק בין הגוף למתקן הירי ברגע פגיעת קליע nי, הינו המרחק שהיה ביניהם ברגע פגיעת קליע קודם (n-1) ועוד הדרך שהגוף עבר עד לפגיעה הבאה. בכתיב מתמטי:

v_0(a_n-T)=v_0a_{n-1}+v(n-1)(a_n-a_{n-1})