PDA

צפה בגרסה המלאה : מ.דפרנציאלית - הפרדת משתנים



ron212
30-05-2013, 15:15
http://up377.siz.co.il/up2/dtzojnxuzjdh.bmp

בבקשה אם מישהו יכול לפתור לי את התרגיל עם הסבר ודרך למה אין לי מושג בכלל איך מתחילים...

אריאל
30-05-2013, 15:42
הפרדת משתנים פשוטה :

xdx+ydy=0 \\ x dx = -y dy \\ \int x dx = - \int y dy \\ \frac{x^2}{2} +A = - \frac{y^2}{2} +B \\ \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}= - A+B

נכפיל את המשוואה ב2 ונסמן C=2(-A+B)

ונקבל x^2+y^2=C

ron212
30-05-2013, 16:28
קודם כל תודה
רק שאלה מאיפה הגיעו הA/B לא למדנו בדרך כזאת

ועל הדרך אם תוכל לעזור לי בתרגיל נוסף מהשיעורים על אותו עיקרון...
http://up376.siz.co.il/up1/zzd5j2irtnem.bmp

אריאל
30-05-2013, 16:59
ה A ו B הם פשוט קבועי האינטגרציה, כי האינטגרל הוא לא מסוים, אפשר לרשום ישר את ה C אבל זה לא משנה - ניסיתי שיהיה מובן לך .

אריאל
30-05-2013, 17:01
בנוגע לתרגיל הנוסף, תרשום y'= \frac{dy}{dx} תפריד את כל מה שתלוי ב Y ל dy וכנל ל dx ואז תבצע אינטגרציה .

תנסה ואעזור לך אם לא תצליח .

avishay12456
30-05-2013, 17:02
A ו-B אלה קבועי האינטגרציה של כל אגף. אפשר במקום זה להוסיף פשוט קבוע אינטגרציה אחד לאחד מהאגפים, זה לא כזה קריטי.

לגבי המשוואה השנייה - נעביר אותה לצורה של משוואה ספרבילית:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?(x^2-1)y'+2xy^2=0/:(x^2-1)%20\\y'+\frac{2xy^2}{x^2-1}=0%20\\\\y'+\frac{\frac{2x}{x^2-1}}{\frac{1}{y^2}}=0%20\\\\\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{2x}{x^2-1}}{\frac{1}{y^2}}%20\\-\frac{1}{y^2}dy=\frac{2x}{x^2-1}dx%20\\\\\int%20-y^{-2}dy=\int%20\frac{2x}{x^2-1}dx%20\\\frac{1}{y}=\ln%20|x^2-1|+C%20\\y=\frac{1}{\ln%20|x^2-1|+C}

נציב y(0)=1:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?y=\frac{1}{\ln%20|x^2-1|+C}%20\\y(0)=\frac{1}{\ln%20|0^2-1|+C}=1%20\\\\\frac{1}{C}=1/\cdot%20C%20\\C=1

סה"כ קיבלנו:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?y=\frac{1}{\ln%20|x^2-1|+1}