PDA

צפה בגרסה המלאה : זהויות טריגונומטריה- אילו הכי חשובות?



YAYAYA
13-07-2013, 17:45
שלום לכם.

אני לומד כרגע טריגו' לבגרות 5 יח'

ראיתי שיש הרבה מאוד זהויות ורציתי לשאול איזה מהן הכי חשובות?
באיזה מהן משתמשים הכי הרבה בבגרות בדרך כלל???

תודה מראש לעונים

obeh
13-07-2013, 17:57
בכולן..
אבל מהזהיות הבסיסיות ניתן להגיע לכל זהות אחרת.

Dmot
13-07-2013, 18:04
אין צורך ללמוד את כולן בבת אחת. יוכיחו לך חלק, ועם הזמן תזכור.
הזהויות שאני ממליץ לכל אדם שניגש לבגרות לזכור בע"פ:

א. הקשרים היסודיים:
cos(\alpha)=sin(90-\alpha) \\ sin(\alpha)=cos(90-\alpha) \\ tan(\alpha)=\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} \\ tan(\alpha)=\frac{1}{cot(\alpha)} \\ cot(\alpha)=\frac{cos(\alph)(}{sin(\alpha)}
ב. הזהות1+tan^2(\alpha)=\frac{1}{cos^2(\alpha)}
ג. הזהות הפיתגוראית: sin^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1
ג. זהויות לסכום והפרש זוויות:
sin(\alpha\pm \beta)=sin(\alpha)cos(\beta)\pm cos(\alpha)sin(\beta)

cos(\alpha\pm \beta)=cos(\alpha)cos(\beta)\mp sin(\alpha)sin(\beta)

ד. זווית כפולה [נובע מ(ג) ומ(ב)]
sin(2\alpha)=2sin(\alpha)cos(\alpha) \\ cos(2\alpha)=cos^2(\alpha)-sin^2(\alpha)=1-2sin^2(\alpha)=2cos^2(\alpha)-1

ה. סכום והפרש סינוסים וקוסינוסים: יש 4 נוסחאות. פעם זכרתי 2 ונעזרתי ב(א) כדי לפתור את השאר.
cos(\alpha)+cos(\beta)=2cos(\frac{\alpha+\beta}{2} )cos(\frac{\alpha-\beta}{2})

cos(\alpha)-cos(\beta)=-2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})sin(\frac{\alpha-\beta}{2})

ו. זווית שלילית:
sin(-\alpha)=-sin(\alpha) (ומכאן, סינוס היא פונקציה אי זוגית)
cos(-\alpha)=cos(\alpha) (ומכאן, קוסינוס היא פונקציה זוגית).

ז. זוויות של 180:
sin(180-\alpha)=sin(\alpha) \\ cos(180-\alpha)=-cos(\alpha)

ח. הזהות המחזורית:
sin(\alpha)=sin(\alpha+360) \\ cos(\alpha)=cos(\alpha+360) \\ tan(\alpha)=tan(\alpha+180)

ממליץ גם לזכור את ההוכחות הבאות:
(1) זהויות של מחצית זווית - נובע מ(ד)
אם cos(2\varphi)=2cos^2(\varphi)-1, אז cos(\varphi)=2cos^2(\frac{\varphi}{2})-1.
מכאן,
1+cos(\varphi)=2cos^2(\frac{\varphi}{2})

\pm {\sqrt{\frac{1+cos(\varphi)}{2}}=cos(\frac{\varphi }{2})
כאשר סימן ה\pm משתנה בהתאם לרביע.

בצורה דומה, מוכיחים sin(\frac{\varphi}{2})=\pm \sqrt{\frac{1-cos(\varphi)}{2}} (כדי לא להתבלבל בין סינוס לקוסינוס, אפשר לזכור את המשפט הקצרצר "סינוס זה מינוס").

(2) מכפלה של זוג פונקציות - נובעת מ- ג.
למשל, sin(\alpha)cos(\beta).
רואים שיש לנו זוג פונקציות שונות זו מזו. מסתכלים על הזהויות ב-ג'. הנוסחא שמניבה זוג פונקציות השונות זו מזו היא הנוסחא של סכום זוויות בסינוס.
נרשום את צורת הפלוס והמינוס:
sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+sin(\beta) cos(\alpha) \\ sin(\alpha-\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)-sin(\beta)cos(\alpha)
אנחנו רוצים ש-\alpha תהיה סינוס. על כן, נחבר בין המשוואות ונעלים את הביטוי sin(\beta)cos(\alpha).
sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)=2sin(\alpha)cos(\beta)
ולכן,
\frac{1}{2}[sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)]=sin(\alpha)cos(\beta)

שוב, לא ללמוד את כולן בבת אחת - זה דרוש המון ניסיון. עם הזמן תדע מתי להשתמש בכל נוסחא, ומתי כדאי ומתי לא.
בהצלחה!!! תומר.

YAYAYA
13-07-2013, 18:08
אוקיי תודה רבה