PDA

צפה בגרסה המלאה : תרגיל קשה



קרמבו
30-11-2013, 09:29
יהי V מרחב מכפלה פנימית ו- [\varphi _o,\varphi _1,\varphi _2,...]
מערכת אורתונורמלית סגורה בV.


א. הוכח שהמערכת האורתונורמלית [\varphi _1,\varphi _2,...] אינה סגורה בV.


ב. הראה שאם f,g\epsilon V
וגם :

<f, \phi_n>=<g, \phi_n>


לכל n=0,1,2,... , אז f=g .


ג. בהסתמך על סעיף ב', הראה שאם f וg פונקציות רציפות בקטע [-\pi ,\pi ] וגם :

f(x),g(x)\sim \frac{a_o}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }a_ncos(nx)+b_nsin(nx)

(כלומר, ל f ו- g יש את אותם מקדמי פורייה במערכת הטריגונומטרית אז f(x)=g(x) עבור x\epsilon [-\pi ,\pi ]



לא הצלחתי אף סעיף, תודה מראש למי שיוכל לעזור

אריאל
30-11-2013, 22:16
א.

קל לבחור u = \phi_0 ונקבל :

\lim_{ m \to \infty } || \phi_0 - \sum_{ n=1 }^{ \infty } < \phi_0 , \phi_n > \phi_n || = || \phi_0 || \neq 0

המעבר הראשון הוא פשוט מפני שהמערכת היא אורתונורמלית ולכן גם אורתוגנלית כלומר המכפלה הפנימית בין איברים שונים היא אפס .

אריאל
30-11-2013, 22:33
סעיף ב'

נרשום :

f=a_0 \phi_0+....+a_n \phi_n

הדבר אפשרי כי הקבוצה היא אורתונורמלית וסגורה ( כלומר פורשת את V )

נרשום גם :

g=b_0 \phi_0+....+b_n \phi_n

כעת מתקיים לכל 0 \leq i \leq n :

\{ \phi_i,f \}= \{ \phi_i,g \}

תניח שהסוגריים המסולסלות הן למעשה המכפלה הפנימית ונקבל מכך שהקבוצה היא אורתוגונלית :

\{ \phi_i,a_i \phi_i \}= \{ \phi_i,b_i \phi_i \}

אבל הקבוצה גם אורתונורמלית ולכן :

a_i = b_i

לכל i בין 0 ל n ולכן f=g