PDA

צפה בגרסה המלאה : זקוק להוכחת משוואות לחישוב שטח משולש



petch365
01-12-2013, 13:06
שלום.
עלי ללמד את הכיתה שלי מספר נוסחאות לחישוב שטח משולש שלא נמצאות בתוכנית הלימוד.
אשמח אם תוכלו לעזור לי להוכיח את המשוואה הבאה ואולי גם לתת הסבר קצר
http://upload.wikimedia.org/math/7/1/d/71d2e1fa6eead22dce37f0e8b2066f02.png (ה - r מבטא רדיוס של מעגל חסום במשולש ABC)
בנוסף, אשמח לדעת אם יש נוסחאות נוספות אשר קל ללמד וללמוד, לחישוב שטח משולש שלא דורשות ידע בטריגונומטריה.

Dmot
01-12-2013, 13:54
שלום.
עלי ללמד את הכיתה שלי מספר נוסחאות לחישוב שטח משולש שלא נמצאות בתוכנית הלימוד.
אשמח אם תוכלו לעזור לי להוכיח את המשוואה הבאה ואולי גם לתת הסבר קצר
http://upload.wikimedia.org/math/7/1/d/71d2e1fa6eead22dce37f0e8b2066f02.png (ה - r מבטא רדיוס של מעגל חסום במשולש ABC)
בנוסף, אשמח לדעת אם יש נוסחאות נוספות אשר קל ללמד וללמוד, לחישוב שטח משולש שלא דורשות ידע בטריגונומטריה.
ישנן המון נוסחאות לשטח, אך רובן כוללות טריגונומטריה. בכתבה הבאה (http://www.emath.co.il/content.php?r=3-%D7%94%D7%98%D7%95%D7%A8-%D7%94%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%A2%D7%99) תוכל לקרוא על נוסחת הרון לחישוב שטח משולש ועל השימושים שלה.
בכתבה כאן (http://www.emath.co.il/content.php?r=75-%D7%94%D7%A9%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%91-%D7%91%D7%99%D7%9F-%D7%94%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%92%D7%95%D7%A0%D7%95%D 7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%94-%D7%9C%D7%92%D7%99%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D 7%99%D7%94) הוכחתי נוסחא נוספת לחישוב שטח משולש, והיא S=\frac{abc}{4R}, כאשר R הוא רדיוס המעגל החסום במשולש.
הסימון p הוא סימון למחצית היקף המשולש, דהיינו p=\frac{a+b+c}{2}. את ההוכחה לנוסחא תוכל למצוא כאן (http://www.emath.co.il/maagar/uploads/geometry/geometry_need_to_be_proven.pdf).
הבעיה היחידה מתחילה עם השוויון הימני שלך. r_b הוא סימון לרדיוס המעגל שנוצר כאשר מאריכים את הצלעות a,c, ומשרטטים מעגל שמשיק להמשכי הצלעות ולצלע b. להוכיח את זה בטריגונומטריה זה דיי פשוט, אבל עם גיאומטריה זה כבר קצת יותר מסובך.
אני כרגע צריך ללכת ולא עולה לי רעיון, אבל אחשוב על זה ואחזור אליך בתקווה.
בהצלחה! תומר.

petch365
01-12-2013, 13:57
ישנן המון נוסחאות לשטח, אך רובן כוללות טריגונומטריה. בכתבה הבאה (http://www.emath.co.il/content.php?r=3-%D7%94%D7%98%D7%95%D7%A8-%D7%94%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%A2%D7%99) תוכל לקרוא על נוסחת הרון לחישוב שטח משולש ועל השימושים שלה.
בכתבה כאן (http://www.emath.co.il/content.php?r=75-%D7%94%D7%A9%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%91-%D7%91%D7%99%D7%9F-%D7%94%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%92%D7%95%D7%A0%D7%95%D 7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%94-%D7%9C%D7%92%D7%99%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D 7%99%D7%94) הוכחתי נוסחא נוספת לחישוב שטח משולש, והיא S=\frac{abc}{4R}, כאשר R הוא רדיוס המעגל החסום במשולש.
הסימון p הוא סימון למחצית היקף המשולש, דהיינו p=\frac{a+b+c}{2}. את ההוכחה לנוסחא תוכל למצוא כאן (http://www.emath.co.il/maagar/uploads/geometry/geometry_need_to_be_proven.pdf).
הבעיה היחידה מתחילה עם השוויון הימני שלך. r_b הוא סימון לרדיוס המעגל שנוצר כאשר מאריכים את הצלעות a,c, ומשרטטים מעגל שמשיק להמשכי הצלעות ולצלע b. להוכיח את זה בטריגונומטריה זה דיי פשוט, אבל עם גיאומטריה זה כבר קצת יותר מסובך.
אני כרגע צריך ללכת ולא עולה לי רעיון, אבל אחשוב על זה ואחזור אליך בתקווה.
בהצלחה! תומר.

תודה רבה!

cthulhu
01-12-2013, 13:57
קח משולש ABC שיחסום מעגל בעל רדיוס r ותעביר בו את כל חוצי הזוויות (שייפגשו במרכז המעגל O). את השטחים של המשולשים הפנימיים שהתקבלו אפשר לבטא באמצעות הצלעות של המשולש הגדול ובאמצעות הרדיוס:
S_{OBC}=\frac{1}{2}ra , S_{AOC}=\frac{1}{2}rb, S_{AOB}=\frac{1}{2} rc
(האנכים שיוצאים ממרכז המעגל אל כל משולש הם רדיוסים שכמובן מאונכים בנקודת ההשקה לצלעות המשולש הגדול).
שטח המשולש הגדול יהיה סכום שטחי המשולשים הפנימיים, מכאן הנוסחה. כמובן שמפה אפשר לשאול מהי ההוכחה לנוסחה הבסיסית לשטח משולש, אבל אותה לא קשה להוכיח. וזאת לא הוכחה פורמלית וחדה אך היא מתאימה לרמה של בית ספר.

וכן, ישנה עוד נוסחה פשוטה למדי: S_{ABC}=\frac{abc}{4R}

petch365
01-12-2013, 14:05
ישנן המון נוסחאות לשטח, אך רובן כוללות טריגונומטריה. בכתבה הבאה (http://www.emath.co.il/content.php?r=3-%D7%94%D7%98%D7%95%D7%A8-%D7%94%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%A2%D7%99) תוכל לקרוא על נוסחת הרון לחישוב שטח משולש ועל השימושים שלה.
בכתבה כאן (http://www.emath.co.il/content.php?r=75-%D7%94%D7%A9%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%91-%D7%91%D7%99%D7%9F-%D7%94%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%92%D7%95%D7%A0%D7%95%D 7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%94-%D7%9C%D7%92%D7%99%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D 7%99%D7%94) הוכחתי נוסחא נוספת לחישוב שטח משולש, והיא S=\frac{abc}{4R}, כאשר R הוא רדיוס המעגל החסום במשולש.
הסימון p הוא סימון למחצית היקף המשולש, דהיינו p=\frac{a+b+c}{2}. את ההוכחה לנוסחא תוכל למצוא כאן (http://www.emath.co.il/maagar/uploads/geometry/geometry_need_to_be_proven.pdf).
הבעיה היחידה מתחילה עם השוויון הימני שלך. r_b הוא סימון לרדיוס המעגל שנוצר כאשר מאריכים את הצלעות a,c, ומשרטטים מעגל שמשיק להמשכי הצלעות ולצלע b. להוכיח את זה בטריגונומטריה זה דיי פשוט, אבל עם גיאומטריה זה כבר קצת יותר מסובך.
אני כרגע צריך ללכת ולא עולה לי רעיון, אבל אחשוב על זה ואחזור אליך בתקווה.
בהצלחה! תומר.


קח משולש ABC שיחסום מעגל בעל רדיוס r ותעביר בו את כל חוצי הזוויות (שייפגשו במרכז המעגל O). את השטחים של המשולשים הפנימיים שהתקבלו אפשר לבטא באמצעות הצלעות של המשולש הגדול ובאמצעות הרדיוס:
S_{OBC}=\frac{1}{2}ra , S_{AOC}=\frac{1}{2}rb, S_{AOB}=\frac{1}{2} rc
(האנכים שיוצאים ממרכז המעגל אל כל משולש הם רדיוסים שכמובן מאונכים בנקודת ההשקה לצלעות המשולש הגדול).
שטח המשולש הגדול יהיה סכום שטחי המשולשים הפנימיים, מכאן הנוסחה. כמובן שמפה אפשר לשאול מהי ההוכחה לנוסחה הבסיסית לשטח משולש, אבל אותה לא קשה להוכיח. וזאת לא הוכחה פורמלית וחדה אך היא מתאימה לרמה של בית ספר.

וכן, ישנה עוד נוסחה פשוטה למדי: S_{ABC}=\frac{abc}{4R}

תודה רבה.

וכן, את הנוסחה http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?S=\frac{abc}{4R} הוכחתי כבר, זו הייתה הנוסחה הראשונה שעשיתי

Dmot
01-12-2013, 14:51
תודה רבה.

וכן, את הנוסחה http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?S=\frac{abc}{4R} הוכחתי כבר, זו הייתה הנוסחה הראשונה שעשיתי

Area of Triangle in Terms of Exradii - ProofWiki (http://www.proofwiki.org/wiki/Area_of_Triangle_in_Terms_of_Exradii)
תהנה. אני חייב להודות שזו הפעם הראשונה שנתקלתי בהוכחה גיאומטרית לנוסחא. בעזרת טריגונומטריה אפשר להוכיח כי r_a=sin(\frac{\alpha}{2})cos(\frac{\beta}{2})cos(\ frac{\gamma}{2}), ואז אפשר להוכיח גם בקלות ש-S=\sqrt{rr_ar_br_c}.
בהצלחה! :) תומר.