PDA

צפה בגרסה המלאה : שאלה 5 - שלב ב' באולימפיאדת המתמטיקה



Nare
29-12-2013, 20:15
השאלה:

פולינום במקדמים שלמים מקיים: p(5)=25 p(14)=16 p(16)=36.
מצא את כל הערכים שיכול לקבל p(10).

הגישה שלי לפתרון התבססה על הכלל ש-\frac{p(x)-p(y)}{x-y} הוא מספר שלם עבור כל פולינום במקדמים שלמים, ולכן מתקיים:

\frac{p(10)-p(5)}{10-5}=\frac{p(10)-25}{5}=\frac{p(10)}{5}-5

\frac{p(14)-p(10)}{14-10}=\frac{16-p(10)}{4}=4-\frac{p(10)}{4}

\frac{p(16)-p(10)}{16-10}=\frac{36-p(10)}{6}=6-\frac{p(10)}{6}

כאשר כל התוצאות הם מספרים שלמים.

מכאן ש-p(10) מתחלק ב-4 ,5 וב-6 ולכן p(10) הוא מהצורה p(10)=60k.

האם זה נכון לומר זאת? התוצאה נראית לי קצת מוזרה...

אשמח לקבל הסבר.

בתודה מראש,
ערן.

אריאל
29-12-2013, 21:10
לי זה נראה מצוין..

shaikid
30-12-2013, 13:41
אני עשיתי כמוך אבל זה לא נכון.
מה שאתה הוכחת (וגם אני) זה שP10 חייב להתחלק ב60 אם כל תנאי השאלה מתקיימים, אך לא הוכחת שקיים פולינום עבור כל מכפלה של 60.
בשביל להשלים את הוכחה אתה צריך למצוא פולינום ממעלה סופית כלשהי שמקיים את כל הדרישות שזה שקול ללפתור מערכת משוואות לינאריות:
נגדיר Q(x)=P(x)-60k. אז x=10 זה שורש של הפולינום Q
לכן P(x)=(x-10)(R(x))+60k
ופשוט עבור כל x שאתה יודע מה P שלו להציב ולמצוא את ערכו של R. מה שאתה תופתע לגלות זה שעבור k אי זוגי, הפולינום P הוא לעולם לא עם מקדמים שלמים, לכל פולינום R שהוא. (לדוגמא נניח R מדרגה 2 עבור x=5, R(5)=12k-5=25a+5b+c וזו משוואה ראשונה, תוכל ליצור עוד שתי משוואות כאלו, ואז לפתור את המערכת ולקבל ביטוי לa'b'c באמצעות k והינה מצאת את R וכתוצאה מכך גם את P)

אני לא יודע להוכיח שלכל R ולכל K אי זוגי P לא עם מקדמים שלמים אבל אני יכול להוכיח שP10 חייב להתחלק ב120 ולמצוא כזה פולינום(שהוא תלוי בk) ובכך לסיים את ההוכחה(בלי להוכיח שעבור k אי זיגוי ולכל R , פולינום P הוא ללא מקדמים שלמים)
נגדיר :
T(x)=P(x+10)-x^2
אנו מחפשים את T של 0(שהוא שווה לP של 10)
קל לראות שחלק משורשי T הם:(הוכח זאת!) x=-5,4,6
נקבל שT היא מהצורה:
(x+5)(x-4)(x-6)M(x) ואם נציב x=0 נקבל שP(10) כפולה של 120.(ניתן להניח כי M עם מקדמים שלמים, ואם לא פשוט להכפיל במספר כלשהו ולקבל M עם מקדמים שלמים וT יתוקן בהתאם)


התשובה הנכונה כאמור היא שהערכים שP10 יכול לקבל הם כפולות של 120, וכמובן ניתן למצוא פולינום כזה(מצא אחד!)




===================================
אחרי כל החפירה הזאת, איך הייתה לך הבחינה איזה שאלות הצלחת איזה לא.
אני עניתי על 3.5/7 אבל הנימוקים שלי גרועים ביותר, וחלקם לא נוכנים לגמרי אני מאמין שאקבל ניקוד כולל על כ2/2.5 שאלות

Nare
30-12-2013, 15:03
אוקיי.

תודה על ההסבר!

עניתי על 1,4,5.
לפי מה שאתה אומר התשובה שלי ב-5 לא נכונה....
אבל לפחות אחרי שיצאתי קיבלתי הדרכה איך לפתור את המשוואה...וככה יש לי עוד טכניקה לפעם הבאה.

shaikid
30-12-2013, 16:40
אוקיי.

תודה על ההסבר!

עניתי על 1,4,5.
לפי מה שאתה אומר התשובה שלי ב-5 לא נכונה....
אבל לפחות אחרי ש
יצאתי קיבלתי הדרכה איך לפתור את המשוואה...וככה יש לי עוד טכניקה לפעם הבאה.

אני מאמין שתקבל חלק מהנקודות
אני כמוך רק שעניתי על 6 חלקית.(עבור n זוגי)
תוכל להסביר לי את הדרך השניה לפתור את המשוואה? הדרך שהסבירו לך

Nare
30-12-2013, 16:53
מסתבר שמתקיים:

(a+b)^7=a^7+b^7+7ab(a+b)((a+b)^2-ab)^2

נתעסק עם המשוואה ונקבל:

\frac{x^7}{7}=1+\sqrt[7]{10}x(x^2-\sqrt[7]{10})^2\\ |\\ x^7=7+7\sqrt[7]{10}x(x^2-\sqrt[7]{10})^2\\ \\ |\\ x=a+b \Rightarrow (a+b)^7=7+7\sqrt[7]{10}(a+b)((a+b)^2-\sqrt[7]{10})^2\\ |\\ a^7+b^7+7ab(a+b)((a+b)^2-ab)^2=7+7\sqrt[7]{10}(a+b)((a+b)^2-\sqrt[7]{10})^2



מכאן שיש לנו שתי משוואות:

a^7+b^7=7 \; ,\; \; ab=\sqrt[7]{10}

ולכן הפתרון הוא:

x=\sqrt[7]{5}+\sqrt[7]{2}

אם יש לך פתרון פשוט יותר אשמח לשמוע.

shaikid
31-12-2013, 14:13
מסתבר שמתקיים:

(a+b)^7=a^7+b^7+7ab(a+b)((a+b)^2-ab)^2

נתעסק עם המשוואה ונקבל:

\frac{x^7}{7}=1+\sqrt[7]{10}x(x^2-\sqrt[7]{10})^2\\ |\\ x^7=7+7\sqrt[7]{10}x(x^2-\sqrt[7]{10})^2\\ \\ |\\ x=a+b \Rightarrow (a+b)^7=7+7\sqrt[7]{10}(a+b)((a+b)^2-\sqrt[7]{10})^2\\ |\\ a^7+b^7+7ab(a+b)((a+b)^2-ab)^2=7+7\sqrt[7]{10}(a+b)((a+b)^2-\sqrt[7]{10})^2



מכאן שיש לנו שתי משוואות:

a^7+b^7=7 \; ,\; \; ab=\sqrt[7]{10}

ולכן הפתרון הוא:

x=\sqrt[7]{5}+\sqrt[7]{2}

אם יש לך פתרון פשוט יותר אשמח לשמוע.
מדהים כמה שזה מפשט את הבעיה

Nare
31-12-2013, 16:21
יש לך כיוון איך לגשת לשאלה 6?

shaikid
31-12-2013, 16:39
כן.
AoPS Forum - Israel 2013 • Art of Problem Solving (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=52&t=568854&p=3337103#p3337103)

אתה מוזמן לקרוא את התגובה השנייה.

אני עוד עובד על המקרה שn אי זוגי

Nare
31-12-2013, 17:41
תודה רבה!

Nare
03-01-2014, 14:26
פורסמו כאן (http://davidson.weizmann.ac.il/content/%D7%94%D7%90%D7%95%D7%9C%D7%99%D7%9E%D7%A4%D7%99%D 7%90%D7%93%D7%94-%D7%94%D7%90%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%AA-%D7%91%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94-%D7%A2%D7%9C-%D7%A9%D7%9D-%D7%A4%D7%A8%D7%95%D7%A4-%D7%99%D7%95%D7%A1%D7%A3-%D7%92%D7%99%D7%9C%D7%99%D7%A1) פתרונות למי שרוצה.