PDA

צפה בגרסה המלאה : הרציונל מאחורי מעגל היחידה



lior311
30-01-2014, 23:54
שלום לכולם!

אני מלמד מתמטיקה ויש לי בעיה בטריגו- אני לא מבין (ולכן גם מתקשה להסביר) את מעגל היחידה. אחדד- השימוש בו ברור לי, גם מטרת השימוש בו ברורה לי (להרחיב את השימוש בפונקציות טריגונומטריות עבור זוויות מעבר ל-90), אבל אני מתקשה להבין את הרציונל שמאפשר להשתמש בו. לדוגמה: מדוע הסינוס של זווית 150 שווה לסינוס של 30? ברור לי ששני הסינוסים שווים כיוון שיש לשתי הנקודות הללו אותו שיעור y, אבל מדוע מותר לנו להיעזר בסינוס של הזווית המשלימה ל-180 לשם כך? אדגיש- ברור לי שלשתי הנקודות אותו שיעור y, שנוצר ע"י חפיפת משולשים וכו', ולכן הסינוסים שווים. אני שואל לגבי הנחת המוצא שמאפשרת את החישובים הללו.

תודה לעוזרים!

ליאור

אריאל
31-01-2014, 13:04
הי ליאור,



מדוע מותר לנו להיעזר בסינוס של הזווית המשלימה ל-180 לשם כך?


השאלה הזאת לא מובנית, מותר לך להעזר במה שאתה רוצה כדי להוכיח את הטענה שלך .



ברור לי שלשתי הנקודות אותו שיעור y, שנוצר ע"י חפיפת משולשים וכו', ולכן הסינוסים שווים.


אם נרצה להוכיח את הזהות : sin \alpha = sin ( 180 - alpha ) בלי להעזר בכך שהסינוס מייצג את שיעור ה Y ( כי מי אמר שהמשולש הוא ישר זווית ) ניתן לעשות את זה עם קצת טריגו במעגל היחידה, להלן :

29642

אם זה עדיין לא עונה לך על השאלה - נסה לחדד אותה טוב יותר .

lior311
01-02-2014, 09:09
הי אריאל!

אולי לא הבנת למה התכוונתי, אבל ההסבר שנתת פגעת בול! ענית בדיוק ובבירור על מה שרציתי- כוונתי באמת הייתה כיצד ניתן להוכיח את הזהות מבלי להסתמך על כך שסינוס שווה לשיעור ה-y.

ההסבר שלך מוביל אותי לשאלה הבאה: כיצד ניתן לנמק את השימוש בשיעור ה-y עבור סינוס זווית שנמצאת ברביע השלישי (נניח 210)?

תודה!

ליאור

cthulhu
01-02-2014, 11:45
הי אריאל!

אולי לא הבנת למה התכוונתי, אבל ההסבר שנתת פגעת בול! ענית בדיוק ובבירור על מה שרציתי- כוונתי באמת הייתה כיצד ניתן להוכיח את הזהות מבלי להסתמך על כך שסינוס שווה לשיעור ה-y.

ההסבר שלך מוביל אותי לשאלה הבאה: כיצד ניתן לנמק את השימוש בשיעור ה-y עבור סינוס זווית שנמצאת ברביע השלישי (נניח 210)?

תודה!

ליאור

לדעתי האישית התלמידים יבינו יותר טוב את הזהויות הבסיסיות באמצעות סימטריה (שזה כלי מתמטי לכל דבר). הפונקציות הללו מחזוריות ואתה יכול לבצע תמורות במעגל היחידה (לסובב/להפוך אותו) ולראות שבמצב החדש המערכת לא משתנה.

אריאל
01-02-2014, 18:18
הי אריאל!

אולי לא הבנת למה התכוונתי, אבל ההסבר שנתת פגעת בול! ענית בדיוק ובבירור על מה שרציתי- כוונתי באמת הייתה כיצד ניתן להוכיח את הזהות מבלי להסתמך על כך שסינוס שווה לשיעור ה-y.

ההסבר שלך מוביל אותי לשאלה הבאה: כיצד ניתן לנמק את השימוש בשיעור ה-y עבור סינוס זווית שנמצאת ברביע השלישי (נניח 210)?

תודה!

ליאור


אפשר לעשות את זה בכמה דרכים, אבל אחרי שהוכחנו את הזהות הנ"ל אפשר לרשום פשוט :

sin 210 = sin (180-210)=sin(-30)=-sin30=-0.5

כאן אני משתמש בתכונות האסימטריה של סינוס (סינוס פונקציה אי זוגית) כפי שצוין מעלי .

(בדרך אחרת אפשר להשתמש בזהויות של סכום עבור sin(180+30) אבל אני מאמין שזה כבר קצת יותר מתקדם אם אתה כרגע מלמד אותם מעגל היחידה)

lior311
05-02-2014, 16:24
הי אריאל

האם יש דרך נוספת (יותר גיאומטרית- כמו שהראית בשרטוט) להוכיח זאת ללא שימוש בזהות sin \alpha =sin (180-\alpha ) ?

הוכחנו את הזהות הזו עבור זווית שקטנה מ-180 וזה נראה מבלבל להשתמש בזהות זו עבור חישוב סינוס זווית שגדולה מ-180.

ד"א המגיב לעיל דיבר על הסימטריה של מעגל היחידה, שבה אני מעדיף לא להשתמש.

תודה
ליאור

אריאל
05-02-2014, 17:39
הי אריאל

האם יש דרך נוספת (יותר גיאומטרית- כמו שהראית בשרטוט) להוכיח זאת ללא שימוש בזהות sin \alpha =sin (180-\alpha ) ?

הוכחנו את הזהות הזו עבור זווית שקטנה מ-180 וזה נראה מבלבל להשתמש בזהות זו עבור חישוב סינוס זווית שגדולה מ-180.

ד"א המגיב לעיל דיבר על הסימטריה של מעגל היחידה, שבה אני מעדיף לא להשתמש.

תודה
ליאור


כדי להוכיח עבור זווית שהיא בין 90 ל 180 ההוכחה היא בדיוק אותו דבר רק שכעת המשולש נבנה בצד השני (כלומר נקודה B תיהיה בדיוק מול ברביע השני הפעם) ואז מוכיחים שוב ש sin(180 - \alpha ) = sin \alpha

עבור זוויות הגדולות מ180 אתה יכול להשתמש גם במחזוריות של פונקציית הסינוס :

sin(210)=sin(210-360)=sin(-150)=-sin(150)=-sin(30)=-0.5

שהמעבר אחד לפני האחרון נובע מההוכחה עבור זוויות בין 90 ל 180 שהיא זהה כאמור לחלוטין לזווית בין 0 ל 90 (מין הסתם, בגלל הסימטריה)