PDA

צפה בגרסה המלאה : הנדסה אנליטית



as1234001
07-03-2014, 17:19
מהספר של אתי עוזרי ויצחק שלו מעודכן לפי המאגר החדש שאלונים801+802 עמוד 197 תרגיל 98
98.נתון המעוין ABCD(ראו סרטוט) שיעורי הנקודה A הם (0,8) ושיעורי הנקודה B הם (6,0)
א.חשבו את האורך של AB.
ב.חשבו את היקף המעוין.
ג.מצאו את שיעורי הנקודה C.
ד.חשבו את שטח המעוין.
ה.מצאו את שעורי הנקודה D.
ו.חשבו את אורך האלכסון BD.
ז.מצאו את משוואת הישר העובר דרך A ו-C.
ח.מהי נקודת החיתוך של האלכסונים?

dafnaw
08-03-2014, 18:29
את אורך הצלע AB מוצאים לפי הנוסחה לחישוב המרחק בין 2 נקודות:

AB = \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2} = \sqrt{(0-6)^2+(8-0)^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10

ולכן AB = 10 ס"מ.

במעוין כל הצלעות שוות באורכן, ולכן:

P_{ABCD} = AB+BC+CD+AD = 4AB = 4 \cdot 10 = 40

ולכן היקף המעוין הוא 40 ס"מ.

לפי השרטוט, הנקודה C נמצאת על ציר ה- x שהוא הישר y = 0, ולכן ערך ה- y של C חייב כמובן להיות 0. נסמן: C(c,0).
כאמור, במעוין כל הצלעות שוות באורכן, ולכן BC = AB = 10 ס"מ. אז לפי הנוסחה למציאת המרחק בין 2 נקודות:

BC = 10

\sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2} = 10

\sqrt{(6-c)^2+(0-0)^2} = 10

\sqrt{(6-c)^2} = 10

|6-c| = 10

6-c = \pm 10

c_1 = -4, c_2 = 16

אבל C נמצאת בכיוון החיובי של ציר ה- x, ולכן C(16,0).

הנקודות B ו- C נמצאות שתיהן על ציר ה- x הגובה לצלע BC הוא המרחק בין A לבין ציר ה- x, כלומר ערך ה- y של A, כלומר h = 8.
לפי נוסחת שטח מעוין (הנוסחה של מקבילית):

S_{ABCD} = BC \cdot h = 10 \cdot 8 = 80

הנקודה D נמצאת על AD, וכמובן שמתקיים AD || BC, כלומר AD הוא על ישר המקביל לציר ה- x, ולכן כל נקודה עליו מקיימת כי יש לה אותו ערך y, ולכן AD נמצא על הישר y = 8 ולכן (D(d,8. אבל המרחק בין A ל- D הוא כמובן 10 (כי אורך צלע המעוין הוא 10 ס"מ). אבל A על ציר ה- y המקיים x = 0, ולכן עבור D חייב להתקיים כי x = 10 ולכן (D(10,8.

את אורך האלכסון BD מוצאים לפי הנוסחה לחישוב המרחק בין 2 נקודות:

BD = \sqrt{(x_B-x_D)^2+(y_B-y_D)^2} = \sqrt{(10-6)^2+(8-0)^2} = \sqrt{16+64} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5}

כדי לבנות משוואת ישר, יש למצוא את שיפוע הישר, כלומר שיפוע בין 2 נקודות נתונות, ואז יחד עם אחת הנקודות ניתן לבנות את המשוואה.

m_{AC} = \frac{y_A-y_C}{x_A-x_C} = \frac{8-0}{0-16} = -\frac{8}{16} = -\frac{1}{2}

ולכן:

y-y_A = m_{AC}(x-x_A)

y-8 = -\frac{1}{2} (x-0)

y-8 = -\frac{1}{2} x

y = -\frac{1}{2} x+8

וזוהי משוואת AC.

במעוין האלכסונים חוציפ זה את זה, ולכן נקודת מפגש האלכסונים היא נקודת אמצע BD ואמצע AC, אז:

x_O = \frac{x_A+x_C}{2} = \frac{0+16}{2} = \frac{16}{2} = 8

y_O = \frac{y_A+y_C}{2} = \frac{8+0}{2} = \frac{8}{2} = 4

ולכן נקודת מפגש האלכסונים היא (8,4)