PDA

צפה בגרסה המלאה : אתגרים באינפי



אריאל
06-07-2009, 13:47
הוכיחו כי מתקיים :

lnb-lna<\frac{e^b-e^a}{e}

לכל 1<a<b

dan123a67
07-07-2009, 18:55
היי,

נחמד :)

dan123a67
07-07-2009, 19:04
אריאל נסה את זה .. :)

אריאל
07-07-2009, 19:54
יפה דן,
ואני תמיד אוהב את האתגרים שלך..

הנה הצעה :

נגדיר פונקציות :
אני מסמן m במקום אלפא..

g(x)=f(x) \cdot x^m \\ h(x)=x^m

שתיהן רציפות בקטע הסגור a,b וגזירות בפתוח בתור מכפלה של פונקציות רציפות וגזירות בקטעים המתאימים.

מתקיים ע"פ קושי (התנאים מתקיימים שכן גם h'(x) \neq 0 לכל X בקטע ו a^m \neq b^m כמובן)

\frac{g'(c)}{h'(c)}=\frac{f(a) \cdot a^m -f(b) \cdot b^m}{a^m-b^m}

ומתקיים : g'(c)=f'(c)\cdot c^m+m\cdot c^{m-1} \cdot f(c)

h'(c)=m\cdot c^{m-1}

ומכאן ש :

\frac{g'(c)}{h'(c)}=\frac{f'(c) \cdot c }{m}+f(c)

וסה"כ נקבל ש :

\frac{f'(c) \cdot c }{m}+f(c)=\frac{f(a) \cdot a^m -f(b) \cdot b^m}{a^m-b^m}

לא בדיוק כמו שכתבת, אולי יש לך קצת טעויות במיקום הביטויים בדטרמיננטה.. אהבתי ..

dan123a67
08-07-2009, 15:57
היי,

תודה..

האמת שיש טעות קטנה בגזירה של g(x) zz - צריך להיות שם + ולא מינוס ואז זה משנה את הדברים..
הפתרון קרוב אך עדיין לא מקיים את מה שצריך.. (אתה ממש קרוב :))
כל היופי בתרגיל הוא בחירה נכונה של הפונקציות (אותם סימנת ב- g(x)zz ו- h(x) zz )
נסה שוב אתה מאוד קרוב:69:
יום טוב

dan123a67
10-07-2009, 10:56
בוקר טוב ,

מצורף פתרון למה שאני התכוונתי, אריאל היה ממש קרוב ( למעשה הוא פתר תרגיל אחר שגם אותו אפשר לשאול) כנראה לא היה לו זמן לנסות לפתור שוב את הבעיה...

יום טוב :)

אריאל
10-07-2009, 11:10
האמית שבדיוק שלשום סיימתי עם אינפי 1 כך שעכשיו התפנה לי זמן ונשמח לעוד אתגרים ! :)

audiTT
14-07-2009, 16:26
בבבקשה ...
2 לחימום .
:calc:

אריאל
15-07-2009, 23:32
השאלה הראשונה ממש לא ברורה, הפונ' גזירה? מתקיים לכל x,y השייכים לr ?
איקס קטן מוואי? שונה מוואי?

audiTT
16-07-2009, 23:34
x y משתנים ממשיים שונים זה מזה אתה יכול להניח ש f גזירה .

לגבי תרגיל 2 נסה להשתמש במשפט רול .

אריאל
17-07-2009, 02:28
טוב לגבי תרגיל 2 די פשוט, נגדיר פונקציה :

f(x)=\frac{a_0}{n+1} \cdot x^{n+1}+\frac{a_1}{n}\cdot x^n+........+a_n \cdot x

מתקיים : f(0)=f(1)=0

לפי הנתון ואלגברה פשוטה.

ולכן לפי הוכחת משפט רול קיימת נקודה בקטע הפתוח (0,1) שבה f'(c) = 0 והנגזרת של f זה בדיוק הפונקציה הנדרשת.

אריאל
17-07-2009, 18:34
ניסיון לתרגיל הראשון :

יהי e>0 ונבחר y שרירותי ו x=y+e/2 כמו כן מתקיים :

(x-y)^2=|(x-y)^2|=|x-y|\cdot |x-y|

כלומר מתקיים : |\frac{f(x)-f(y)}{x-y}|<=|x-y|

בקטע [y,y+e/2] הפונקציה גזירה ולכן ע"פ לגרנז' קיימת נקודה בקטע עבורה

f'(c) =\frac{f(x)-f(y)}{x-y}

ומתקיים אם כך : |f'(c)| <= |x-y| =\frac{e}{2}<e לכל e>0

ומכאן ש f'(c)=0 (בהנחה שהנגזרת רציפה ומוגדרת בR גם כן)

מכיוון שY היה שרירותי, והתכונות הנ"ל מתקיימות לכל e>0 אזי f'(x) =0 לכל X בR .

ומכאן שהפונקציה קבועה.

זה נראה לי קצת מחורבש, ולכן אמרתי ניסיון, אבל לא עולה לי משו יותר טוב בראש כרגע..

audiTT
02-08-2009, 20:35
יפה אריאל !
מצטער על התגובה המאוחרת תקופת מבחנים אתה יודע איך זה :crazy_pilot:.
לגבי תרגיל ראשון זה הרבה יותר פשוט :
0<=|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}|<=|x-y|
לפי כלל סנדוויץ מקבלים שהנגזרת היא 0 .
אבל הבנת את רעיון ההוכחה , שהנגזרת צריכה להיות 0 וזה מה שחשוב .

אולי כדאי שתהפוך את השרשור הזה לשרשור רשמי של כל מני בעיות מעניינות זה יכול להיות נחמד .

בהצלחה !

audiTT
05-08-2009, 18:03
שאלה נחמדה מאוד , ניתנת לפתרון עם כלים מתמטיים ברמה תיכונית .

בהצלחה ....:wink:

ohad
17-06-2010, 14:59
:biggrin:נחמד... הנה הצעתי לפתרון:

http://www.upit.ws/uploads/d73daeb9363f5.pdf

אפילו שלא הבנתי כיצד ניתן לפתור זאת ע"י כלים של תיכון... (אולי יש פתרון פשוט יותר?)

____
:takdir:

אריאל
17-06-2010, 15:07
הי, פתרון יפה!

שים לב שאתה באשכול "אתגרים באינפי " ..

ohad
22-06-2010, 11:58
הנה שאלה נחמדה:

נגדיר את הפונקציה הבאה:

f(x) = \int_{-x}^{x} \frac{\sin(t)}{1+\ln(\sin(t^2))}dt

מצאו את הגבול:

\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = ?

____
:takdir:

yoavzilberman
22-06-2010, 13:11
קל לראות שהפונקציה אי זוגית ולכן האינטגרל הנ"ל הוא אפס.

ohad
25-06-2010, 09:26
נכון מאוד!!!

ולכן, בוודאי שהגבול הינו 0:

\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0

___
:takdir:

Hurricane
25-06-2010, 11:17
הוכיחו כי מתקיים :

lnb-lna<\frac{e^b-e^a}{e}

לכל 1<a<b
פתרון אלגברי:
lnb-lna<\frac{e^b-e^a}{e} \\ eln(\frac{b}{a})<e^b-e^a \\ e^a-e^b>-eln(\frac{b}{a})

כעת מתקיים: 1<a<b
נסתכל על האגף השמאלי.
אם b>a אזי הביטוי e^b-e^b>e^a-e^b ולכן e^b-e^b>-eln(\frac{b}{a})
או:
eln(\frac{b}{a})>0 \\ ln(\frac{b}{a})>0 \\ \frac{b}{a}>1 \\ b>a

והוכחנו.

אריאל
25-06-2010, 11:22
ברק דבר ראשון אתה לא יכול להתחיל עם מה שאתה צריך להוכיח כנתון

דבר שני במהלך הפתרון אתה משתמש בזה ש b>a בתור נתון גם כן, ואחרי זה בסוף אתה מוכיח שזה מתקיים..?

Hurricane
25-06-2010, 11:23
ברק דבר ראשון אתה לא יכול להתחיל עם מה שאתה צריך להוכיח כנתון

דבר שני במהלך הפתרון אתה משתמש בזה ש b>a בתור נתון גם כן, ואחרי זה בסוף אתה מוכיח שזה מתקיים..?
אני מניח שזה נכון. בדיוק כמו שעושים באינדוקציה.
הנחתי שהטענה נכונה, ועם הנתון ש- b>a הוכחתי את הטענה שלך.

זה כן נכון.

אריאל
25-06-2010, 11:28
לא מוכיחים ככה, שוב, אתה לא יכול להתחיל עם הטענה כנתון ואחרי זה לפשט, להשתמש בנתון כהנחה, ואז להוכיח שהנתון מסתדר עם ההנחות שלך.

ולא זה לא אינדוקציה..

Hurricane
25-06-2010, 12:59
בטח שזה נכון.
לדוגמא, יש להוכיח ש- a+b=0 כאשר מתקיים b=-a. בטח שאני יכול להניח שהטענה a+b=0 נכונה ולהציב את b=-a במשוואה ולהראות שהיא נכונה.

אריאל
25-06-2010, 13:13
לא נכון, גישה שגויה.

מה שאתה צריך לעשות זה לומר b=-a נתון, לכן b+a=0 משל. או להשתמש ברעיונות חיצונים+הנתון(במקרה שלנו משפט קושי)

אתה לא יכול להוכיח שמה שאתה צריך להוכיח הוא נכון ומכאן להמשיך ולאמת את הטענה הזאת. אסור וזה גם הוכחה לא נכונה .

Hurricane
25-06-2010, 13:55
בטח שזה נכון. O_O
אני לא מבין מה לא נכון במה שאמרתי.
זה בדיוק מה שאתה עושה באינדוקציה - אתה מניח שהטענה נכונה ומוכיח עבור n=k+1.
כאן הנחתי שהטענה נכונה והראתי שהיא נכונה לכל מספר כאשר מתקיים b>a>1.

אם יש להוכיח ש- a+b=0 עבור b=-a, אני יכול להניח שהטענה נכונה, להציב b=-a ולהראות שזה מתקיים עבור כל מספר (נקבל a-a=0 ומכאן 0=0), ומכאן הטענה נכונה.
זה כן נכון לעשות את זה. S:

לפי מה שאתה אומר, כל נושא האינדוקציה שגוי: "אתה לא יכול להתחיל עם מה שאתה צריך להוכיח כנתון".

אריאל
25-06-2010, 14:37
כנראה שלא הבנת מה זה אינדוקציה,

העניין באינדוקציה שאתה אכן מניח שהטענה נכונה אבל רק בגלל שאתה מוכיח שהיא מתקיימת שוב ושוב עבור כל k היא נכונה.

בדרך אלגברית הנל זה שגוי..

לדוגמא, תוכיח ש 5x+3y=0 לכל X , Y כאשר נתון x<y .

אז אתה אומר נניח שאכן 5x+3y=0 נציב X<Y כלשהו, אז אם X<Y אז נציב x=-\frac{3y}{5} ואז השוויון מתקיים לכל X ו Y.

מסקנה : הוכחנו את הטענה. זה שגוי. (כי מי אמר שזו באמת האופציה היחידה? לא הוכחת את זה.. אז מה אם אנחנו יודעים בדיעבד שזה באמת כך כי הדוגמא פשוטה..? )

dan123a67
25-06-2010, 15:35
בטח שזה לא נכון ! :nono:
נניח שבשלושת השורות הראשונות שיחקת עם מה שצריך להוכיח (בתחום הנתון) כדי להביא את זה לצורה שהיא נוחה להוכחה. מהנק' הזו כל מה שכתבת לא אומר שום דבר. אתה בעצם אומר
ln(b/a)>0 שזה ברור כי זה מוכתב מהתחום b>a (וכל האלגברה שביצעת שם מיותרת)והמסקנה שלך זה ש- b>a ואז מגיע "והוכחנו". מה הוכחת ?
הראית בערך שאם האי שוויון מתקיים - מ ה ש א ת ה צ ר י ך ל ה ו כ י ח אז b>a מה זה מוכיח ? כלום!

Hurricane
25-06-2010, 17:07
כנראה שלא הבנת מה זה אינדוקציה,

העניין באינדוקציה שאתה אכן מניח שהטענה נכונה אבל רק בגלל שאתה מוכיח שהיא מתקיימת שוב ושוב עבור כל k היא נכונה.

בדרך אלגברית הנל זה שגוי..

לדוגמא, תוכיח ש 5x+3y=0 לכל X , Y כאשר נתון x<y .

אז אתה אומר נניח שאכן 5x+3y=0 נציב X<Y כלשהו, אז אם X<Y אז נציב x=-\frac{3y}{5} ואז השוויון מתקיים לכל X ו Y.

מסקנה : הוכחנו את הטענה. זה שגוי. (כי מי אמר שזו באמת האופציה היחידה? לא הוכחת את זה.. אז מה אם אנחנו יודעים בדיעבד שזה באמת כך כי הדוגמא פשוטה..? )
אני לא אמרתי את זה.
הטענה שאמרת לא נכונה.
אתה הצבת סתם x.
מצד שני, אם היינו עוסקים באי שוויון: 5x+3y>0 אזי היית יכול להחליף את x באי השוויון ב- y מכיוון ש- y>x, ולקבל: 5y+3y>0 או y>0, שזה באמת נכון.
בדוגמא הזאת הצבתי x ככה שישמור על אי השוויון תקין.

אני לא יודע על מה אתם מתווכחים, הוכחתי ככה המון דברים שבסופו של דבר התגלו כנכונים. S:

זה בדיוק גם מה שעושים באינדוקציה עם אי שוויונים. :\

Hurricane
25-06-2010, 17:22
אני אתן דוגמא פשוטה:
הוכח שמתקיים: a>b עבור a>b. כאן כבר הוכחנו את הטענה, כי מתקיים (לפי הביטוי השמאלי): a>b ולכן גם הביטוי הימני נכון.
דוגמא מסובכת יותר, הוכח ש- lna-lnb>0 עבור כל a>b>1.
נעבוד על הביטוי הראשון:
ln(\frac{a}{b})>0 \\ \frac{a}{b}>1 \\ a>b.
יש להוכיח שמתקיים: a>b עם הנתון: a>b, ואת זה כבר הוכחנו בדוגמא הקודמת.

Hurricane
25-06-2010, 17:38
דוגמא נוספת:
הוכח שמתקיים:
\frac{a}{b}-\frac{b}{a}>0 \\ a^2-b^2>0 \\ a^2>b^2
עבור a>b>0.
ברגע זה הוכחנו את הטענה, כי אם a>b אזי גם a^2>b^2, וזה מה שהיה צריך להוכיח.

אריאל
25-06-2010, 17:43
אני אתן דוגמא פשוטה:
הוכח שמתקיים: a>b עבור a>b. כאן כבר הוכחנו את הטענה, כי מתקיים (לפי הביטוי השמאלי): a>b ולכן גם הביטוי הימני נכון.
דוגמא מסובכת יותר, הוכח ש- lna-lnb>0 עבור כל a>b>1.
נעבוד על הביטוי הראשון:
ln(\frac{a}{b})>0 \\ \frac{a}{b}>1 \\ a>b.
יש להוכיח שמתקיים: a>b עם הנתון: a>b, ואת זה כבר הוכחנו בדוגמא הקודמת.


בדוגמא הראשונה אין לי מושג מה רצית להגיד בה.

בדוגמא השניה רצית להוכיח שוויון אחד והוכחת שוויון אחר בעזרת השוויון שאותו רצית להוכיח אז גם לא ברור כלכך מה רצית.

בכל אופן, מה שאתה עשית זה בעצם מציב את הנתון באי שוויון ומראה שבאמת האי שוויון מקיים את הנתון הזה, ואיך שהוא הגעת למסקנה שמפה הטענה הוכחה , שגוי.

ובכלל אסור לך להתחיל להוכיח (ואין לי מושג איך אתה חושב שכן) עם הטענה עצמה, אתה צריך להגיע אליה לא להתחיל איתה.

כמו שדן אמר הדבר היחידי שמותר לך לעשות איתה זה לשחק איתה כדי שיהיה לך יותר קל להגיע אליה .

אי שוויונים באינדוקציה, שוב זו גישה שונה של הוכחה, אתה מוכיח את העניין לכל k אתה מראה שזה מתקיים בעקביות, פה אתה מוכיח בדרך אריתמטית .

Hurricane
25-06-2010, 17:47
בטח שמותר. O_O
אריאל, באינדוקציה מניחים שהטענה נכונה עבור n=k ומוכיחים עבור n=k+1. אתה מניח שהטענה נכונה.
זה מה שאני עשיתי. הנחתי שהטענה נכונה, ועם הנתון שלי, המשכתי לפתור. הראתי בעצם שאם הטענה נכונה, מתקיים: b>a. אבל נתון ש- b>a, ולכן הטענה נכונה.

תביא לי דוגמא אחרת, ואראה לך איך אני פותר את זה באותה הדרך.
אם אתה רוצה, תביא גם דוגמא שבה צריך להוכיח שהביטוי לא מתקיים.

אריאל
25-06-2010, 17:47
דוגמא נוספת:
הוכח שמתקיים:
\frac{a}{b}-\frac{b}{a}>0 \\ a^2-b^2>0 \\ a^2>b^2
עבור a>b>0.
ברגע זה הוכחנו את הטענה, כי אם a>b אזי גם a^2>b^2, וזה מה שהיה צריך להוכיח.


תסביר מה אתה רוצה להוכיח ומה הדרך שלך להוכיח.

לא מובן..

הוכח שמתקיים : 10 שורות, עבור : שורה , והוכחנו?

תביא דוגמא : הוכח שמתקיים : אי שוויון מסוים

נתון : ......

הוכחה :

......

dan123a67
25-06-2010, 17:48
היי,

אבל ברק הסברתי לך בדיוק למה את טועה .. קראת את מה שכתבתי?

יום טוב :)

Hurricane
25-06-2010, 17:49
אוקיי, תוכיח שמתקיים:
\frac{a}{b}-\frac{b}{a}>0 עבור a>b>0.
אני עבדתי על התרגיל בטעות. :P

דן, תקרא את התגובה האחרונה שלי. היא מסבירה הכי טוב למה התכוונתי.

dan123a67
25-06-2010, 17:51
היי,
אני שואל שוב קראת והבנת את מה שכתבתי?

Hurricane
25-06-2010, 17:53
אם לא ברור, אסביר שוב איך עבדתי:
1. קודם כל עבדתי על אי השוויון והגעתי לכך שמתקיים:
e^a-e^b>-eln(\frac{b}{a})
2. עכשיו, אני מניח שהטענה נכונה, ואני אוכיח שהיא נכונה (כמו שמניחים ששורש 2 זה מספר רציונלי, ומוכיחים שזה לא, כך אני עושה, רק שאני מוכיח שהטענה כן נכונה, כמו שעושים באינדוקציה!).
אז, נניח שהטענה נכונה.
אם הטענה נכונה, אזי מתקיים:
http://www.emath.co.il/forums/../cgi-bin/mimetex.cgi?e%5Eb-e%5Eb%3E-eln%28%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%29
ואם נמשיך לעבוד, נגיע לכך:
אם הטענה נכונה, מתקיים: b>a.
3. הראנו שאם הטענה נכונה, מתקיים: b>a, ועל פי הנתונים באמת מתקיים b>a.
כלומר, אמרנו שאם הטענה נכונה, מתקיים: b>a וזה באמת מתקיים.
=> הטענה נכונה.

עכשיו, באיזה שלב חטאתי? :)

אריאל
25-06-2010, 17:59
בטח שמותר. O_o
אריאל, באינדוקציה מניחים שהטענה נכונה עבור n=k ומוכיחים עבור n=k+1. אתה מניח שהטענה נכונה.
זה מה שאני עשיתי. הנחתי שהטענה נכונה, ועם הנתון שלי, המשכתי לפתור. הראתי בעצם שאם הטענה נכונה, מתקיים: b>a. אבל נתון ש- b>a, ולכן הטענה נכונה.

תביא לי דוגמא אחרת, ואראה לך איך אני פותר את זה באותה הדרך.
אם אתה רוצה, תביא גם דוגמא שבה צריך להוכיח שהביטוי לא מתקיים.


שוב, אתה לא פתרת שום דבר.

ואתה לא הראית בעקביות שלכל x מתקיימת הטענה .. (אינדוקציה)

נחזור להוכחה שלך,

לקחת את הטענה אמרת נניח שהיא נכונה והגעת לאיזה אי שוויון ואז השתמשת בנתון ואחרי זה הראית שהנתון מתקיים .. זה באמת נראה לך הגיוני?

מה שמבחינתי עשית (בסירבול ואפשר לעשות את זה פשוט הרבה יותר) פשוט הראית שבאמת הנתון מתאים לאי שוויון.. שזה נעשה שנרצה לבדוק אם השאלה נכונה או לא .

לא הוכחת שום דבר אתה צריך להגיע לאי שוויון הזה כדי להוכיח אותו.

אריאל
25-06-2010, 18:01
אם לא ברור, אסביר שוב איך עבדתי:
1. קודם כל עבדתי על אי השוויון והגעתי לכך שמתקיים:
e^a-e^b>-eln(\frac{b}{a})
2. עכשיו, אני מניח שהטענה נכונה, ואני אוכיח שהיא נכונה (כמו שמניחים ששורש 2 זה מספר רציונלי, ומוכיחים שזה לא, כך אני עושה, רק שאני מוכיח שהטענה כן נכונה, כמו שעושים באינדוקציה!).
אז, נניח שהטענה נכונה.
אם הטענה נכונה, אזי מתקיים:
http://www.emath.co.il/forums/../cgi-bin/mimetex.cgi?e%5eb-e%5eb%3e-eln%28%5cfrac%7bb%7d%7ba%7d%29
ואם נמשיך לעבוד, נגיע לכך:
אם הטענה נכונה, מתקיים: b>a.
3. הראנו שאם הטענה נכונה, מתקיים: b>a, ועל פי הנתונים באמת מתקיים b>a.
כלומר, אמרנו שאם הטענה נכונה, מתקיים: b>a וזה באמת מתקיים.
=> הטענה נכונה.

עכשיו, באיזה שלב חטאתי? :)
אתה אומר הרבה דברים שגויים

1. לא מתחילים להוכיח בהנחה שהטענה מתקיימת אם אתה לא רוצה להוכיח על דרך השלילה.

2. כשמדברים על שורש שתיים אז מניחים שהטענה השגויה נכונה ומקבלים סתירה ואז הטענה ההפוכה נכונה כי הטענה היחידית האפשרית שנותרה, לזה קוראים דרך השלילה וגם לזה אין קשר לפה..

Hurricane
25-06-2010, 18:04
אולי אם אני אוכיח באותה הדרך שמשהו לא נכון, תבינו איך עבדתי.
הוכח שלא מתקיים:
lnb-lna>\frac{e^b-e^a}{e}
עבור: 1<a<b.

נעבוד על המשוואה ונגיע לכך שמתקיים:
e^a-e^b<-eln\frac{b}{a}

עכשיו נניח שהטענה נכונה.
לפי זה, נקבל:
b<a

אבל לפי הנתונים מתקיים: a<b ולכן הטענה לא נכונה.

אריאל, שמעת על אינדוקציה? S:

אני אחזור מאוחר יותר להגיב.

אריאל
25-06-2010, 18:07
לגבי השלבים שחטאת (צדיק שכמוך) :

1. התחלת להוכיח לא על דרך השלילה עם מה שאתה צריך להוכיח שמתקיים

2. משום מה אתה טוען שמפני שהגעת מההוכחה לנתון אז האי שוויון נכון וזו הוכחה תקפה

הנה למשל :

הוכח כי x^2-1<0 לכל x>0

ניקח את הטענה : x^2-1<0

x^2<1 \\ -1<x<1

כעת נעזר בנתון x>0 נקבל : 0<x<1 כלומר X>0 משל.

זה מה שמבחינתי עשית שעכשיו שמדובר בטענה שגויה מלכתחילה זה נראה אבסורדי

אריאל
25-06-2010, 18:11
אולי אם אני אוכיח באותה הדרך שמשהו לא נכון, תבינו איך עבדתי.
הוכח שלא מתקיים:
lnb-lna>\frac{e^b-e^a}{e}
עבור: 1<a<b.

נעבוד על המשוואה ונגיע לכך שמתקיים:
e^a-e^b<-eln\frac{b}{a}

עכשיו נניח שהטענה נכונה.
לפי זה, נקבל:
b<a

אבל לפי הנתונים מתקיים: a<b ולכן הטענה לא נכונה.

אריאל, שמעת על אינדוקציה? S:

אני אחזור מאוחר יותר להגיב.

טוב או שאתה לא קורא את התגובות שלי או שלא יודע מה..

כתבתי לך פעמיים לפחות בנוגע לאינדוקציה ולמה היא לא קשורה לפה .

והדרך שבה פעלה פה ^ זה דרך השלילה וגם היא לא קשורה.

אתה צריך להבדיל בין דרכים של הוכחות :

1. להגיע אל האי שוויון דרך משפטים שהוכחו ונתונים (שזה מה שניסית לעשות אבל בדרך שגויה) וכאן אסור לך להתחיל עם האי שוויון, אתה צריך להגיע אליו !

2. להוכיח שהאי שוויון מתקיים תמיד בעקביות לכל x (אינדוקציה)

3. להוכיח בדרך השלילה - "נניח שהאי שוויון לא נכון" , להגיע לסתירה כלשהי ומכאן תוכל באמת להגיד שהאי שוויון נכון.

מקווה שכעת מובן

yoavzilberman
26-06-2010, 08:02
Huricane (ברק?),
הטענה שלך באמת שגויה.
בדרך השלילה באמת אתה צודק, אם מניחים שמשהוא קורה ומגיעים לסתירים דרך דברים שבטוח יקרו, סימן שהוא לא קרה.

אבל, אתה אומר אם משהוא קורה והוא גורר משהוא אחר , ואני יודע שהמשהוא האחר קורה אז גם הדבר ראשון בטח קורה - זה שגוי.
אז הנה טענה לוגית שסותרת מה שאתה אומר:
"אם יורד גשם יש עננים", כעת היום יום מעונן ולכן לבטח יורד גשם.
האם הטענה נראית לך נכונה? אם יש עננים זה לא אומר בהכרח שיש גשם , נכון? אבל אם יש גשם בטוח יש עננים.

אתה בעצם מראה גרירה חד כיוונית וטוען שזה מראה שקילות וכאן הבעיה הלוגית בעניין.
מבחינה מתמטית הנה דוגמא לאופן עבודה שגוי כזה:
נראה כי נגזרת של הפונקציה x^3 חיובית בכל תחום הגדרתה מבחינה אריתמטית:
ידוע כי אם נגזרת של פונקציה חיובית בתחום הגדרתה אז פונקציה עולה. כעת קל לראות מבחינה אריתמטית כי הפונקציה עולה (כללי חזקות) ולכן הנגזרת חיובית.
אם אני לא טועה זו הוכחה ברוח הסגנון שלך, מניחים את הנתון מגיעים ממנו למשהוא שיודעים שמתקיים ומסיקים שהנתון מתקיים, בדוגמא הנ"ל קל לראות שהטענה שהוכחה בדרך שלך לא נכונה, שהרי נגזרת של פונקציה הנ"ל באפס היא אפס.

(הסיבה לכך אם אתה מתעניין שהמשפט "אם נגזרת חיובית פונקציה עולה" הוא חד כיווני כלומר הוא לא אמ"מ שכן מהצד השני יכול להיות שפונקציה עולה ויש לה גם מספר סופי של אפסים של הנגזרת (כמובן במקומות האחרים הנגזרת צריכה להיות חיובית) כלומר בכל משפט שהוא לא דו כיווני ההוכחה שלך לא עובדת).

בברכה,
יואב זילברמן

gilas
26-06-2010, 09:49
Huricane (ברק?),
"אם יורד גשם יש עננים", כעת היום יום מעונן ולכן לבטח יורד גשם.


יואב, תודה. תמיד נהנית לקרוא את התגובות שלך.
מקווה שברק השתכנע, אבל לא נראה לי...
נראה לי שדרוש פה משהו יותר סמכותי-קטלני... משהו כמו גל אולי :wink:?

גל_כהן
26-06-2010, 11:57
גילה, אני לא צריך להגיד יותר ממה שיואב אמר - תגובותיו, כפי שכבר זכינו ללמוד
תמיד קולעות למטרה ואני די בטוח שברק ישתכנע.
אם צריך אפשר להביא לברק עוד ועוד דוגמאות שמשפט הוא נכון בכיוון אחד,
אך אינו נכון בכיוון השני.

gilas
26-06-2010, 12:12
גילה, אני לא צריך להגיד יותר ממה שיואב אמר - תגובותיו, כפי שכבר זכינו ללמוד
תמיד קולעות למטרה ואני די בטוח שברק ישתכנע.
אם צריך אפשר להביא לברק עוד ועוד דוגמאות שמשפט הוא נכון בכיוון אחד,
אך אינו נכון בכיוון השני.

לא התכוונתי שיואב לא אמר דברים שכאלו. נהפוך הוא... חושבת שציינתי עד כמה תשובותיו יפות בעיני.
אבל גם אריאל וגם דן אתמול אמרו דברי טעם וברק לא השתכנע. נראה לי שאם כל התותחים פה יאמרו אותו דבר, אולי זה יעזור...

Hurricane
26-06-2010, 12:16
Huricane (ברק?),
הטענה שלך באמת שגויה.
בדרך השלילה באמת אתה צודק, אם מניחים שמשהוא קורה ומגיעים לסתירים דרך דברים שבטוח יקרו, סימן שהוא לא קרה.

אבל, אתה אומר אם משהוא קורה והוא גורר משהוא אחר , ואני יודע שהמשהוא האחר קורה אז גם הדבר ראשון בטח קורה - זה שגוי.
אז הנה טענה לוגית שסותרת מה שאתה אומר:
"אם יורד גשם יש עננים", כעת היום יום מעונן ולכן לבטח יורד גשם.
האם הטענה נראית לך נכונה? אם יש עננים זה לא אומר בהכרח שיש גשם , נכון? אבל אם יש גשם בטוח יש עננים.

אתה בעצם מראה גרירה חד כיוונית וטוען שזה מראה שקילות וכאן הבעיה הלוגית בעניין.
מבחינה מתמטית הנה דוגמא לאופן עבודה שגוי כזה:
נראה כי נגזרת של הפונקציה x^3 חיובית בכל תחום הגדרתה מבחינה אריתמטית:
ידוע כי אם נגזרת של פונקציה חיובית בתחום הגדרתה אז פונקציה עולה. כעת קל לראות מבחינה אריתמטית כי הפונקציה עולה (כללי חזקות) ולכן הנגזרת חיובית.
אם אני לא טועה זו הוכחה ברוח הסגנון שלך, מניחים את הנתון מגיעים ממנו למשהוא שיודעים שמתקיים ומסיקים שהנתון מתקיים, בדוגמא הנ"ל קל לראות שהטענה שהוכחה בדרך שלך לא נכונה, שהרי נגזרת של פונקציה הנ"ל באפס היא אפס.

(הסיבה לכך אם אתה מתעניין שהמשפט "אם נגזרת חיובית פונקציה עולה" הוא חד כיווני כלומר הוא לא אמ"מ שכן מהצד השני יכול להיות שפונקציה עולה ויש לה גם מספר סופי של אפסים של הנגזרת (כמובן במקומות האחרים הנגזרת צריכה להיות חיובית) כלומר בכל משפט שהוא לא דו כיווני ההוכחה שלך לא עובדת).

בברכה,
יואב זילברמן
סוף סוף מישהו שמסביר איפה הטעות שלי ולא רק אומר שככה זה.
בכל אופן, ניסיתי להוכיח את זה אלגברית, והגעתי לכך שמתקיים:
lna-lnb<\frac{e^b-e^a}{e}
ניתן להמשיך מכאן?

גל_כהן
26-06-2010, 12:18
נראה לי שברק פשוט צריך להבין את הדברים הפורמליים שנקראים :
א. הוכחה (באופן כללי איך היא מבוססים ומה השלבים המותרים בה).
ב. הוכחה באינדוקציה (איך יוצאים מטענה ומסיקים ממנה משהו עקבי).
ג. הוכחה בסתירה (איך מניחים משהו כנכון ומגיעים לכך שההיפך חייב לקרות).

יואב, דן ואריאל אמרו דברי טעם, ברק פשוט החליט להתעלם ולהמשיך עם דרכו,
נראה שהוא לא מנסה לרדת לעומק דעתנו ולהבין את מהות ההוכחות ואת הדרך
בה בונים אותן.

Hurricane
26-06-2010, 12:23
דווקא אכן ניסיתי. פשוט הם רק ציינו שזה שגוי. אוקיי, הסבר? ם_ם

gilas
26-06-2010, 12:29
נראה שהוא לא מנסה לרדת לעומק דעתנו ולהבין את מהות ההוכחות ואת הדרך
בה בונים אותן.

הוא שאמרתי ...אבל יואב הצליח כנראה...
מה שמוכיח שלפעמים צריך מישהו מחוץ לוויכוח שינסה להסביר בדרך אחרת.

dan123a67
26-06-2010, 14:29
היי,

ברק, כנראה שבאמת לא הבנת את התשובה שכתבתי ולא טעיתי כששאלתי אותך אם קראת והבנת. משום מה אתה בוחר להתעלם, החלטת שאתה צודק וזהו . גם הניסוחים שלך -כמו "בטח שזה נכון" או "בטח שמותר".. מסתכמים בכלום. לכן חשוב לדייק .. העיקר שהבנת

יום טוב

dan123a67
26-06-2010, 14:34
קראתי את הודעתו של יואב.. אני באמת לא מבין מה השוני.

כתבתי לך בדיוק את מהלך הפתרון שלך והראתי לך בדיוק היכן אתה טועה - אתה בעצם לא עושה כלום בתשובה שלך.

Hurricane
26-06-2010, 18:42
משהו כאן עדיין לא מסתדר לי, אפילו שהבנתי את הדימוי של יואב.
בוא נתחיל מדוגמא פשוטה:
נניח שיש להוכיח שהביטוי a+b>0 עבור כל b>a>0.
עם הדרך שלי, אפשר להניח ש- a+b>0 עבור כל b>a>0.
עכשיו, אם b>a אזי b+b>a+b ולכן: 2b>0. נצמצם ב- b ונקבל: 2>0, שזה תנאי אמת.
ולכן a+b>0 עבור כל b>a>0.
זה נשמע כל כך הגיוני, שקשה לי להבין שזו לא הוכחה נכונה. :\
מצד שני, במקום לצמצם ב- b, ניתן לצמצם ב- 2 ולקבל b>0 שזה נתון, ולכן התנאי הוא תנאי אמת.
ניתן לצמצם ב- 2b ולהגיע ל- 1>0 שגם זה תנאי אמת.

קשה לי לקבל את זה. S:
תעשו לי קצת סדר בדברים.

אריאל
26-06-2010, 21:36
ברק, לדעתי אתה צריך לקרוא שוב את כל התגובות שרשמו לך פה רק מעצם העובדה שאתה ממשיך להגיד לי "זה כמו אינדוקציה" אחרי שהסברתי לך פעמיים למה אין קשר לאינדוקציה מראה שאתה קצת אטום פה בעניין.

בתגובה שלך תראה כמה זה אבסורדי מהתנאי b>a>0 אפשר כבר להסיק ש 2b>0 או 2>0

אז מפה לפי מה שאתה אומר כל אי שוויון שממנו תוכל להגיע ל 2>0 הוא נכון.

אם א' אז 2>0 לא אומר שאם 2>0 אז א' .

gilas
26-06-2010, 22:56
ברק, לא יודעת אם אוכל לתרום פה אחרי שגדולים ומנוסים ממני ניסו. אבל אנסה... (נראה לי שכדאי שתשב קודם. זה ארוך...)

אין לי משהו חדש ממש להוסיף אבל אני מנסה לתרגם את מה שכתבת להוכחה רגילה (סליחה, אבל אני צריכה סדר) ואולי כך נראה מה הבעיה. מקווה שלא שגיתי בתרגום:



נניח שיש להוכיח שהביטוי a+b>0 עבור כל b>a>0



נתון:
b>a>0
צל:
a+b>0


עם הדרך שלי, אפשר להניח ש- a+b>0 עבור כל b>a>0


בד"כ בהוכחה מקובלת :


יוצאים מצד שמאל של אי השיוויון ומגיעים, ע"י פיתוח חוקי ללא הנחות:wink:, לצד ימין.
אומרים "נוכיח בשלילה..." ואז מניחים שמה שצריך להוכיח לא מתקיים. אחכ ממשיכים לפתח ומגיע לאיזו סתירה ומכאן אומרים "OK,לא יתכן שההנחה שלנו נכונה ולכן מה שצריך להוכיח בהכרח מתקיים"
או, "בשיטת האינדוקציה..." נוכיח שיש איזהשהוא מספר בסיסי עבורו האי-שיוויון מתקיים. נניח שמה שצריך להוכיח נכון ל-n כלשהוא, ואז נוכיח שגם לעוקב לו השיוויון מתקיים, משמע, להוכיח ל-n+1.
מתוך כך שהראנו מאיפה מתחילים, הנחנו עבור n והוכחנו ל-n+1, ניתן להסיק שמתנאי ההתחלה והלאה (כשאנו מדברים על טבעיים) הא"ש יתקיים לכל מספר.
או הוכחות של "בסתירה...", ע"י שימוש בנתונים וסתירת מה שצריך להוכיח (אפילו ע"י מקרה פרטי) מוכיחים כי לא יתכן שמה שצריך להוכיח יהיה נכון כלל.

ההנחה שלך כרגע, לא מובילה אותנו לאף אחת מדרכים אלו. נמשיך.....



עכשיו, אם b>a אזי b+b>a+b ולכן: 2b>0. נצמצם ב- b ונקבל: 2>0, שזה תנאי אמת.
ולכן a+b>0 עבור כל b>a>0.


הוכחה:
נצא מהנתון b>a
נוסיף b: b+b>a+b
נניח שמה שעלינו להוכיח נכון: a+b>0
ומכאן: b+b>a+b>0
ע"ס כלל המעבר: b+b>0
ומכאן: 2b>0
נחלק ב-b (שונה מאפס): 2>0
מש"ל.
ומה הוכח פה? שאם נניח כי מה שצריך להוכיח נכון אז הגענו לפסוק אמת ?
זו ההוכחה? האם זה אומר שאם א"ש נכון, לא יתכן ש a+b<0 ? או שאם a+b<0 לא נקבל פסוק אמת?
ואחזור על קודמיי- אתה מניח שאם א גורר ב (הנחת המש"ל=>פסוק אמת) אז גם ב גורר א (פסוק אמת=>נכונות מש"ל). וזה לא תמיד מתקיים.
מקווה שהייתי ברורה. כי את עצמי בלבלתי...

אנסה לתת דוגמה לכך מעולם הגיאומטריה:
מכיר קטע אמצעים במשולש ?
יש משפט שאומר: "קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע שלישית ושווה למחציתה". נכון?
יש משפט הפוך האומר: "קטע המחבר שתי צלעות במשולש, מקביל לשלישית ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים במשולש". נכון? זה לא ברור מהמשפט הראשון, פה נדרשת הוכחה ואכן יש כזו.
כנ"ל לגבי המשפט ההפוך "קטע המחבר שתי צלעות במשולש, חוצה אחת מהן ומקביל לשלישית הוא קטע אמצעים במשולש".
יש משפט הפוך אחר: "קטע המחבר שתי צלעות במשולש, חוצה אחת מהן ושווה למחצית השלישית הוא קטע אמצעים במשולש". נכון שאת המשפט הזה אתה לא מכיר? כיון שהוא לא נכון... וניתן להראות דוגמה פרטית שסותרת אותו.

מקווה שעזרתי איכשהוא... ואם לא-ניסיתי....

Hurricane
27-06-2010, 00:04
גילה ואריאל, עזרתם, אבל עדיין לא ברור לי (מצטער על החפירות, אני רוצה שזה ישב לי טוב בראש), בוא נגיד שיש לנו נתון: b>a>0.
צריך להוכיח שלא מתקיים: b+a<0.
כאן, על מנת לפתור בדרך השלילה, מניחים שהטענה נכונה, ומראים שהיא לא נכונה (כמו שמוכיחים ששורש 2 זה לא מספר רציונלי, מסכימים?).
כלומר, נניח ש- b+a<0. מתקיים: b>a ולכן: b+a>a+a. כלומר, נוכל לרשום: a+a<0 או 2<0, וזה לא מתקיים.
מכאן שהטענה ש- b+a<0 עבור b>a>0 לא נכונה.

עכשיו, לא ברור לי למה אי אפשר להוכיח ככה שטענה נכונה.

מצטער על כל השאלות.

עריכה:
אני אעבור עוד הפעם על ההודעה של יואב. ם:

אריאל
27-06-2010, 00:09
גילה ואריאל, עזרתם, אבל עדיין לא ברור לי (מצטער על החפירות, אני רוצה שזה ישב לי טוב בראש), בוא נגיד שיש לנו נתון: B>a>0.
צריך להוכיח שלא מתקיים: B+a<0.
כאן, על מנת לפתור בדרך השלילה, מניחים שהטענה נכונה, ומראים שהיא לא נכונה (כמו שמוכיחים ששורש 2 זה לא מספר רציונלי, מסכימים?).
כלומר, נניח ש- b+a<0. מתקיים: B>a ולכן: B+a>a+a. כלומר, נוכל לרשום: A+a<0 או 2<0, וזה לא מתקיים.
מכאן שהטענה ש- b+a<0 עבור b>a>0 לא נכונה.

עכשיו, לא ברור לי למה אי אפשר להוכיח ככה שטענה נכונה.

מצטער על כל השאלות.

עריכה:
אני אעבור עוד הפעם על ההודעה של יואב. ם:

תעבור עוד פעם וגם פעמיים על כל ההודעות שרשמתי \ רשמו לך ואז מה שלא יהיה מובן תשאל

אריאל
27-06-2010, 00:13
גילה ואריאל, עזרתם, אבל עדיין לא ברור לי (מצטער על החפירות, אני רוצה שזה ישב לי טוב בראש), בוא נגיד שיש לנו נתון: B>a>0.
צריך להוכיח שלא מתקיים: B+a<0.
כאן, על מנת לפתור בדרך השלילה, מניחים שהטענה נכונה, ומראים שהיא לא נכונה (כמו שמוכיחים ששורש 2 זה לא מספר רציונלי, מסכימים?).
כלומר, נניח ש- b+a<0. מתקיים: B>a ולכן: B+a>a+a. כלומר, נוכל לרשום: A+a<0 או 2<0, וזה לא מתקיים.
מכאן שהטענה ש- b+a<0 עבור b>a>0 לא נכונה.

עכשיו, לא ברור לי למה אי אפשר להוכיח ככה שטענה נכונה.

מצטער על כל השאלות.

עריכה:
אני אעבור עוד הפעם על ההודעה של יואב. ם:


ואיך הוכחה בדרך השלילה קשורה להוכחה המקורית שלך ?

gilas
27-06-2010, 00:54
כאן, על מנת לפתור בדרך השלילה, מניחים שהטענה נכונה, ומראים שהיא לא נכונה (כמו שמוכיחים ששורש 2 זה לא מספר רציונלי, מסכימים?).
כלומר, נניח ש- b+a<0. מתקיים: b>a ולכן: b+a>a+a. כלומר, נוכל לרשום: a+a<0 או 2<0, וזה לא מתקיים.
מכאן שהטענה ש- b+a<0 עבור b>a>0 לא נכונה.

עכשיו, לא ברור לי למה אי אפשר להוכיח ככה שטענה נכונה.

מצטער על כל השאלות.

אז קודם כל - לעבור על מה שכתב יואב הוא רעיון טוב...נראה לי הוא כתב בצורה הכי ברורה את מה שיש להבין פה.


ולגבי ההוכחה שלך.
יפה. בחרת אסטרטגיה. בשלילה. אבל אל תשכח כי אם אתה רוצה להוכיח כי a+b>0 בשלילה עליך לסתור שני תנאים: האחד - לא יתכן כי a+b<0 (מה שניסית להוכיח) וגם שלא יתכן כי a+b=0. רק אז אתה נותר בהכרח רק עם a+b>0.


ולהוכחה עצמה:



כלומר, נניח ש- b+a<0.
מתקיים: b>a
ולכן: b+a>a+a.
כלומר, נוכל לרשום: a+a<0

לא כ"כ הבנתי איך הוכחת , או שאני מפספסת משהו או שאמרת:


נתון ש: b>a ולכן b+a>a+a
נתון ש: b+a<0 ובגלל ש: b>a ניתן לומר ש: a+a<0

הבנתי נכון? אם כן, אז מה הקשר בין אחת לשתיים? אם לא, אשמח אם תבהיר לי.

אגב, ונראה לי שאנחנו מדברים על דוגמה לא ממש טובה.
אנחנו מסתמכים על הידע הקודם שלנו על מספרים טבעיים ושלמים (כמו שעשיתי ב-2) בכדי להוכיח כללים יסודיים שבעזרתם למעשה נבנה הידע שלנו. אבל בגלל שזה כ"כ טבעי לנו אנו לא מבינים את זה. סיבכתי אותך עכשיו? נראה לי לפחות שאני צודקת. אבל אולי לא....
בכל מקרה נראה לי שהצעתו של אריאל תקדם אותך יותר (לי פשוט לוקח הרבה יותר זמן לחשוב על תגובות :wink:) - אולי כדאי לעזוב את הדוגמה הזו ולחזור לפתרון המקורי של האתגר? שם אולי יהיה יותר ברור איפה השגיאה.

Hurricane
27-06-2010, 01:13
גילה, אם -3<0 אז אם נחליף את -3 במספר קטן יותר, אי השוויון עדיין יתקיים.
או במקרה הספציפי שכתבתי, אם נחליף את b+a<0 במספר קטן יותר כמו a+a (שאת זה כבר הוכחתי) אזי אי השוויון ישמר. ומכאן נקבל ש- a<0 שזה סותר את הנתון.

טוב זזתי לישון. אני אקרא מחר את התגובות שוב.

gilas
27-06-2010, 01:33
גילה, אם -3<0 אז אם נחליף את -3 במספר קטן יותר, אי השוויון עדיין יתקיים.
או במקרה הספציפי שכתבתי, אם נחליף את b+a<0 במספר קטן יותר כמו a+a (שאת זה כבר הוכחתי) אזי אי השוויון ישמר. ומכאן נקבל ש- a<0 שזה סותר את הנתון.

טוב זזתי לישון. אני אקרא מחר את התגובות שוב.

וזה בדיוק מה שאמרתי - אתה בא להוכיח את אחד המשפטים (לא בטוחה שקוראים לזה משפט) הכי בסיסיים "סכום שני חיוביים יתן מספר חיובי" ותוך כדי הוכחה אתה משתמש במשפט "אם סכום של שני מספרים שלילים יתן מספר שלילי, אז אם נקח שני מספרים קטנים מהם גם נקבל שלילי". איך אתה יודע את זה? ע"ס ידע קודם והכרת המספרים? אם אתה יודע את זה - איך אתה לא יודע שסכום חיוביים יתן חיובי?
זה כמו שאנסה להוכיח שסכום זוויות במשולש הוא 180 ע"י חלוקת מרובע לשני משולשים.

ואגב, אם כבר:
אם b+a>a+a
וגם a+a<0
מה זה אומר על היחס בין a+b ל-0?

גם אני פורשת. מקווה שאמרתי דברי טעם כי מאוחר מדי... הייתה לי תחושה שאני לא צריכה להצטרף לאשכול הזה.... :wink:
לילה טוב

dan123a67
27-06-2010, 08:41
פתרון אלגברי:
lnb-lna<\frac{e^b-e^a}{e} \\ eln(\frac{b}{a})<e^b-e^a \\ e^a-e^b>-eln(\frac{b}{a})

כעת מתקיים: 1<a<b
נסתכל על האגף השמאלי.
אם b>a אזי הביטוי e^b-e^b>e^a-e^b ולכן e^b-e^b>-eln(\frac{b}{a})
או:
eln(\frac{b}{a})>0 \\ ln(\frac{b}{a})>0 \\ \frac{b}{a}>1 \\ b>a

והוכחנו.

בוקר טוב ,

(אני אשתמש בצבעים כדי שזה יהיה פדגוגי :wink:)

בתרגיל המקורי יש להוכיח אי שוויון מסוים תחת תחום הגדרה בו האי שוויון נכון / מתקיים.
כלומר יש להוכיח שתחת תחום ההגדרה הזה האי שוויון נכון. עד כאן הכל ברור אני מקווה.

הגישה של ברק :

אם לרגע נניח שהטענה נכונה או במקרה זה שהאי שוויון נכון ונגיע לכך (איכשהו) שתחום ההגדרה בתרגיל מתקיים הוכחנו את הבעיה.

אני טוען שלא עשית כלום ולמה ? כי ברור שאם האי שוויון נכון אז תחום ההגדרה יתקיים הרי שם "חי" האי שוויון !! אתה צריך להוכיח שקיים קשר (אי שוויון) ספציפי שמקיימים הפרמטרים של התרגיל תחת תחום ההגדרה.

ברגע זה (עכשיו אני שם לב) התכוונתי לכתוב שאתה הוכחת את הכיוון ההפוך - כלומר שאם האי שוויון מתקיים אז בהכרח b>a>1 . אבל גם את זה לא עשית כי הנחת שגם האי שוויון נכון (?) וגם תחום ההגדרה נכון (?) אז מה השארת לעצמך להוכיח (פה הבעיה)?

מקווה שזה מובן

יום טוב

Hurricane
27-06-2010, 11:51
תתכוננו, תגובה ארוכה יותר משל גילה:

בכלל טעיתי בהעברת האגפים (מהשורה השנייה לשלישית).
בכל אופן, אחרי שהגענו ל- eln(\frac{b}{a})<e^b-e^a
ניתן לומר ש- \frac{a}{a}<\frac{b}{a} ולכן:
eln(\frac{a}{a})<e^b-e^a \\ 0<e^b-e^a \\ e^b>e^a \\ b>a

והוכחנו.

בכל אופן, עברתי על התגובות, והנה התגובות שלי:


הוכח כי x^2-1<0 לכל x>0

ניקח את הטענה : x^2-1<0

http://www.emath.co.il/forums/../cgi-bin/mimetex.cgi?%20x%5E2%3C1%20%5C%5C%20-1%3Cx%3C1

כעת נעזר בנתון x>0 נקבל : http://www.emath.co.il/forums/../cgi-bin/mimetex.cgi?%200%3Cx%3C1 כלומר X>0 משל.כעת הוכחת שהערך של x הוא 0<x<1 ולא לכל איקס גדול מ- 0. אני הוכחתי שהתנאי מתקיים לכל ערך של a ושל b.
זו דוגמא שונה לחלוטין.


1. להגיע אל האי שוויון דרך משפטים שהוכחו ונתונים (שזה מה שניסית לעשות אבל בדרך שגויה) וכאן אסור לך להתחיל עם האי שוויון, אתה צריך להגיע אליו !

2. להוכיח שהאי שוויון מתקיים תמיד בעקביות לכל x (אינדוקציה)

3. להוכיח בדרך השלילה - "נניח שהאי שוויון לא נכון" , להגיע לסתירה כלשהי ומכאן תוכל באמת להגיד שהאי שוויון נכון.אריאל, אתה יודע שאני לא לוקח דברים כמובנים מאליהם. :)
עדיין לא הסברת למה הדרך שלי לא נכונה. פשוט אמרת שזו לא דרך נכונה. S:


"אם יורד גשם יש עננים", כעת היום יום מעונן ולכן לבטח יורד גשם.
האם הטענה נראית לך נכונה? אם יש עננים זה לא אומר בהכרח שיש גשם , נכון? אבל אם יש גשם בטוח יש עננים.האמת היא שחשבתי על זה טוב, וקראתי את כל התגובות כאן כמה פעמים, והגעתי לכך שזה לא טיעון נכון.
הטענה צריכה להיות הפוכה - "אם יורד גשם, יש עננים" - היום יורד גשם. => יש עננים.
או בעצם: אם מתקיים: 1<a<b (שזה נתון) אזי מתקיים: http://www.emath.co.il/forums/../cgi-bin/mimetex.cgi?%20lnb-lna%3C%5Cfrac%7Be%5Eb-e%5Ea%7D%7Be%7D.
היום מתקיים: 1<a<b ולכן http://www.emath.co.il/forums/../cgi-bin/mimetex.cgi?%20lnb-lna%3C%5Cfrac%7Be%5Eb-e%5Ea%7D%7Be%7D.


יואב, תודה. תמיד נהנית לקרוא את התגובות שלך.
מקווה שברק השתכנע, אבל לא נראה לי...
נראה לי שדרוש פה משהו יותר סמכותי-קטלני... משהו כמו גל אולי http://www.emath.co.il/forums/../images/smilies2/wink.gif? צריכים באמת מישהו סמכותי קטלני. :P


היי,

ברק, כנראה שבאמת לא הבנת את התשובה שכתבתי ולא טעיתי כששאלתי אותך אם קראת והבנת. משום מה אתה בוחר להתעלם, החלטת שאתה צודק וזהו . גם הניסוחים שלך -כמו "בטח שזה נכון" או "בטח שמותר".. מסתכמים בכלום. לכן חשוב לדייק .. העיקר שהבנת

יום טוב אני מודה שהייתי דיי אטום, אבל בכל אופן, קראתי את כל התגובות עוד הפעם, וסיכמתי אותן כאן.


אז מפה לפי מה שאתה אומר כל אי שוויון שממנו תוכל להגיע ל http://www.emath.co.il/forums/../cgi-bin/mimetex.cgi?%202%3E0 הוא נכון.כן.
בדיוק כמו שבשוויונים, כשאני מגיע למצב שבו 0=0, הטענה נכונה לכל x,n או כל משתנה אחר.
דוגמאות:
x=x -> 0=0 - הטענה נכונה לכל איקס.
x+1>x -> 1>0 - הטענה נכונה לכל איקס.
(כמובן שיש להתחשב בתחום ההגדרה, אבל זה זניח).

תביא דוגמא אחת שלא תומכת בדעה שלי.



וזה בדיוק מה שאמרתי - אתה בא להוכיח את אחד המשפטים (לא בטוחה שקוראים לזה משפט) הכי בסיסיים "סכום שני חיוביים יתן מספר חיובי" ותוך כדי הוכחה אתה משתמש במשפט "אם סכום של שני מספרים שלילים יתן מספר שלילי, אז אם נקח שני מספרים קטנים מהם גם נקבל שלילי". איך אתה יודע את זה? ע"ס ידע קודם והכרת המספרים? אם אתה יודע את זה - איך אתה לא יודע שסכום חיוביים יתן חיובי?
זה כמו שאנסה להוכיח שסכום זוויות במשולש הוא 180 ע"י חלוקת מרובע לשני משולשים.חח גילה סתם נתתי דוגמא.
ד"א, קל להוכיח שסכום הזויות במשולש הוא 180 מעלות. פשוט תיצרי משולש ותעבירי מקביל לבסיס.
משהו כזה:
נניח שיש לך את המשולש:
\_/
תעבירי מקביל:
---
\_/
תסמני את הזויות במשולש, תעבירי מקביל למעלה, ותוכלי להראות שסכום הזויות במשולש הוא 180 מעלות.


אראה דוגמאות אחרות:
הוכח: \frac{a}{b}=\frac{b}{a}
עבור: a=b
נפתור בדרך הרגילה:
a^2=b^2 \\ a=\pm b
או בדרך שלי - נניח שהטענה נכונה.
נציב:
\frac{a}{a}=\frac{a}{a} \\ 0=0
הוכחנו.

נעבור לדוגמא מסובכת יותר -
הוכח:\frac{1}{a}>0
עבור a>0
נפתור בדרך הרגילה:
שימו לב שגם כאן, בדרך הרגילה, מבלי לשים לב, השתמשתם בדרך "שלי", הנחתם שהטענה נכונה, והשתמשתם בנתון a>0 (כדי לא לשנות את סימן אי השוויון).
כעת ניתן להכפיל ב- a ולקבל: 1>0 מכאן שהטענה נכונה.
הדרך שלי: אותה דרך.

דוגמא 3:
הוכח: ab>\frac{b}{a}
עבור: 1<a<b
דרך רגילה:
משתמשים בנתון ש- 1<a<b, כמו בדרך "שלי", ומכפילים ב- a, ומקבלים:
a^2b>b
נחלק ב- b כי לפי הנתון: b>1 (שוב, השתמשתם בנתון) ונקבל:
a^2>1
ומכאן הטענה נכונה (a>1 ולכן a^2>1).

פתרון בדרך שלי:
מתקיים: 1<a<b
ולכן: bb>ab.
כלומר:
bb>\frac{b}{a}
מתקיים גם:
a<b \\ 1<\frac{b}{a}
כלומר:
bb>1 \\ b^2>1
וזה נכון לכל b גדול מ- 1, שזה נתון.

דוגמא רביעית ואחרונה:
הוכח: eln(\frac{b}{a})<e^b-e^a
עבור: 1<a<b
פתרון בדרך שלכם: פתרון עם אינפי.
פתרון בדרך שלי:
ניתן לומר ש- \frac{a}{a}<\frac{b}{a} ולכן:
http://www.emath.co.il/forums/../cgi-bin/mimetex.cgi?eln%28%5Cfrac%7Ba%7D%7Ba%7D%29%3Ce%5Eb-e%5Ea%20%5C%5C%200%3Ce%5Eb-e%5Ea%20%5C%5C%20e%5Eb%3Ee%5Ea%20%5C%5C%20b%3Ea

והוכחנו.

gilas
27-06-2010, 12:21
תתכוננו, תגובה ארוכה יותר משל גילה

ברק, אין ספק שאתה בחור מצחיק. עקשן, אבל אופטימי.....

קראתי את ההוכחה שלך לסכום זוויות במשולש - הוכחה יפה ונכונה.
מעבר לזה, כבר עייפתי... אני ברגע זה פורשת ומשאירה את הבמה לאנשים טובים וחכמים ממני, כי אני הולכת להכשל במבחן הבא שלי אם לא אלמד ....

אגב, מכל ההתכתבויות הללו - עדיין לא הבנתי איך מוכיחים את האתגר המקורי :wink:.

Hurricane
27-06-2010, 14:50
דוגמא 4 זו ההוכחה. :)

אריאל
27-06-2010, 17:15
דוגמא :

משפט :

"אם G רציפה ב X0 ואם F רציפה ב-Y0 כאשר : y0=g(x0) אז f(g(x)) רציפה ב X0 "

הוכחה של ברק למשפט ההפוך : נוכיח שאם f(g(x)) רציפה ב X0 . אז גם G רציפה ב X0 וגם F רציפה ב-Y0 כאשר : y0=g(x0) .

הוכחה כשלעצמה של ברק : נניח ש G רציפה ב X0 וF רציפה בY0 כך ש : g(x0)=y0

אזי נקבל : g(x0)=y0 נציב ב F נקבל : f(y0) וקיבלנו פסוק אמת. (בהתאם להנחה)

"הוכחנו".

סתירה הטענה שהוכחת :

נגדיר :

g(x)= \{ 1 \ when \ x > 0 \\ 2 \ when \ x <=0

ונגדיר : f(x)=2

G לא רציפה ב x=0 יחד עם זאת : f(g(x0))=2 ולכן ההרכבה רציפה בנקודה זו.

אם לא הבנת עד כאן וקראת את כל התגובות ועדיין לא הבנת תתחיל ללמוד חשבון אינפיניטסימלי ותראה ימבה משפטים ודוגמאות בהן הדרך שלך לא עובדת.

יום טוב

Hurricane
27-06-2010, 17:22
הבאתי לך הוכחה אלגברית. תראה לי דוגמא אלגברית שעובדת לפי ההגיון שלי, ואינה נכונה.
ד"א, אם כבר, לפי הדרך שלי, הנתונים הם: g רציפה ב- x0, ו- f רציפה ב- y0, כאשר f0=g(x0)q ויש להוכיח ש- f(g(x))q רציפה ב- x0. לפי הדרך שלי נניח ש- f(g(x))q רציפה ב- x0 ונוכיח באמצעות הנתונים.

עדיין לא הבנתם איך ניסיתי לפתור? אני יכול לתת עוד דוגמאות. ם_ם
שוב, אני מניח שהטענה נכונה, ומוכיח שהיא נכונה עבור כל ערך של x בתחום ההגדרה.
או במקרה של ההוכחה המקורית, אני מניח שהטענה נכונה ומוכיח שהיא נכונה עבור כל ערך של a,b כך שמתקיים: b>a>1.

אריאל
27-06-2010, 17:35
ערכתי את ההודעה שלי שאולי תבין קצת יותר הפעם..

Hurricane
27-06-2010, 18:19
תראה דוגמא אלגברית.

אריאל
27-06-2010, 18:53
אתה סתם עיקש בהוכחות מסובכות זה בחיים לא תקין, ואפשר לסתור את זה בשניה, אבל אין לך את הכלים כרגע שאוכל להראות לך(להוכחות "מסובכות") .

הלוגיקה שגויה והראיתי את זה וזהו, ובכל זאת בגלל שאתה (סתם באמת סתם) מתעקש ב"דרך אלגברית" אז:

טענה שגויה : הוכח כי : \frac{1}{b}-\frac{1}{a} >=0 לכל : b>a>1

הוכחה בדרך שלך למשפט הזה :

נניח כי : \frac{1}{b}-\frac{1}{a} >=0 , כעת מפני שb<a אז גם מתקייים :

\frac{1}{a}-\frac{1}{a}>=0 ומכאן קיבלנו : 0>=0 כלומר פסוק אמת

מסקנה : הטענה נכונה. (לפי הדרך שלך)

dan123a67
27-06-2010, 19:28
היי,

שוב אתה טועה והסברתי בהודעה אחת קודם לסיפור שהצגת..

Hurricane
27-06-2010, 19:47
אתה סתם עיקש בהוכחות מסובכות זה בחיים לא תקין, ואפשר לסתור את זה בשניה, אבל אין לך את הכלים כרגע שאוכל להראות לך(להוכחות "מסובכות") .

הלוגיקה שגויה והראיתי את זה וזהו, ובכל זאת בגלל שאתה (סתם באמת סתם) מתעקש ב"דרך אלגברית" אז:

טענה שגויה : הוכח כי : \frac{1}{b}-\frac{1}{a} >=0 לכל : b>a>1

הוכחה בדרך שלך למשפט הזה :

נניח כי : \frac{1}{b}-\frac{1}{a} >=0 , כעת מפני שb<a אז גם מתקייים :

\frac{1}{a}-\frac{1}{a}>=0 ומכאן קיבלנו : 0>=0 כלומר פסוק אמת

מסקנה : הטענה נכונה. (לפי הדרך שלך)
אריאל, אני הייתי כופל ב- a ו- b, ומגיע ל:
a-b>=0 \\ b<=a
אבל נתון ש- b>a ולכן אין פתרון.


אני אשאל שאלה אחרת - תוכיח אתה שמתקיים: \frac{1}{a}>0 לכל a>0.

תענו גם על ההודעה הקודמת ועל הדוגמאות שצירפתי. הן לא נכונות?

עריכה:
בקשר לשאלה הקודמת שלך, אני אחשוב על זה, כי באמת הגענו לתנאי אמת כאשר זהו תנאי שקר.

אריאל
27-06-2010, 19:56
אריאל, אני הייתי כופל ב- a ו- b, ומגיע ל:
a-b>=0 \\ b<=a
אבל נתון ש- b<a ולכן אין פתרון.


אני אשאל שאלה אחרת - תוכיח אתה שמתקיים: \frac{1}{a}>0 לכל a>0.

תענו גם על ההודעה הקודמת ועל הדוגמאות שצירפתי. הן לא נכונות?

עריכה:
בקשר לשאלה הקודמת שלך, אני אחשוב על זה, כי באמת הגענו לתנאי אמת כאשר זהו תנאי שקר.


הגעתי בדרך שלך (ולא משנה שאפשר בדרך אחרת, אגב בגלל זה שאפשר כמה דרכים זה רק מוכיח למה הדרך הזו שגויה כלכך) לפסוק אמת ולפי מה שאתה אומר מכאן שהטענה נכונה וכמובן שהיא לא נכונה , מה עכשיו??

בנוגע לכל הדוגמאות שלך למעלה הם כולם שגויות מלכתחילה ואין לי מושג בכלל איך אתה חושב שזה הוכחה.. בכל אופן מקווה שסיפקתי את הדוגמאות שרצית , למרות שדי מגוחך אחרי שהראינו לך לוגית שוב ושוב שזה דרך שגויה.

Hurricane
27-06-2010, 20:03
דוגמא אחת שגויה היא כל שרציתי בשביל להבין איפה טעיתי, ורק עכשיו סיפקתם אותה.
תודה רבה, מודה בטעות, ומצטער על בזבוז הזמן שלכם. :okey:

Case closed.

Hurricane
28-06-2010, 22:31
אוקיי מצטער על ההקפצה, ועל החפירה בנושא, אבל עוד הפעם משהו לא מובן. S:
אני קורא עכשיו ספר, ובהקדמה היה הסבר קצר על אינדוקציה.
קודם כל, בסעיף הקודם הוכיחו שמתקיים: 1+x+x^2+x^3+...+x^{n-1}=\frac{x^n-1}{x-1} (זה משמש לשאלה שאני הולך לשאול).

עכשיו, בסעיף אחר ביקשו להוכיח שמתקיים:
אם m ו- n מספרים טבעיים ואם m>1 אזי n<m^n

ההוכחה שלהם הייתה:
n=1+1+...+1
ככה n פעמים.
וברור שמתקיים:
1+1+...+1<=1+m+m^2+m^3+...+m^{n-1}
כי m>1.
כלומר, קיבלנו:
n<m^n \\ 1+1+...+1<=1+m+m^2+...+m^{n-1}=\frac{m^n-1}{m-1} \\ m^n-1<m^n

אז, למה כאן כן מותר להניח שהטענה נכונה ולהראות שהיא נכונה עבור כל m>1,n טבעיים?
זה בדיוק כמו שאני פתרתי. ם:
מה השוני בין שתי ההוכחות?

עריכה:
או ניקח דוגמא פשוטה יותר:
הוכח שמתקיים: n<n! עבור n>2.
נבדוק עבור 3, התנאי יתקיים.
נניח שהתנאי נכון עבור n=k. כלומר נתון: k<k!
נוכיח עבור n=k+1:
k+1<(k+1)! \\ (k+1)<k!(k+1) \\ 1<k!
ומכאן הטענה נכונה (בגלל שלפי ההנחה, עצרת של k גדול מ- k, ולכן ברור שהתנאי מתקיים).

איך זה שונה מההוכחה שלי?

מצטער, זה עדיין לא יושב לי טוב. S:

אריאל
19-10-2010, 17:30
אינדוקציה זה סוג שונה של הוכחה. תנסה לקרוא שוב את כל התגובות הנורא מפורטות שכתבו...

am12348
05-05-2011, 08:10
אריאל שלום רב,

מכיוון שעבר זמן רב, יתכן שאתה או אחרים הוכיחו את האי שוויון. בכ"א רצ"ב קובץ עם הצעת הוכחה לאי שוויון

אשמח לשמוע את הערותיך

עמוס

אריאל
05-05-2011, 08:56
הי עמוס,

הפתרון שלך נכון, כמו כן ראה פתרון של דן בכמה שורות פחות : http://www.emath.co.il/forums/%D7%97%D7%93%D7%95-%D7%90/8284.htm הודעה 2

אבל גישה מצוינת .

am12348
07-05-2011, 23:20
אריאל הי,

דן מסתמך בהוכחה שלו על משפט קושי שהוא הכללה של משפט לגרנז' בו השתמשתי. משפט קושי דורש
פרט לרציפות וגזירות גם שהנגזרת של הפונקציה במכנה תהיה שונה מ0 לכל x בקטע הפתוח
(a,b).הנגזרת של lnx מוגדרת ושונה מ0, שכן נתון שa,b>1 לכל x בקטע.

היות וכאומור ניתן להשתמש במשפט, אין צורך להכפיל בb-a ולחלק בe, כמו שאני עשיתית מה
שעושה את ההוכחה של דן לקצת קצרה יותר.(פרט לעובדה שניסיתי לפרט בכמה שלבים)