PDA

צפה בגרסה המלאה : חידה | קשר למספרים ראשונים



orenef11
21-06-2008, 22:11
הוכח כי לכל מספר ראשוני p>3 ריבועו של המספר הראשוני חלקי 24 הוא מספר שלם ושארית 1.


לדוגמא:
p=5
25/24=1 ושארית 1.

עשהאל
22-06-2008, 01:22
בס"ד

חידה יפה.
אני אתן רמז:
מה יכולה להיות השארית של המספר בחלוקה ל-12?

אריאל
27-06-2008, 12:36
השארית היא 1 וכך גם לחלוקה ב6 ו3 ..

cross
27-06-2008, 14:07
להלן הצעתי

cross
27-06-2008, 14:15
עשהאל איך ממשיכים לפתור את זה עם שקילויות(מודולו)?

עשהאל
27-06-2008, 17:03
בס"ד

cross, ההוכחה שלך יפה מאוד. לא חשבתי עליה.
לגבי ההוכחה במודולו, תוציא גורם משותף 12, ושים לב שהוא נכפל במספר זוגי.

orenef11
28-06-2008, 01:09
עשהאל וcross אתם יכולים להסביר שוב את ההוכחה שוב.
cross
נראה לי שהדרך שלך לא נכונה כי לא כל מספר שמתחלק ב3 יביא לך את מה שביקשתי {שזה מספר שלם ושארית אחד חלקי 24}.

עשהאל
מה זה מודולו.


הפתרון שלי הוא כך:
ניקח את השלישיה הבאה:{P גדול מ3}
p-1,p,p+1
כמו שנאמר פה במסמך של cross שp^2-1=(p-1)(p+1)ZZZ
עם נסתכל בשלישיה הבא אנחנו נראה שאחד מהמספרים מתחלק ב-3 {חוק מסויים נראה לי} אחד המספרים מתחלק פעם אחד ב2 והמספר הזוגי השני מתחלק ב4.
כלומר עם נכפיל את המחלקים נקבל 24 שזה אומר כל מספר ראשוני בריבוע שגדול משלוש חלקי 24 יביא לנו תשובה זאת.

ani100
28-06-2008, 01:13
מודולו זה פעולה שנותנת את השארית של חלוקה מסוימת ידועה בסימן (%) או MOD

talikag
28-06-2008, 01:28
צריך להוכיח למעשה ש-p^2-1 מתחלק ל-24 ללא שארית.
כל מספר אי-זוגי שמעלים אותו בריבוע ומפחיתים אחד מתחלק ל-8 ללא שארית (ניתן להוכיח בקלות ע"י אינדוקציה או ע"י פירוק לגורמים). כל מה שנשאר להוכיח הוא שעבור מספר ראשוני גדול מ-3 התנאי הנ"ל מתחלק גם ב-3 ללא שארית.
זה מתקיים מפני ש-p^2-1 שווה ל-(p+1)(p-1).
p הוא ראשוני ולכן הוא לא מתחלק ל-3, כלומר לפחות אחד מ-2 המספרים העוקבים לו מתחלק ל-3, ולכן התנאי מתקיים וכל הטענה נכונה.

למעשה מעולם לא הזכרתי ש-p הוא ראשוני פה. כדי שהתנאי יתקיים מספיק שהוא יהיה אי-זוגי, ושלא יתחלק ל-3 ללא שארית. מה שנכון לגבי כל המספרים הראשוניים שגדולים מ-3.

orenef11
28-06-2008, 02:20
הזכרתי שP הוא ראשוני.
ותשובה יפה!!

cross
28-06-2008, 09:30
אני אסביר את התשובה שלי
אני הוכחתי ש P^2-1 מיתחלק ב 8 ו ב3 ללא שארית כאמור 8 ו 3 הם מספרים זרים (תכונה של מספרים זרים-אם A מתחלק בשני מספרים זרים BוC אז הוא מתחלק במכפלתם כלומר ( A|(B*C ) הA במקרה הזה הוא P^2-1 ו B=8 וC=3 זאת אומרת ש A מתחלק ב24