PDA

צפה בגרסה המלאה : פרודקס מתמטי.



איציק2
28-07-2009, 16:57
ניקח לדוגמא את המספר 1 .
עכשיו ידוע כי , 3\1 זה : ....0.33333333
נכפיל ב3.ומה יצא ? 0.9999999999 ..שזה 9\1 . היתכן ??
והרי אין סוף למספרים,ולעולם זה לא יגיע ל1 !?
ואי אפשר לומר שזה בקירוב למספר 1 ,ולכן זה שווה ל1! שהרי 9\1 לא שווה באמת ל1 !
אם כן, איך זה יתכן ש 3\1 כפול 3 שווה 1 ,ולא ל....0.99999999 !?

-רון-
05-08-2009, 12:36
איך ...0.99999999 שווה ל- 1/9 (תשיעית)?!

אברה
05-08-2009, 12:41
יצאת מנקודת הנחה ש1/3=0.33333333, וזהו מקור הטעות. כמו שקיבלת הנחה זו כנכונה, קבל גם את ההנחה ש0.999999=1

גל_כהן
05-08-2009, 12:42
זו שגיאה בכתיבה ואין צורך לתת את הדעת על כך.
ניתן לרשום :
ניתן לרשום את המספר העשרוני 0.9999999 (ועוד אינסוף 9 אחרי הנקודה) באופן :
0.99999...99=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1 000}+...+\frac{9}{10^{n}}.
ברור כי זוהי סדרה הנדסית בה : a_1=\frac{9}{10} \ , \ q=0.1 \ , \ a_k=\frac{9}{10^n}.
על פי הנוסחה לאיבר כללי בסדרה הנדסית :
a_k=a_1q^{n-1} \right \frac{9}{10^n}=\frac{9}{10}\cdot{\left(\frac{1}{10 } \right)^{k-1}}=\frac{9}{10^k} ומתוך כך :
n=k , כלומר בטור ההנדסי האינסופי ישנם n איברים.
נמצא את סכום הטור :
S_n=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0.9}{0.9}=1 ועל כן ניתן לקבוע כי המספר העשרוני
0.9999...999 שווה ל-1.

יום טוב :) !

אריאל
05-08-2009, 12:46
"הפרדוקס של ZENO" (http://www.emath.co.il/forums/showthread.php?t=44)
על אותו עניין, כל שיש להבין, שסכום של אינסוף איברים, יכול להתכנס למספר סופי .

גל_כהן
05-08-2009, 12:51
ולמי שיצא לעיין בסעיף ב' בשאלון 006 בבגרות האחרונה היה ניתן לראות כי יש שם את
הסכום \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2} , אשר מתכנס
ל-\frac{\pi^2}{6}-1 ולמי שמעוניין זוהי פונקציית זטא (אחת מהפונקציות החשובות
אם לא החשובה ביותר בהשערת רימן לגבי המספרים הראשוניים [למי שמעוניין אמליץ על ספרו הנפלא
של מרכוס דו סוטוי "המוזיקה של המספרים הראשוניים"]) עבור x=2 (ולמי שמעוניין ספציפית
בטור הזה ניתן לקרוא על בסל).
העלתי את הדברים הללו רק בעקבות דבריו של אריאל שסכום איברים אינסופי (ולא מספרים אינסופיים)
יכול להתכנס לעבר ערך סופי.

יום טוב :) !

אברה
05-08-2009, 13:04
אני מצטרף להמלצתו של גל לגבי הספר "המוזיקה של המספרים הראשוניים".
גל, בבגרות הייתי צריך לדעת כזה דבר??????
איציק, זוהי סדרה אינסופית ומכיוון שהמנה שלה הוא מספר בין 1 לבין מינוס אחד יש נוסחה לחישוב הסכום, שיוצא 1 (כמו שגל חישב).

גל_כהן
05-08-2009, 13:29
אברה , לא היית צריך לדעת וזו הייתה טעות של משרד החינוך שבנה סעיף שבנוי על טור של אוילר.
בכל אופן , באם התוצאה שלך היא 4999 או באם ידעת להוכיח כי התוצאה היא כל n בעזרת חומר
שמחוץ לתוכנית הלימודים , שתי התשובות תתקבלנה.

יום טוב :) !

אברה
05-08-2009, 14:33
יצא לי 4998, לא יודע למה לא 4999...

גל_כהן
05-08-2009, 14:52
התוצאה היא 4999 ואתה מוזמן להסתכל בפתרונות המלאים שהועלו ונמצאים בנעוצים של שאלון 006.

יום טוב :) !

רועי סנפיר
12-02-2010, 09:45
זה היה בהחלט אשקול משעשע.
דרך אגב, 0.99999... שווה בדיוק, אבל, בדיוק, 1.

yedidya123
06-03-2013, 21:54
סתכלו הוכחה מדהימה ש 0.9999999999999 שווה 1
x=0.999999999 נתון שהצבתי x*10=9.9999999999999999999999999999 הכל במספרים אינסופיים
ועכשיו נחסר את x משתי הצדדים 9x=9 ומכאן מוכח ש x=1

liadak
12-09-2014, 15:03
ידידיה צר לי לבשר לך אבל ההוכחה שלך אינה נכונה כלל
נגיד ש X=0.999999999 כך שישנן 9 ספרות מאחורי הנקודה העשרונית.
כשאתה מכפיל את שני האגפים ב10 יוצא לך שX*10=9.99999999 עכשיו ישנן 8 ספרות אחרי הנקודה העשרונית (כי הנקודה זזה 1 שמאלה)
עכשיו אתה רוצה לחסר בX
9.99999999
-
0.999999999
____________

8.999999991 שזה גם שווה ל 9X

חלק את המשוואה ב9 יצא לך שX = 0.999999999
כמו בהתחלה

זה לאו דווקא עובד שיש 9 ספרות אחרי הנקודה,
נניח שיש n ספרות אחרי הנקודה העשרונית (הספרות הן 9) ואם תכפיל את המספר הזה ב10
יתקבל לך מספר עם n-1 ספרות שהן 9 אחרי הנקודה העשרונית.