PDA

צפה בגרסה המלאה : מכפלה ישרה (חבורות)



letisya800
06-05-2015, 22:35
תהי G=\left \langle a,b:ab=ba,a^{2}=b^{3} \right \rangle
כיצד ניתן להציג את G כמכפלה ישרה של חבורות ציקליות?

OneProphecy
07-05-2015, 03:40
הצעת פתרון (תבדקי אם אני צודק, לא בטוח כרגע) - יש פה חבורה חופשית בשני יוצרים, עם יחס הקומוטטיביות ועוד יחס. הקומוטטיביות אומרת שזו חבורה חופשית אבלית, היינו $\mathbb{Z}^2$ יחד עם היחס $a^2=b^3$, ובכתיב חיבורי $(2,0)=(0,3)$, או בשקילות $(2,-3)=(0,0)$. כלומר - החבורה שלך היא בדיוק חבורה חופשית בשני יוצרים מודול החבורה שנוצרת על ידי האיבר הזה. אני רוצה להגדיר הומומורפיזם $G \to \mathbb{Z}$ בעל גרעין שהוא בדיוק החבורה הנוצרת על ידי האיבר. נגדיר $(x,y) \mapsto 3x-2y$ (אולי הפוך(?)). אז הגרעין שלו הוא בדיוק החבורהה זה, ולכן $G \cong \mathbb{Z}$.

שוב, השעה מאוחרת ואני לא בטוח שזה נכון, בדקי אותי.

letisya800
07-05-2015, 06:59
בוקר טוב :happy:,
תודה רבה ,אני אעבור על זה ואבדוק שכל שלב מובן,במידה ויהיו שאלות אשאל.

letisya800
10-05-2015, 22:23
דרך נוספת (אולי..):


G=\mathbb{Z}

כי אם
c=ab^{-1}
אזי

c^{2}=a^{2}b^{-2}=b^{3}b^{-2}=b

c^{3}=a^{3}b^{-3}=a^{3}a^{-2}=a

כלומר

G=\left \langle c \right \rangle

(c שלם כלשהו)

OneProphecy
10-05-2015, 23:02
לא בטוח שזה נכון; מה שעשית כאן זה למצוא חבורה שתקיים את היחס שלך, זה עוד לא אומר שזו החבורה - יש חבורות שיקיימו את היחס שלך ועוד יחסים, זה לא אומר שמצאת את החבורה. את צריכה לבדוק שהיא "הכללית ביותר שמקיימת אותו". מה גם ש'קבוע כלשהו' לא בטוח תופס פה.

letisya800
14-05-2015, 13:58
איך אני יודעת שזאת החבורה "הכללית ביותר"?
מצד אחד c שייכת לחבורה הנוצרת על ידי a,b, לכן לחבורה יש תת חבורה ציקלית הנוצרת על ידי c.מצד שני,גם a וגם b שייכות לתת חבורה הנוצרת על ידי c,לכן זאת כל החבורה.

OneProphecy
14-05-2015, 20:10
אני לא רואה איך הפתרון ההוא טוב. מה שאולי אפשר לעשות זה להגדיר התאמה מלאה בין היוצר שלך ליוצרים ההם - כלומר, בהינתן a,b מגדירים את c ומראים שהחבורה ההיא היא מנה של החבורה הציקלית האינסופית הנוצרת על ידי c, וגם להיפך - בהינתן c, משחזרים את a,b ומראים שהם מקיימים את היחסים הקודמים. זה יספיק כדי לקבוע שהחבורות איזומורפיות.

letisya800
14-05-2015, 23:07
אני לא רואה איך הפתרון ההוא טוב. מה שאולי אפשר לעשות זה להגדיר התאמה מלאה בין היוצר שלך ליוצרים ההם - כלומר, בהינתן a,b מגדירים את c ומראים שהחבורה ההיא היא מנה של החבורה הציקלית האינסופית הנוצרת על ידי c, וגם להיפך - בהינתן c, משחזרים את a,b ומראים שהם מקיימים את היחסים הקודמים. זה יספיק כדי לקבוע שהחבורות איזומורפיות.

100%,הבנתי אותך :takdir:
תודה רבה !