PDA

צפה בגרסה המלאה : אינטגרלים מרוכבים בעזרת משפט שארית



lidorabo
19-08-2015, 09:38
חברים, אני לומד פונקציות מרוכבות ואני עדיין לא מצליח להבין באיזה נוסחה אני אמור להשתמש ..נגיד יש לי את התרגיל הבא:
36952
הבנתי שצריך להשתמש בנוסחה של קוטב 2 אבל העסק מעורפל ואני לא מצליח להבין...אם יש משהו שאוכל לעשות לי סדר בדברים אני יותר מאשמח:)

avishay12456
19-08-2015, 10:23
נשים לב שיש לפונקציה 2 קטבים מסדר 2 - אחד ב- z=1 והשני ב- z=-1. בנוסף מתקיים:
$$\frac{1}{(z^2-1)^2}=\frac{1}{((z-1)(z+1))^2}=\frac{\frac{1}{(z-1)^2}}{(z+1)^2}=\frac{\frac{1}{(z+1)^2}}{(z-1)^2}$$

ולכן נוכל לחשב את האינטגרל ע"י:
$$\int_{|z|=3}\frac{1}{(z^2-1)^2}dz=\int_{|z-1|=\epsilon} \frac{\frac{1}{(z+1)^2}}{(z-1)^2}dz+\int_{|z+1|=\epsilon} \frac{\frac{1}{(z-1)^2}}{(z+1)^2}dz$$

עבור אפסילון קטן מספיק (כל מספר קטן מ-2 יעבוד) [תוודא שאתה יודע להסביר את השוויון הנ"ל!].
נחשב את האינטגרל הראשון לפי נוסחת קושי, תנסה לבד את האינטגרל השני (זה בדיוק אותו הדבר).
הפונקציה $f(z)=\frac{1}{(z+1)^2}$ הולומורפית בתוך העיגול הקטן סביב 1 ולכן מתקיים:
$$f'(1)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z-1|=\epsilon} \frac{f(z)}{(z-1)^2}dz$$

ומכאן נקבל:
$$\int_{|z-1|=\epsilon} \frac{f(z)}{(z-1)^2}dz=2\pi i f'(1)=-\frac{\pi i}{2}$$

באותה צורה אפשר לחשב את האינטגרל השני, סכומם יוצא האינטגרל הרצוי. מקווה שהכל ברור, בהצלחה!

O_m_r_i
19-08-2015, 10:26
יש הרבה הסברים ודוגמאות באינטרנט, למשל הסרטון הזה (https://youtu.be/_3p_E9jZOU8?t=6m11s)

lidorabo
19-08-2015, 12:21
נשים לב שיש לפונקציה 2 קטבים מסדר 2 - אחד ב- z=1 והשני ב- z=-1. בנוסף מתקיים:
$$\frac{1}{(z^2-1)^2}=\frac{1}{((z-1)(z+1))^2}=\frac{\frac{1}{(z-1)^2}}{(z+1)^2}=\frac{\frac{1}{(z+1)^2}}{(z-1)^2}$$

ולכן נוכל לחשב את האינטגרל ע"י:
$$\int_{|z|=3}\frac{1}{(z^2-1)^2}dz=\int_{|z-1|=\epsilon} \frac{\frac{1}{(z+1)^2}}{(z-1)^2}dz+\int_{|z+1|=\epsilon} \frac{\frac{1}{(z-1)^2}}{(z+1)^2}dz$$

עבור אפסילון קטן מספיק (כל מספר קטן מ-2 יעבוד) [תוודא שאתה יודע להסביר את השוויון הנ"ל!].
נחשב את האינטגרל הראשון לפי נוסחת קושי, תנסה לבד את האינטגרל השני (זה בדיוק אותו הדבר).
הפונקציה $f(z)=\frac{1}{(z+1)^2}$ הולומורפית בתוך העיגול הקטן סביב 1 ולכן מתקיים:
$$f'(1)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z-1|=\epsilon} \frac{f(z)}{(z-1)^2}dz$$

ומכאן נקבל:
$$\int_{|z-1|=\epsilon} \frac{f(z)}{(z-1)^2}dz=2\pi i f'(1)=-\frac{\pi i}{2}$$

באותה צורה אפשר לחשב את האינטגרל השני, סכומם יוצא האינטגרל הרצוי. מקווה שהכל ברור, בהצלחה!
לא ברור לי למה התעלמת מהמודולו 3 אפשר ככה להתעלם ממנו?

avishay12456
19-08-2015, 23:14
לא ברור לי למה התעלמת מהמודולו 3 אפשר ככה להתעלם ממנו?

איפה יש בשאלה / תשובה מודולו 3?

antigravity
19-08-2015, 23:45
אני חושב שהוא התכוון לכך שהתחום של האינטגרל הוא כל ה-$z$-ים שהמודולוס שלהם הוא 3 ($\left|z\right|=3$).

lidorabo
20-08-2015, 09:02
כן בדיוק למודולים שנתון בתחילת התרגיל התכוונתי..

avishay12456
20-08-2015, 09:35
פעם ראשונה שאני שומע מישהו קורא לערך מוחלט מודולוס או למעגל ברדיוס r מודול r.
בכל מקרה זה אחד הדברים החשובים (והבסיסיים) באינטגרלים מרוכבים - כשרוצים לחשב אינטגרל על שפה של תחום מסוים, אפשר לפרק אותו לסכום של אינטגרלים על שפות של כל מיני תחומים שיתנו את אותה התוצאה, כך שהפונקציה הולומורפית בחלק מהתחומים. התוצאה מכך היא שהאינטגרלים על השפות של התחומים שבהם הפונקציה הולומורפית מתאפסים (לפי משפט קושי) ומקבלים אינטגרלים על שפות של תחומים אחרות (לרוב פשוטים יותר).
דוגמה: האינטגרל $\int _{|z|=R} \frac{1}{z}dz$ יוצא אותו הדבר לכל R>0. ההסבר לכך הוא: בהינתן R1,R2 האינטגרלים המתאימים יהיו על שפה של עיגול ברדיוס R1 או R2 סביב הראשית. אפשר להראות שהאינטגרל על השפה של העיגול ברדיוס הגדול מביניהם יוצא האינטגרל על השפה של העיגול ברדיוס הקטן מביניהם ועוד האינטגרל על השפה של הטבעת בין המעגלים. משום שהפונקציה הולומורפית בטבעת מתקבל שהאינטגרלים על השפות של העיגולים שווים.

lidorabo
20-08-2015, 10:52
פעם ראשונה שאני שומע מישהו קורא לערך מוחלט מודולוס או למעגל ברדיוס r מודול r.
בכל מקרה זה אחד הדברים החשובים (והבסיסיים) באינטגרלים מרוכבים - כשרוצים לחשב אינטגרל על שפה של תחום מסוים, אפשר לפרק אותו לסכום של אינטגרלים על שפות של כל מיני תחומים שיתנו את אותה התוצאה, כך שהפונקציה הולומורפית בחלק מהתחומים. התוצאה מכך היא שהאינטגרלים על השפות של התחומים שבהם הפונקציה הולומורפית מתאפסים (לפי משפט קושי) ומקבלים אינטגרלים על שפות של תחומים אחרות (לרוב פשוטים יותר).
דוגמה: האינטגרל $\int _{|z|=R} \frac{1}{z}dz$ יוצא אותו הדבר לכל R>0. ההסבר לכך הוא: בהינתן R1,R2 האינטגרלים המתאימים יהיו על שפה של עיגול ברדיוס R1 או R2 סביב הראשית. אפשר להראות שהאינטגרל על השפה של העיגול ברדיוס הגדול מביניהם יוצא האינטגרל על השפה של העיגול ברדיוס הקטן מביניהם ועוד האינטגרל על השפה של הטבעת בין המעגלים. משום שהפונקציה הולומורפית בטבעת מתקבל שהאינטגרלים על השפות של העיגולים שווים.
אחי אני ממש לא מבין על מה אתה מדבר איתי אשמח אם תעלה לכאן איזה מדריך מסודר...אני ממש אבל ממש לא מבין על מה אתה מדבר חח..

avishay12456
20-08-2015, 11:01
אתה לומד במסגרת קורס מסוים? בצורה עצמאית? אם כן לאיזו מטרה? כמה זמן אתה לומד?

lidorabo
20-08-2015, 12:38
במסגרת קורס.. כבר שנתיים לומד...הנדסת תוכנה..

avishay12456
20-08-2015, 14:19
התכוונתי כמה זמן אתה לומד את הקורס ולא בתואר.
בכל מקרה אם זה במסגרת קורס כדאי שתיקח סיכומים מההרצאות / הרצאות מוקלטות של המקום בו אתה לומד (אם יש) / ספר הקורס וכד'. זה יהיה יותר מכוון למה שאתה צריך מאשר אנחנו ניתן לך מדריך חיצוני שלא בהכרח נותן את אותו המשקל לכל נושא בקורס כמו המרצה שלך.