PDA

צפה בגרסה המלאה : פתרון סיגולרי



אבי100
09-10-2015, 16:30
(x^2+3xy+y^2)dx=x^2dy


מצאתי פתרון כללי למשוואה, השאלה שלי לגבי פתרונות סיגולרים:
מצאתי ש y=-x פתרון סינגולרי (נכון לפי התשובות)
משום מה לא ציינו את x=0 בתור פתרון
אם אני מבודד את \frac{dx}{dy} אז יוצא 0=0
יכול להיות שאסור לי לחלק ב dy וזוהי הסיבה ש x=0 אינו פתרון?

O_m_r_i
09-10-2015, 18:34
אם X^2 מופיע במכנה אז X=0 לא יכול להיות פתרון מתוך תחום הגדרה

avi500
09-10-2015, 18:34
הצורה המקורית של המשוואה הדיפרנציאלית היתה כנראה:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?x%5E2y%27%3Dx%5E2+3xy+y%5E2

כאשר הכוונה היא שמחפשים פונקציה http://latex.codecogs.com/gif.latex?y%3Df%28x%29 שמקיימת את המשוואה הזו.

x=0 הוא לא פונקציה של x ולכן איננו פיתרון אפשרי.

הביטוי כפי שהעלית אותו עם dx ו- dy הוא צורה סימבולית בלבד כאשר ה- dx ו- dy מופרדים. יש משמעות ממשית רק למנה שלהם בביטוי כמו הנגזרת dy/dx. לכן אין משמעות לשאלה אם מותר ל"חלק" ב- dy או לא.

אבי100
10-10-2015, 18:14
הצורה המקורית של המשוואה הדיפרנציאלית היתה כנראה:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?x%5E2y%27%3Dx%5E2+3xy+y%5E2

כאשר הכוונה היא שמחפשים פונקציה http://latex.codecogs.com/gif.latex?y%3Df%28x%29 שמקיימת את המשוואה הזו.

x=0 הוא לא פונקציה של x ולכן איננו פיתרון אפשרי.

הביטוי כפי שהעלית אותו עם dx ו- dy הוא צורה סימבולית בלבד כאשר ה- dx ו- dy מופרדים. יש משמעות ממשית רק למנה שלהם בביטוי כמו הנגזרת dy/dx. לכן אין משמעות לשאלה אם מותר ל"חלק" ב- dy או לא.

אם אני עושה 1 לחלק לכל אגף אני מקבל ביטוי של x נגזרת שווה למשהו(במקום y נגזרת)
ואז כביכול אני מוצא פונקציה של X כפונקציה של y. כפי שאמרתי x=0 מקיים את הביטוי של x נגזרת.
נכון ש ל dx ו לdy יש משמעות רק ביחד וזה בדיוק מה שעשיתי dx/dy= נגזרת של X לפי y

avi500
10-10-2015, 20:09
הבעיה

http://latex.codecogs.com/gif.latex?y%27%3Df%28x%29%29

בעיה אחרת מאשר
( x'=g(y

אוסף הפתרונות של אחת נפרד מאוסף הפתרונות של השנייה ויש לדון בו בנפרד.

אבי100
10-10-2015, 20:46
הבעיה

http://latex.codecogs.com/gif.latex?y%27%3Df%28x%29%29

בעיה אחרת מאשר

http://latex.codecogs.com/gif.latex?x%27%20%3D%20g%28x%29

אוסף הפתרונות של אחת נפרד מאוסף הפתרונות של השנייה ויש לדון בו בנפרד.

השאלה שקיבלתי היא בדיוק בצורה שהצגתי עם dx ו dy מופרדים.
איך אם כן אני יודע האם לגשת לפתרון מהצורה של x נגזרת או y נגזרת?

avi500
10-10-2015, 20:51
הכוונה קודם היתה לרשום-( x'=g(y

אבל בלי קשר - הגישה שלי היא פרקטית מכיוון היישומים. המשוואה בצורה שרשמת עם ה- dx dy נפרדים היא יותר קונסטרוקציה מתמטית מאשר משהו שמייצג בעייה מעשית. אולי רק בצורה הפורמלית יש מענה לשאלתך - אני בכל מקרה לא יודע אותו....