PDA

צפה בגרסה המלאה : לינארית 2-שתי שאלות תבנית ריבועית



ProMath
09-09-2009, 15:44
הנה שתי שאלות שקיבלתי ומספר דברים בהן לא מובנים לי:

א. יהי V מרחב וקטורי ממימד סופי מעל R וגם q:V->R תבנית ריבועית.
הוכח שאם הקבוצה L={v|q(v)>=0}zzz היא תת מרחב של V , אז q שומרת סימן.


ב. מצא את הדרגה ואת הסימנית של התבנית הריבועית הבאה:
q(x1,x2,x3,x4)=x1*x2+2x1*x3+3x1*x4+x2*x3+2x2*x4+x3 *x4
לאחר שביצעתי חפיפות אלמנטריות הגעתי למטריצה אלכסונית שממנה הסקתי שהדרגה של התבנית היא 4 (יש 4 איברים שונים מאפס באלכסון) , מספר החיוביים = 2, מספר השליליים= 2 ולכן הסימנית =2 ....סעיף ב' של השאלה הוא זה הלא מובן לי:
מצא תת מרחב ממימד מקסימלי של R^4 שעליו q היא תבנית חיובית לחלוטין.... אין לי מושג מה עליי לעשות כדי לענות על השאלה הזו...לא ברור לי גם למה קיים תת מרחב של R4 בו q תהיה תבנית חיובית לחלוטין ... אשמח לעזרה


תודה רבה לעוזרים!

אריאל
09-09-2009, 15:57
לגבי א'
תראה שלא קיים וקטור כך ש q(v) >0 אבל גם קיים וקטור u כך ש q(u)<0 . (שזה ייצור סתירה .
מה התנאים של תת מרחב?



ב-ב' כנראה שלא ביצעת את החפיפות האלמנטריות טוב, מספר החיובים הוא 1 ומספר השליליים הוא 3 ולכן הסימנית היא (-2) .

הרעיון הוא להבין שלאחר החפיפות האלמנטריות אתה מקבל בסיס חדש שבו q מיוצגת על ידי סכום ריבועים או במילים אחרות על ידי מטריצה אלכסונית.

כאשר מספר החיוביים באלכסון הוא המימד המקסימלי של התת מרחב שעליו Q חיובית, וכן, אם למשל האיבר הראשון באלכסון של המטריצה האלכסונית הוא חיובי, אזי המטריצת היחידה המקבילה(לאחר אותם חפיפות אלמנטריות) במידה וביצעת על מטריצת היחידה רק את פעולות השורות, אז השורה הראשונה של המטריצה שהתקבלה היא איבר בבסיס של התת המרחב .


אתה תבין את זה לאחר תעשה את התרגיל. חלק חשוב מההבנה הוא שלאחר ביצוע החפיפה האלמנטרית השורות של המטריצה החדשה שהיתה מטריצת היחידה הם הבסיס החדש, שבו Q מיוצגת ע"י מטריצה אלכסונית, ואם מדובר ב R^4 אזי הבסיס הזה פורש את R^4 כי יש בו 4 וקטורים בת"ל(הכלה + שוויון מימדים).

אז תסמן תת מרחב W שיש בו את כל השורות השייכות לאיברי האלכסון החיוביים(במקרה שלך זה בדיוק איבר 1)
ותראה שזה תת מרחב מקסימלי, שכן אם היה תת מרחב S בעל מימד גדול יותר (כלומר 2 ומעלה) אזי בהכרח יש בו וקטור שQ תיהיה שלילית, תיקח וקטור נוסף גם כן מהבסיס החדש שהוא השורות של I לאחר החפיפה האלמנטרית.

בהצלחה.

אגב היכן אתה לומד ובאיזה מסגרת?

ProMath
09-09-2009, 16:20
לגבי א'
תראה שלא קיים וקטור כך ש q(v) >0 אבל גם קיים וקטור u כך ש q(u)<0 . (שזה ייצור סתירה .
מה התנאים של תת מרחב?



ב-ב' כנראה שלא ביצעת את החפיפות האלמנטריות טוב, מספר החיובים הוא 1 ומספר השליליים הוא 3 ולכן הסימנית היא (-2) .

הרעיון הוא להבין שלאחר החפיפות האלמנטריות אתה מקבל בסיס חדש שבו q מיוצגת על ידי סכום ריבועים או במילים אחרות על ידי מטריצה אלכסונית.

כאשר מספר החיוביים באלכסון הוא המימד המקסימלי של התת מרחב שעליו Q חיובית, וכן, אם למשל האיבר הראשון באלכסון של המטריצה האלכסונית הוא חיובי, אזי המטריצת היחידה המקבילה(לאחר אותם חפיפות אלמנטריות) במידה וביצעת על מטריצת היחידה רק את פעולות השורות, אז השורה הראשונה של המטריצה שהתקבלה היא איבר בבסיס של התת המרחב .


אתה תבין את זה לאחר תעשה את התרגיל. חלק חשוב מההבנה הוא שלאחר ביצוע החפיפה האלמנטרית השורות של המטריצה החדשה שהיתה מטריצת היחידה הם הבסיס החדש, שבו Q מיוצגת ע"י מטריצה אלכסונית, ואם מדובר ב R^4 אזי הבסיס הזה פורש את R^4 כי יש בו 4 וקטורים בת"ל(הכלה + שוויון מימדים).

אז תסמן תת מרחב W שיש בו את כל השורות השייכות לאיברי האלכסון החיוביים(במקרה שלך זה בדיוק איבר 1)
ותראה שזה תת מרחב מקסימלי, שכן אם היה תת מרחב S בעל מימד גדול יותר (כלומר 2 ומעלה) אזי בהכרח יש בו וקטור שQ תיהיה שלילית, תיקח וקטור נוסף גם כן מהבסיס החדש שהוא השורות של I לאחר החפיפה האלמנטרית.

בהצלחה.

אגב היכן אתה לומד ובאיזה מסגרת?
היי אריאל,
אני סטודנט באוניברסיטה הפתוחה דוחס את התואר לשנתיים וקצת...

צירפתי את החישוב שלי של השאלה השנייה....
בנוגע לשאלה הראשונה-
ברור לי שזאת הדרך...אולם אני לא מצליח להתקדם ממנה...נניח שq אינה שומרת סימן...אז קיים v כך ש q(v)>0 וקיים u כך שq(u)<0 ... ברור שע"פ הנתונים v שייך לL...ומכאן שכל כפולה בסקלר של v וכל צירוף לינארי של v עם וקטורים אחרים בL גם הם נמצאים בL (תכונות תת מרחב)... ניסיתי ליצור איזשהו צירוף של u,v כך שנקבל סתירה להיות L תת מרחב...ניסיתי לחשוב על ההצגה האלכסונית של התבנית, העובדה שיש גם חיוביים וגם שליליים בהצגה...הכל ללא הצלחה...

בנוגע לשאלה השנייה: אכן ברורים לי ההליכים שציינת... אשמח רק אם תוכל לכוון אותי למיקום הטעות בחישובים שלי (המצורפים)


תודה רבה על ההשקעה בתשובה ועל הזמן...

אריאל
09-09-2009, 16:46
עשית די בלאגן שם ואני לא יכול בדיוק לעקוב אחר זה, מצטער.
מה שאני ממליץ זה ככה:
תעשה את פעולת השורה ואחר כך את פעולת העמודה, רק אם אתה בטוח במאה אחוז שברגע שאתה עושה את שניהם ביחד אז התוצאה היא נכונה, בצע את שניהם יחד.

וכן תקפיד לעשות קודם את פעולה השורות.

אני רואה כבר בפעולה האחרונה שלא עשית טוב, לפי מה שנראה, את ה25 אתה צריך לחלק ב36 בכלל.. שכן הוא שייך גם לעמודה c4 וגם לשורה r4, ולצרף לו..

בקיצור, תעשה שם סדר, לי יצא 3 שליליים ו1 חיובי באלכסון, אני בהתחלה צירפתי את השורה הרביעית לשורה הראשונה ככה שאני לא יכול לעקוב אחריך לפי התוצאה אצלי.

קודם שורות, אחרי זה עמודות, אל תנסה לדלג על שלבים במשו שאתה לא שולט בו ב100% .


בהצלחה

ProMath
09-09-2009, 16:58
צודק...תודה
מה בנוגע לשאלה הראשונה? יש לך רעיון?

אריאל
09-09-2009, 23:23
לדעתי הטענה הזאת בכלל לא נכונה קח את הדוגמא הכי פשוטה תבנית ריבועית :

q(x1,x2)=(X_1)^2-(X_2)^2 לפי הבסיס הסטנדרטי כאשר V=R^2

נקבל ש q(e1) >0 \ , \ q(e2) <0

ולכן L הוא תת מרחב.. מאידך q לא שומרת סימן.

ProMath
10-09-2009, 09:40
בדוגמא שהבאת- L אינה תת מרחב...
הבט למשל בוקטור e1+e2,e1 קל לוודא שעבור שניהם מתקיים q>=0 ולכן שניהם שייכים לL ...
אולם e1+e2-e1 לא שייך לL בסתירה לכך שהוא ת"מ...

אריאל
10-09-2009, 10:47
נכון צודק,
וזה בדיוק הדרך להוכחה,
תניח על דרך השלילה שקיים וקטור u כך ש q(u) >0 אבל גם קיים וקטור v כך ש q(v) <0 .

תיקח בסיס שבו Q מיוצגת ע"י סכום ריבועים תבטא את u ו v בעזרתו

ותסתכל על ביטויים כמו u+v,u-v ( כך שהביטוי שייך ל L..) וכאלה ותראה שהתנאי q(v) <0 לדוגמא, סותר את זה שL תת מרחב..

אני חושב שזה הכיוון,
בכל מקרה, אני אתעמק בזה יותר מאוחר אם עדיין לא תצליח !

ProMath
10-09-2009, 11:43
התחושת בטן שלי מושכת אותי לכיוון הבא:
יהיו שני וקטורים u,v בL ... מכיוון שq אינה שומרת סימן (נניח בשלילה בלה בלה) אז קיים בסיס בו יש לה ההצגה:
q(x1,...,xn)=x1^2+...+x(pi)^2-x(pi+1)^2-...-x(row)^2
כעת u,v שייכים לL ולכן אם נסמן כל אחד מהם בדרך כלשהי , נקבל שהחיבור שלהם לא בL ...או לחילופין החיסור שלהם לא בL....אני מאוד לא בטוח בקשר לזה...בהתחלה אכן חשבתי על הדרך שאתה הצעת, אולם זה נראה לי מסבך את העניין...

אשמח אם תוכל לאמת את הדרך

המון תודה

אריאל
10-09-2009, 11:59
ההצגה שלך לא נכונה ..

תוכל לומר כך:

q(x)= \lambda_1 X_1 ^2 +...........+ \lambda_n \cdot X_n^2

וכעת תוכל לומר שקיימים \pi <n למדות חיוביות וכול'..

אם U ו V שייכים לL אזי גם כל הסכומים וההפרשים שכתבת שייכים ל L לא תקבל פה שום סתירה, נתון לך L תת מרחב.

אני אנסה לחשוב על משו..

ProMath
10-09-2009, 12:07
מה שכתבתי אכן נכון.... אם q אי שלילית, קייםבסיס שב יש לq ההצגה :
q(x1,...,xn)=x1^2+...+x(pi)^2-x(pi+1)^2-...-x(row)^2
מכיוון שקיים בסיס שבו המטריצה A המיייצגת את התבנית מכילה כמות מסויימת של 1 -ים , כמות כלשהי של 1- - ים ועוד כמות מסויימת של אפסים. אם ניקח את הוקטור e1 נקבל מהגדרת התבנית:
q(e1)=e1^t *A *e1 כלומר q(e1)=e1^2
באותו אופן, q(e[pi+1])= -e[pi+1]^2
קל לוודא שהוקטור e1+e[pi+1]zzz שייך לL אולם e1+e[pi+1]-e1 לא שייך לL בסתירה להגדרת התת מרחב...לכאורה מהדוגמא הנגדית שלך חשבתי על ההוכחה הזאת...אולם אני מאמין שיש בה איפשהו טעות...אולי בהגדרת e1 ?

תודה!

אריאל
10-09-2009, 13:13
מצטער, חשבתי שלא ייחסת חשיבות לאפסים.

הטעות שלך עם e1 .. epi וכל זה, היא שכשאתה מציב ב q(e1) zz את הקואורדינטות של e1 אלה הקואורדינטות לפי הבסיס החדש ולא לפי הבסיס הסטנדרטי.. הבסיס החדש הכוונה הבסיס שבו q מיוצגת בצורה הקנונית.

אני מצרף פתרון...

תהנה.

אריאל
10-09-2009, 13:44
רק צריך לוודא משו קטן בפתרון שלי שקיים \alpha_j שונה מאפס כאשר \pi<j<= Row

ואת זה נעשה בקלות ע"י בחירת u1 כך שה \alpha_j שלו שונה מאפס.. וקיים אחד כזה.

ProMath
10-09-2009, 13:58
אני לא מאמיןןןןןןןןןןןןןןןןןןןןן ןןןןןןןןןןןןןןןןןןןן שלא עליתיייי על זהההה[email protected]

המון תודה אריאל!

ProMath
10-09-2009, 14:32
למרות שאם חושבים על זה...אם לא הייתי משתמש במונח e1 אלא במונח "הוקטור הראשון בבסיס" וכנ"ל עבור הוקטור השני אז ההוכחה שלי גם עונה על הבעיה...


בכל מקרה תודה :)

אריאל
10-09-2009, 14:48
צודק :takdir: