חיפוש:

מקרא : - הודעות ללא תגובה

תגית: מרוכבים

חיפוש: החיפוש ארך 0.10 שניות.

  1. [מרוכבים] 24 עם 606 גבי יקואל 807 חל ״א״ הנה תמונה


    שם הספר במתמטיקה:
    לא מספר \ מדף עבודה \ אחר
    מספר עמוד : 606
    מספר תרגיל : 24

    נפתח ע"י Jsjs‏, 19-05-2017 14:16
    • תגובות: 1
    • צפיות: 362
    $$$z^3=\frac{8\sqrt 2-8\sqrt 2 i}{1+\sqrt 3 i}$$$ נרשום מונה בהצגה פולארית: רדיוס: $$\sqrt{(8\sqrt 2)^2+(8\sqrt 2)^2}=16$$ זווית: שמים לב כי המספר שבמונה הוא ברביע הרביעי ולכן הזווית שלו $$315^{\circ}$$. נרשום מכנה בהצגה פולארית, בדומה נקבל: רדיוס: $$2$$. זווית: $$60^{\circ}$$. לכן ניתן לרשום את המשוואה בצורה הבאה: $$$z^3=\frac{16 \cdot cis \; 315^{\circ}}{2 \cdot cis \; 60^{\circ}}=8 \cdot cis \; 255^{\circ}$$$ לפי נוסחת דה-מואבר זצ"ל: $$$z_k=2 \cdot cis \; \frac{255^{\circ}+360^{\circ}k}{3}=2 \cdot cis \; \left ( 85^{\circ}+120^{\circ}k \right )$$$ $$$z_0=2cis \; 85^{\circ}$$$ $$$z_1=2cis \; 205^{\circ}$$$ $$$z_2=2cis \; 325^{\circ}$$$ סעיף ב': ניתן לפתור סעיף זה בקלות - ע"י אנליטית. מתייחסים לכל מקום בו כתוב $$i$$ כאל $$y$$, ממירים את המספרים המרוכבים לנקודות במישור איקס וואי, מציבים במשוואת מעגל ובודקים.
    01-06-2017 23:21 על ידי Chompalamantza  עבור להודעה האחרונה

    פורום: שאלון 807

  2. [מרוכבים] 53 עמ 563 גבי יקואל 807 חלק א


    שם הספר במתמטיקה:
    לא מספר \ מדף עבודה \ אחר
    מספר עמוד : 563
    מספר תרגיל : 53

    נפתח ע"י Jsjs‏, 19-05-2017 09:57
    • תגובות: 8
    • צפיות: 488
    מספרים מרוכבייייייים!!!!!!!! תושבה סיפית???? לסעיף א
    19-05-2017 16:28 על ידי Jsjs  עבור להודעה האחרונה

    פורום: שאלון 807

  3. [מרוכבים] 53 עמ 563 גבי יקואל 807 חלק א


    שם הספר במתמטיקה:
    גבי יקואל - מתמטיקה לתלמידי 5 יחידות לימוד תוכנית ההיבחנות החדשה שאלון 035806 חלק ג'
    מספר עמוד : 563
    מספר תרגיל : 53

    נפתח ע"י Jsjs‏, 19-05-2017 09:39
    • תגובות: 1
    • צפיות: 358
    $$$q=\frac{a_3}{a_2}=\frac{3+i}{2+4i}=\frac{1}{2}-i\cdot \frac{1}{2}$$$ $$$a_2=a_1q\;\;\;\Rightarrow \;\;\; a_1=\frac{a_2}{q}=\frac{2+4i}{\frac{1}{2}-i\cdot \frac{1}{2}}=-2+6i$$$ $$$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{(-2+6i)\left ( \left [ \frac{1}{2}-i\cdot \frac{1}{2} \right ] ^n-1\right )}{\frac{1}{2}-i\cdot \frac{1}{2}-1}$$$ $$$S_n=(4+8i)\left (1-\left [ \frac{1}{2}-i\cdot \frac{1}{2} \right ]^n \right )=\frac{65}{16}+i\cdot \frac{65}{8}$$$ $$$1-\left [ \frac{1}{2}-i\cdot \frac{1}{2} \right ]^n =\frac{65}{64}$$$ $$$\left [ \frac{1}{2}-i\cdot \frac{1}{2} \right ]^n=\frac{1}{64}$$$ $$$\frac{1}{2^n}\left [1-i \right ]^n=\frac{1}{64}$$$ נדרוש שגדלי שני האגפים יהיו שווים: $$$\frac{1}{2^n} \left |1-i \right | ^n=\frac{1}{64}$$$ $$$\frac{2^{\frac{n}{2}}}{2^n} =\frac{1}{2^6}$$$ $$$2^{\frac{n}{2}} =2^6 \; \; \; \Rightarrow \; \; \; n=12$$$
    01-06-2017 23:02 על ידי Chompalamantza  עבור להודעה האחרונה

    פורום: שאלון 807

  4. מרוכבים


    נפתח ע"י Shlomix‏, 12-11-2016 01:27
    מרוכבים
    • תגובות: 1
    • צפיות: 180
    מישהו..?
    12-11-2016 23:36 על ידי Shlomix  עבור להודעה האחרונה
  5. [מרוכבים] מבקש ניתוח ניקוד מומלץ הוגן לדרך פתרוני לשאלת בגרות


    שם הספר במתמטיקה:
    לא מספר \ מדף עבודה \ אחר

    נפתח ע"י רוני1‏, 13-05-2016 16:18
    • תגובות: 2
    • צפיות: 308
    כן סליחה בקשר לכתיבתי אבל אפילו שלחתי לכם בקשה לעניין בתשלום. אני ידעתי מה טעויותיי, אלא שאני רוצה להצדיק בנימוקים דידקטים משכנעים, מדוע טעותי הבסיסית ל2 מעגלים בלבד, גררה אותי לפתור נכון בהמשך ,על [B]בסיס [/B]טעותי, ועדיין לבטא את כל היסודות שנדרשו בפתרון המקורי, ולא הקלתי על פתרוני. האם תוכל [B]לשקול מחדש [/B]את עמדתך או מי שהוא אחר?
    14-05-2016 07:02 על ידי רוני1  עבור להודעה האחרונה

    פורום: שאלון 807

  6. [מרוכבים] מרוכבים מקום גיאומטרי ושאלת וקטורים


    שם הספר במתמטיקה:
    לא מספר \ מדף עבודה \ אחר

    נפתח ע"י Alex1238‏, 06-05-2016 16:34
    • תגובות: 9
    • צפיות: 492
    תודה רבה:)
    08-05-2016 13:40 על ידי Alex1238  עבור להודעה האחרונה

    פורום: שאלון 807

  7. [מרוכבים] מספרים מרוכבים - ערך מוחלט


    שם הספר במתמטיקה:
    לא מספר \ מדף עבודה \ אחר

    נפתח ע"י luslus‏, 29-04-2016 20:54
    007., 807, מרוכבים, ערך מוחלט
    • תגובות: 1
    • צפיות: 456
    הפתרונות הם באורך 1 עם הפרש זווית של 120. $$$ x^2=1^2+1^2-2*1*1*cos(120) \\ x^2=2-2*(-0.5) \\ x^2=3 \\ x=\sqrt{3} $$$
    29-04-2016 21:19 על ידי O_m_r_i  עבור להודעה האחרונה

    פורום: שאלון 807

  8. [מרוכבים] מרוכבים עם סידרה הנדסית


    שם הספר במתמטיקה:
    אדית ומריאן - הכנה לבחינות במתמטיקה לתלמידי 5 יחל שאלון 807
    מספר עמוד : 96
    מספר תרגיל : 15

    נפתח ע"י Oritziki‏, 19-04-2016 19:02
    • תגובות: 3
    • צפיות: 358
    פתרון מלא
    27-06-2016 19:31 על ידי amitai fen  עבור להודעה האחרונה

    פורום: שאלון 807

  9. [מרוכבים] מקום גיאומרי במרוכבים


    שם הספר במתמטיקה:
    גבי יקואל - מתמטיקה לתלמידי 5 יחידות לימוד תוכנית ההיבחנות החדשה שאלון 035807 חלק ב'
    מספר עמוד : 1104
    מספר תרגיל : 3

    נפתח ע"י DRD‏, 07-05-2015 12:26
    • תגובות: 7
    • צפיות: 438
    גם אני לא ניסיתי :-)
    08-05-2015 14:09 על ידי O_m_r_i  עבור להודעה האחרונה

    פורום: שאלון 807

  10. [מרוכבים] הוכחה במרוכבים


    שם הספר במתמטיקה:
    גבי יקואל - מתמטיקה לתלמידי 5 יחידות לימוד תוכנית ההיבחנות החדשה שאלון 035807 חלק א'
    מספר עמוד : 575
    מספר תרגיל : 9

    נפתח ע"י DRD‏, 28-01-2015 19:28
    • תגובות: 2
    • צפיות: 322
    תודה על הפתרון, לא הבנתי- מה זה אומר שZ נמצא על מעגל היחידה? ולמה היה צריך להוכיח שIZI שווה ל1? מה זה מעגל יחידה בעצם?
    30-01-2015 19:55 על ידי DRD  עבור להודעה האחרונה

    פורום: שאלון 807

  11. [מרוכבים] ערך מוחלט במספרים מרוכבים


    שם הספר במתמטיקה:
    גבי יקואל - מתמטיקה לתלמידי 5 יחידות לימוד תוכנית ההיבחנות החדשה שאלון 035807 חלק א'
    מספר עמוד : 575
    מספר תרגיל : 5

    נפתח ע"י DRD‏, 22-01-2015 00:43
    • תגובות: 3
    • צפיות: 916
    [SIZE=2][B]בס"ד [/B][/SIZE] [QUOTE][RIGHT][COLOR=#3E3E3E]לא הבנתי כמה דברים- למה הצבת CIS0? למה לא להציב CIS45 סתם לדוגמא?[/COLOR][/RIGHT][/QUOTE] לא הצבתי סתם כך. מדובר במשוואה, ומה שעשיתי הוא לעבור מתצוגה קרטזית של המספר אחת, אל ההצגה הקוטבית שלו. כלומר, [tex]1=cis0^{\circ}[/tex]. עשיתי את זה כדי להשתמש בכלל של חילוק בין שני מספרים מרוכבים (כששניהם בתצוגה קוטבית - [tex]rcis\gamma[/tex]). [QUOTE][RIGHT][COLOR=#3E3E3E]ומה זה רדיוס של מספר מרוכב?[/COLOR][/RIGHT][/QUOTE] רדיוס של מספר מרוכב הוא המרחק שלו מראשית הצירים, [tex](0, 0)[/tex]. ז"א, אם יש מספר מרוכב [tex]z=x+yi[/tex] (כאשר [tex]x, y[/tex] ממשיים), ערכו המוחלט יהיה [tex]|z|=\sqrt{x^2+y^2}=R[/tex]. זה למעשה הרדיוס של המספר המרוכב - המרחק הזה. [QUOTE][RIGHT][COLOR=#3E3E3E]בנוסף, לא הבנתי את השורה השלישית מלמטה- מה זה R1 וR2?- למה הם קשורים?[/COLOR][/RIGHT][/QUOTE] רשמתי את הכלל שבו התכוונתי להשתמש בשורה הבאה. הכלל הזה הוא חילוק בין שני מספרים מרוכבים כששניהם נמצאים בתצוגה קוטבית (הכוונה עם רדיוס וזוית). [tex]R_{1}[/tex] ו-[tex]R_{2}[/tex] אלה רדיוסים כלליים שסימנתי לצורך ההסבר.
    23-01-2015 01:02 על ידי b00h  עבור להודעה האחרונה

    פורום: שאלון 807

  12. [מרוכבים] מרוכבים בשילוב סדרות חשבוניות והנדסיות


    שם הספר במתמטיקה:
    גבי יקואל - מתמטיקה לתלמידי 5 יחידות לימוד תוכנית ההיבחנות החדשה שאלון 035807 חלק א'
    מספר עמוד : 563
    מספר תרגיל : 55

    נפתח ע"י DRD‏, 03-01-2015 23:39
    • תגובות: 1
    • צפיות: 466
    פתרון
    04-01-2015 00:33 על ידי מיכאל  עבור להודעה האחרונה

    פורום: שאלון 807

  13. [מרוכבים] מרוכבים עם סדרות הנדסיות


    שם הספר במתמטיקה:
    גבי יקואל - מתמטיקה לתלמידי 5 יחידות לימוד תוכנית ההיבחנות החדשה שאלון 035807 חלק א'
    מספר עמוד : 563
    מספר תרגיל : 51

    נפתח ע"י DRD‏, 03-01-2015 18:33
    • תגובות: 1
    • צפיות: 457
    פתרון
    03-01-2015 22:19 על ידי מיכאל  עבור להודעה האחרונה

    פורום: שאלון 807

  14. [מרוכבים] חילוק מרוכבים בתוך חזקה


    שם הספר במתמטיקה:
    לא מספר \ מדף עבודה \ אחר

    נפתח ע"י alexo360‏, 11-09-2014 22:16
    אלגברה, מרוכבים
    • תגובות: 9
    • צפיות: 588
    [QUOTE=avishay12456;449582]נסמן את מה שבתוך הסוגריים בתור (r(cosa+isina ונשתמש בדה-מואבר: [IMG]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%5B%20r%28%5Ccos%20%5Calpha+i%5Csin%20%5Calpha%29%20%5Cright%20%5D%5E4%3D1%20%5C%5Cr%5E4%5B%5Ccos%20%284%5Calpha%29+i%5Csin%284%5Calpha%29%5D%3D1%5B%5Ccos%200+i%5Csin%200%5D%20%5C%5C%5C%5Cr%5E4%3D1%20%5C%5Cr%3D1%20%5C%5C%5C%5C4%5Calpha%3D0+2%5Cpi%20k%20%5C%5C%5Calpha%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%20k%7D%7B2%7D[/IMG] מכאן נקבל את האפשרויות: [IMG]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C%5C%5Ccos%200+i%5Csin%200%3D1%20%5C%5C%5C%5C%5Ccos%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D+i%5Csin%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%3Di%20%5C%5C%5C%5C%5Ccos%20%5Cpi+i%5Csin%20%5Cpi%3D-1%20%5C%5C%5C%5C%5Ccos%20%5Cfrac%7B3%5Cpi%7D%7B2%7D+i%5Csin%20%5Cfrac%7B3%5Cpi%7D%7B2%7D%3D-i[/IMG] נשווה את תוכן הסוגריים לכל אפשרות ונקבל את התשובות האפשריות: [IMG]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bz+2i%7D%7Bz-i%7D%3D1%20%5C%5Cz+2i%3Dz-i%20%5C%5C0%3D-3i%20%5C%5Cfalse[/IMG] [IMG]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bz+2i%7D%7Bz-i%7D%3D-1%20%5C%5Cz+2i%3D-z+i%20%5C%5C2z%3D-i%20%5C%5Cz%3D-%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D[/IMG] [IMG]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bz+2i%7D%7Bz-i%7D%3Di%20%5C%5Cz+2i%3Dzi+1%20%5C%5Cz%281-i%29%3D1-2i%20%5C%5Cz%3D%5Cfrac%7B1-2i%7D%7B1-i%7D%3D%5Cfrac%7B%281-2i%29%281+i%29%7D%7B%281-i%29%281+i%29%7D%3D%5Cfrac%7B3-i%7D%7B2%7D[/IMG] [IMG]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bz+2i%7D%7Bz-i%7D%3D-i%20%5C%5Cz+2i%3D-zi-1%20%5C%5Cz%281+i%29%3D-1-2i%20%5C%5Cz%3D%5Cfrac%7B-1-2i%7D%7B1+i%7D%3D-%5Cfrac%7B%281+2i%29%281-i%29%7D%7B%281+i%29%281-i%29%7D%3D-%5Cfrac%7B3+i%7D%7B2%7D[/IMG] מקווה שהכל ברור, שבת שלום![/QUOTE] ישר כח על הפיתרון. לדעתי ניתן להציע גם את הפיתרון הבא: נסמן: [tex]\frac{z+2i}{z-i}=w[/tex] כאשר [tex]w[/tex] הוא בהכרח מספר מרוכב. מכאן: [tex]w^4=1[/tex] כעת נפעל על פי הכללים להוצאת שורש מסדר n למספר מרוכב: הנוסחה אומרת כי: [tex]z^n=cis\theta \Rightarrow z_{k}=\sqrt[n]{R}cis(\frac{\theta}{n}+\frac{360k^{\circ}}{n})[/tex] [tex]k=0, 1, 2... n-1[/tex] ידוע ש[tex]1=cis0[/tex] ולכן: מכאן: [tex]w^4=cis0[/tex] (נשים לב כי הרדיוס מכאן: [tex]R[/tex] הוא 1). נפתור את המשוואה: [tex]w_{k}=\sqrt[4]{1}cis(\frac{0}{4}+\frac{360k^{\circ}}{4})[/tex] [tex]w_{k}=cis90k^{\circ}[/tex] נציב ערכי [tex]k[/tex] ונקבל: [tex]w_{1}=cis0=1[/tex] [tex]w_{2}=cis90\circle=i[/tex] [tex]w_{3}=cis180\circle=-1[/tex] [tex]w_{4}=cis270\circle=-i[/tex] כעת נשווה את ערכי ה[tex]w[/tex] שקיבלנו ל[tex]\frac{z+2i}{z-i}[/tex]. [tex]\frac{z+2i}{z-i}=1[/tex] [tex]z-i=z+2i[/tex] [tex]-i=2i[/tex] [tex]\phi[/tex] בח"מ [tex]\frac{z+2i}{z-i}=i[/tex] [tex]zi+1=z+2i[/tex] [tex]z(i-1)=2i-1[/tex] [tex]z=\frac{2i-1}{i-1}[/tex] נכפיל בצמוד שהוא [tex]i+1[/tex] ונקבל: [tex]z_{1}=\frac{3-i}{2}=1.5-0.5i[/tex] [tex]\frac{z+2i}{z-i}=-1[/tex] [tex]-z+i=z+2i[/tex] [tex]2z=i-2i[/tex] [tex]z_{2}=\frac{i-2i}{2}[/tex] [tex]z_{2}=\frac{-i}{2}=-0.5i[/tex] [tex]\frac{z+2i}{z-i}=-i[/tex] [tex]-i(z-i)=z+2i[/tex] [tex]-zi+i=z+2i[/tex] [tex]z+zi=-i[/tex] [tex]z(1+i)=-i[/tex] [tex]z=\frac{-i}{1+i}[/tex] נכפיל בצמוד ונקבל: [tex]z_{3}=\frac{-3+3i}{2}=1.5-1.5i[/tex]
    12-09-2014 13:14 על ידי Needyouall  עבור להודעה האחרונה

    פורום: שאלון 807

  15. [מרוכבים] המישור של גאוס


    שם הספר במתמטיקה:
    יואל גבע - מתמטיקה שאלון 807 (כיתה יב) 5 יחידות לימוד כרך ב'
    מספר עמוד : 821
    מספר תרגיל : 3

    נפתח ע"י סינוסית‏, 05-04-2014 14:10
    • תגובות: 1
    • צפיות: 448
    [ATTACH=CONFIG]30339[/ATTACH]
    05-04-2014 14:28 על ידי Nare  עבור להודעה האחרונה

    פורום: שאלון 807

  16. [מרוכבים] מרוכבים


    שם הספר במתמטיקה:
    בני גורן - מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ג'-2 שאלון 035807
    מספר עמוד : 26
    מספר תרגיל : 2

    נפתח ע"י flake‏, 26-05-2013 20:59
    • תגובות: 6
    • צפיות: 773
    פתרון נוסף [ATTACH=CONFIG]32695[/ATTACH]
    02-10-2014 12:50 על ידי batya123  עבור להודעה האחרונה

    פורום: שאלון 807

  17. [מרוכבים] מרוכבים


    שם הספר במתמטיקה:
    בני גורן - מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ג'-2 שאלון 035807
    מספר עמוד : 17
    מספר תרגיל : 54

    נפתח ע"י flake‏, 26-05-2013 19:24
    • תגובות: 4
    • צפיות: 922
    פתרון נוסף [ATTACH=CONFIG]32649[/ATTACH]
    30-09-2014 22:51 על ידי batya123  עבור להודעה האחרונה

    פורום: שאלון 807

  18. [מרוכבים] חקירת משוואות- המספר הצמוד


    שם הספר במתמטיקה:
    בני גורן - מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ג'-2 שאלון 035807
    מספר עמוד : 24
    מספר תרגיל : 83

    נפתח ע"י -שרה-‏, 12-12-2012 13:25
    • תגובות: 3
    • צפיות: 851
    פתרון נוסף [ATTACH=CONFIG]32694[/ATTACH]
    02-10-2014 12:49 על ידי batya123  עבור להודעה האחרונה

    פורום: שאלון 807

  19. [מרוכבים] מספרים מרוכבים


    שם הספר במתמטיקה:
    לא מספר \ מדף עבודה \ אחר

    נפתח ע"י -שרה-‏, 12-10-2012 17:28
    דחוף, מספרים, מרוכבים
    • תגובות: 9
    • צפיות: 646
    התגובה שלך הצחיקה אותי מלכתחילה (אופ, זו המילה הכי מעצבנת בעולם..) . ועכשיו שוב - [URL="http://reshet.tv/Shows/matzav_hauma/videomarklist,211001/"]מצב האומה - מצעד הרגעים הגדולים![/URL] והם חוזרים מחר.... שיהיה לך בהצלחה בקורס
    12-10-2012 19:15 על ידי gilas  עבור להודעה האחרונה

    פורום: שאלון 807

  20. [סיכום] מרוכבים - הרחבת הפונקציות לשדה המרוכבים


    שם הספר במתמטיקה:
    לא מספר \ מדף עבודה

    נפתח ע"י jinni‏, 18-05-2011 17:42
    חזקה, מרוכבים, פונקציות
    • תגובות: 0
    • צפיות: 862
    [B][I][U]הקדמה[/U][/I][/B] זה מדריך שלי מפורום אחר שהחלטתי לפרסם גם פה, עקרונית זה אותו המדריך בדיוק כמו שם רק עם שינויים קטנים מאוד, הנושא שלי כאן הוא נושא מאוד מתקדם במרוכבים אני לא יודע אם לומדים אותו ואם כן אז באיזה שלב אבל רק לידע הכללי זה נראה לי נושא מאוד מעניין. :) [B][U]הערה[/U][/B] הפונקציה [tex]log(z)[/tex] היא פונקציית הלוגריתם הטבעי ולא פונקציית הלוגריתם בבסיס 10, נאלצתי לשנות את זה בגלל לחץ מצד ההנהלה הראשית. [B][I][U]נוסחת אוילר[/U][/I][/B] בין המתמטיקאים שתרמו לחקר המספרים המרוכבים,היו קרל פרידריך גאוס (Carl Friedrich Gauss) שכונה נסיך המתמטיקאים ולאונהרד אוילר (Leonhard Euler) - מתמטיקאי שוויצרי שהתעוור כמעט לגמרי בשלב מסויים, לפי מה שהבנתי זה קרה בגלל התבוננות על השמש. בכל מקרה, אין לזלזל בו, הוא המתמטיקאי ששחרר את הכמות הגדולה ביותר של מאמרים בנושא מתמטיקה - בסביבות כמה אלפים!! עכשיו נכיר פונקציה חדשה - הפונקציה [tex]\exp(z)[/tex] נקראת אקספוננט(Exponent),פירושו חזקה אבל כשמדברים על אקספוננט מתכוונים לרוב לחזקה בבסיס e כלומר [tex]\exp(z)=e^z[/tex] בכל מקרה אחת התרומות היפהפיות של אוילר הייתה הנוסחה - [tex]\exp(iz)=cis(z)[/tex](כש-x הוא ברדיאנים ולא במעלות) ומכאן אנחנו מגיעים לנוסחה שנחשבת אחת היפות בעולם - יש רבים שאמרו שהיא הכי יפה, אני לא מוצא בה הרבה יופי בכל מקרה: [tex]e^{\pi i}=cis(\pi)=cos \pi + isin \pi=-1+0\cdot i=-1[/tex] אבל לא לשם זה התכנסנו, המטרה שלנו היא לחשב חזקה במספרים מרוכבים - אבל לא חזקה במספר טבעי אלא [B]חזקה של מספר מרוכב במספר מרוכב[/B]! בשביל זה אנחנו צריכים לנצל את הידע שלנו ולהגיע לנוסחה כללית, קודם כל בואו נתחיל מהברור מכל [tex]\exp(x+iy)=e^{x} e^{iy}=\exp(x)exp(iy)=exp(x)cis(y)[/tex] עכשיו אנחנו יודעים לעשות אקספוננט של כל מספר מרוכב. [B][I][U]לוגריתם טבעי של מספר מרוכב[/U][/I][/B] הבעייה עם מספרים מרוכבים היא שללוגריתמים טבעיים של מספרים מרוכבים יש כמה תוצאות, אין תוצאה חד משמעית ,ההגדרה של הלוגריתם הטבעי היא: [tex]log(z)=ln|z| + iArg(z)+i\pi K[/tex](כשהארגומנט הוא ברדיאנים ו-K הוא כל מספר שלם). המתמטיקאים החליטו להתפשר ולהגיד שההגדרה הראשית של הלוגריתם תהיה כאשר K=0, כלומר: [tex]log(z)=ln|z| + iArg(z)[/tex] אני חוזר ואומר שזאת לא התוצאה היחידה של הלוגריתם אבל זאת התוצאה הראשית. [B][U][I]חזקה של מספר מרוכב במספר מרוכב[/I][/U][/B] עכשיו בהתאם להגדרה של האקספוננט ושל הלוגריתם הטבעי, [tex]\exp(log(z))=z[/tex] לכן כמובן שמתקיים [tex]\exp(log(a^b))=a^b[/tex] ובנוסף, עפ"י כללי הלוגריתמים [tex]log(a^b)=b\cdot log(a)[/tex] (צריך להוכיח שזה נכון גם למספרים מרוכבים - אבל אני מניח שהוכיחו את זה אם משתמשים בזה ) לכן [tex]a^b=\exp(b\cdot log(a))[/tex] ומכאן אנחנו יכולים למצוא חזקה של מספר מרוכב במספר מרוכב: [B]לדוגמה[/B] מצא את הערך [tex](-i)^i[/tex] תחילה נמצא את הארגומנט של i-. [tex]Arg(-i)=\arctan (\frac{-1}{0})=-\frac{\pi}{2}[/tex]. עכשיו נחשב את הלוגריתם הטבעי של i- [tex]log(-i)=ln|-i|+i\cdot Arg(-i)=ln(\sqrt{0^2+(-1)^2})-\frac{\pi i}{2}=-\frac{\pi i}{2}[/tex] עכשיו אנחנו מוכנים לחשב את החזקה: [tex](-i)^i=\exp(i \log(-i))=exp(-i^2\pi/2)=exp(\pi/2)[/tex] [B][I][U]רק דבר אחד נחמד אחרון[/U][/I][/B] שימו לב שמתקיים [tex]e^{iz}=cos(z)+i\cdot sin(z)[/tex] ולכן מתקיים [tex]e^{-zi}=cos(-z)+i\cdot sin(-z)=cos(z)-i\cdot sin(z)[/tex] בגלל זה [tex] e^{zi}+e^{-zi}=cos(z)+i\cdot sin(z)+cos(z)-i\cdot sin(z)=2cos(z) [/tex] נחלק את שני האגפים ב-2 וקיבלנו זהות חמודה: [tex] cos(z)=\frac{e^{zi}+e^{-zi}}{2} [/tex] עכשיו נמצא עוד זהות יפה הפעם נעשה את זה: [tex] e^{zi}-e^{-zi}=cos(z)+i\cdot sin(z)-cos(z)+i\cdot sin(z)=2i\cdot sin(z) [/tex] נחלק את שני האגפים ב-2i והופ: [tex] sin(z)=\frac{e^{zi}-e^{-zi}}{2} [/tex]
    18-05-2011 17:42 על ידי jinni  עבור להודעה האחרונה
מציג תוצאות 1 עד 20 מתוך 20
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר כלים שרובם חינמים, ביניהם פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במעמדו או במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו