מציג תוצאות 1 עד 2 מתוך 2

אשכול: משוואה לפתרון שהועלתה באולימפיאדה מתמטית

  1. #1
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל משוואה לפתרון שהועלתה באולימפיאדה מתמטית

    שלום לכולם

    רצ"ב משוואה לפתרון שהועלתה באחת האולימפיאדות המתמטיות

    אשמח לשמוע הצעות לפתרון

    $x^2+\frac{x^2}{(1+x)^2}=3$

    בהתחלה זה נראה מורכב. גישה רגילה מביאה צורך לפתור משוואה ממעלה רביעית שלא בטוח שיודעים כיצד לפתור

  2. #2
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    שבוע טוב,

    רצ"ב הצעה לפתרון
    $x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=3$

    המשוואה מתקיימת אם x שונה מ-1-

    אם נפתח רגיל את המשוואה נקבל משוואה ממעלה רביעית שלא כ"כ נוח לפתור
    נחפש דרך אחרת ע"י ביצוע "מניפולציות"
    היות והמשוואה ממעלה רביעית, נחפש ארבעה פתרונות ממשיים/מרוכבים

    $\downarrow$

    $x^2+ \frac{(x+1-1)^2}{(x+1)^2}=3$

    $\downarrow$


    $x^2+(1-\frac{1}{(X+1)})^2=3$

    $\downarrow$

    לפי נוסחת הכפל המקוצר

    $x^2+1-\frac{2}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}=3$


    נוסיף 1 לשני האגפים. נקבל

    $x^2+1+1-\frac{2}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}=3+1=4$

    $\downarrow$


    $x^2+2-\frac{2}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}=3+1=4$

    $\downarrow$

    $x^2+\frac{2+2x-2}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}=3+1=4$

    $\downarrow$


    $x^2+\frac{2x}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}=3+1=4$


    לפי נוסחת הכפל המקוצר אפשר לכתוב

    $(x+\frac{1}{x+1})^2=4$

    $\downarrow$

    $(x+\frac{1}{x+1})^2=4$

    $\downarrow$

    $x+\frac{1}{x+1}=\pm2$

    נפתור את המשוואה הראשונה:

    $x+\frac{1}{x+1}=2$

    נכפיל את שני האגפים ב-x+1 המשוואה מתקיימת כאמור אם x שונה מ-1-

    נקבל

    $x \cdot (x+1) +1 =2 (x+1)=2x+2$

    $\downarrow$

    $x^2+x+1=2x+2$

    $\downarrow$

    $x^2-x-1=0$

    $x1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, x2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

    נפתור את המשוואה השנייה:

    $x+\frac{1}{x+1}=-2$

    נכפיל את שני האגפים ב-x+1 המשוואה מתקיימת כאמור אם x שונה מ-1-

    נקבל

    $x \cdot (x+1) +1 =-2 (x+1)=-2x-2$

    $\downarrow$

    $x^2+x+1=-2 x -2$

    $\downarrow$

    $x^2+3 x +3=0$


    $x3=\frac{-3+\sqrt{-3}}{2}, x4=\frac{-3-\sqrt{-3}}{2}$

    $\downarrow$

    $x3=\frac{-3+\sqrt{3} \cdot i}{2}, x4=\frac{-3-\sqrt{3} \cdot i}{2}$

    $\downarrow$

    $x3=-\sqrt{3} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2})$

    $x3=-\sqrt{3} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} - i \cdot \frac{1}{2})$

    $\downarrow$

    $x3=-\sqrt{3} \cdot (cos \frac{\pi}{6} + i \cdot sin \frac{\pi}{6})= -\sqrt{3} \cdot e^{\frac{\pi \cdot i}{6}}$

    $x4=-\sqrt{3} \cdot (cos \frac{- \pi}{6} + i \cdot sin \frac{- \pi}{6})= -\sqrt{3} \cdot e^{\frac{- \pi \cdot i }{6}}$

    מצאנו ארבעה פתרונות שניים ממשיים ושנים מרוכבים

    בברכה
    עמוס
    נערך לאחרונה על ידי am12348, 21-11-2021 בשעה 08:46
    אהבתי משוואה לפתרון  שהועלתה באולימפיאדה מתמטיתavi500 אהב \ אהבו את התגובה
     

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 4

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו