משהו בטריגונומטריה מאחת האולימפיאדות

[am12348]

שלום לכולם,

יש להוכיח בלי שימוש במחשבון כי
$sin 18^{\circ} \cdot sin 54^{\circ} = \frac{1}{4}$

ההוכחה קצרה תוך שימוש בזהויות הטריגונומטריות המוכרות

בברכה
עמוס

[am12348]

שבוע טוב,

הצעה לפתרון
$sin18^{\circ} \cdot sin54^{\circ} = \frac{sin18^{\circ} \cdot cos18^{\circ} \cdot sin54^{\circ}}{cos18^{\circ}} =$

$\frac{sin36^{\circ} \cdot sin54^{\circ}}{2cos18^{\circ}}= \frac{sin36^{\circ} \cdot cos 36^{\circ}}{2cos18^{\circ}}=$

$\frac{sin72^{\circ} }{4cos18^{\circ}}=\frac{cos18^{\circ} }{4cos18^{\circ}}=\frac{1}{4}$

מש"ל

השתמשתי בשתי הזהויות הטריגונומטריות הבאות:
$sin (2 \alpha)=2 \cdot sin \alpha \cdot cos \alpha $
$sin \alpha = cos(90^{\circ} - \alpha)$

בברכה
עמוס