מציג תוצאות 1 עד 5 מתוך 5

אשכול: אינטגרל כפול

  1. #1
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל אינטגרל כפול

    אפשר עזרה בבקשה !
    קבצים מצורפים קבצים מצורפים

  2. #
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    התשובה הטובה ביותר

    ברירת מחדל

    שבוע טוב ושנה טובה,

    ננסה להביא את התחום לחישוב האינטגרל הכפול הנתון לצורה נוחה יותר על ידי הצבה מתאימה.

    שים לב שבהגדרת התחום של x,y נתון:
    $y \leq x \leq ay ; a>1;x,y>0$

    נוכל לחלק את האגפים הימני והשמאלי של אי השוויון ב-y.נקבל

    $\frac{y}{y} \le \frac{x}{y} \le \frac{ay}{y} \to 1 \le \frac{x}{y} \le a$
    החלק הזה של התחום מוגדר היטב, שכן נתון ש- y שונה מ-0

    את החלק השני של הגדרת התחום נשאיר כפי שהיא
    $1 \le xy \le 2a$

    על סמך הצגת הגדרת התחום בצורה קצת אחרת שקולה נבצע הצבה לשינוי צורת האינטגרל הכפול הנתון:
    $u(x,y)=\frac{x}{y}, v(x,y)=xy$


    נחשב את היעקוביאן עבור ההצבה הנ"ל

    $\frac{D_{(u,v)}}{D_{(x,y)}}=\begin{vmatrix} u_x{(x,y)} & v_x{(x,y)} \\ u_y{(x,y)} & v_y{(x,y)} \end{vmatrix}$
    $=\begin{vmatrix} \frac{1}{y} & y \\ \frac{-x}{y^2} & x \end{vmatrix} $
    $=\frac{1}{y} \cdot x - y \cdot \frac{-x}{y^2}=\frac{x}{y}+\frac{x}{y}=2 \cdot \frac{x}{y}$


    שתי הערות:

    1. כשכתוב לדוגמא:
    $u_x{(x,y)}$

    הכוונה נגזרת של u(x,y) לפי y

    2. אפשר "לצמצם" ב-y כי התחום כולל רק נקודות x,y ששניהם שונים מ-0

    לפי הגדרת בתחום ולפי ההצבה נובע:

    $1 \le \frac{x}{y} \le a \to 1 \le u(x,y) \le a ִ$

    $1 \le xy \le 2a \to 1 \le v(x,y) \le 2a ִ$

    נביע את האינטגרל הפול הנתון כפונקציה של u ו-v בתחומים החדשים


    ${\int\int}_D (\frac{x}{y}) \cdot g(\frac{x}{y}) dx dy \to {\int\int}_D \frac{\frac{x}{y} \cdot g(\frac{x}{y})}{2 \cdot \frac{x}{y}}$


    $={\int\int}_D \frac{g (\frac{x}{y})} {2} \to \int_1^{2a} \int_1^a \frac{g (u)} {2} du \ dv$


    כמובן שאפשר לשנות את סדר האינטגרציה כי נתון ש-g רציפה לכל t ממשי ולכן
    $g(\frac{x}{y})$
    רציפה במלבן הסגור:
    $[1 \le u \le a ; 1 \le v \le 2a]$


    נעבור לחישוב האינטגרל הפנימי לפי u

    $\int_1^a \frac{g (u)} {2} du = 0.5 \cdot \int_1^a g (u) du=0.5 \cdot 1=0.5$

    יש שימוש בתכונת האינטגרל ובנתון

    $\int_1^a g(t) dt = 1$

    נעבור לחישוב האינטגרל החיצוני לפי v

    $\int_1^{2a} 0.5 dv = [0.5v][1 ,2a]=0.5 \cdot 2a - 0.5 \cdot 1=a-0.5$

    נתון שהאינטגרל הזה שווה ל-3, לכן נרשום:
    $a-0.5=3 \to a=3+0.5=3.5$
    יוצא שערך הפרמטר a הוא 3.5

    אם ישנן שאלות/הערות אפשר להעלות לאשכול ואענה בהקדם


    עמוס
    נערך לאחרונה על ידי אריאל, 11-09-2021 בשעה 22:26
    אהבתי olegshalman, אריאל, מיכאל אהב \ אהבו את התגובה
     

  3. #2
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אפשר עזרה בבקשה

  4. #3
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    התשובה הטובה ביותר

    ברירת מחדל

    שבוע טוב ושנה טובה,

    ננסה להביא את התחום לחישוב האינטגרל הכפול הנתון לצורה נוחה יותר על ידי הצבה מתאימה.

    שים לב שבהגדרת התחום של x,y נתון:
    $y \leq x \leq ay ; a>1;x,y>0$

    נוכל לחלק את האגפים הימני והשמאלי של אי השוויון ב-y.נקבל

    $\frac{y}{y} \le \frac{x}{y} \le \frac{ay}{y} \to 1 \le \frac{x}{y} \le a$
    החלק הזה של התחום מוגדר היטב, שכן נתון ש- y שונה מ-0

    את החלק השני של הגדרת התחום נשאיר כפי שהיא
    $1 \le xy \le 2a$

    על סמך הצגת הגדרת התחום בצורה קצת אחרת שקולה נבצע הצבה לשינוי צורת האינטגרל הכפול הנתון:
    $u(x,y)=\frac{x}{y}, v(x,y)=xy$


    נחשב את היעקוביאן עבור ההצבה הנ"ל

    $\frac{D_{(u,v)}}{D_{(x,y)}}=\begin{vmatrix} u_x{(x,y)} & v_x{(x,y)} \\ u_y{(x,y)} & v_y{(x,y)} \end{vmatrix}$
    $=\begin{vmatrix} \frac{1}{y} & y \\ \frac{-x}{y^2} & x \end{vmatrix} $
    $=\frac{1}{y} \cdot x - y \cdot \frac{-x}{y^2}=\frac{x}{y}+\frac{x}{y}=2 \cdot \frac{x}{y}$


    שתי הערות:

    1. כשכתוב לדוגמא:
    $u_x{(x,y)}$

    הכוונה נגזרת של u(x,y) לפי y

    2. אפשר "לצמצם" ב-y כי התחום כולל רק נקודות x,y ששניהם שונים מ-0

    לפי הגדרת בתחום ולפי ההצבה נובע:

    $1 \le \frac{x}{y} \le a \to 1 \le u(x,y) \le a ִ$

    $1 \le xy \le 2a \to 1 \le v(x,y) \le 2a ִ$

    נביע את האינטגרל הפול הנתון כפונקציה של u ו-v בתחומים החדשים


    ${\int\int}_D (\frac{x}{y}) \cdot g(\frac{x}{y}) dx dy \to {\int\int}_D \frac{\frac{x}{y} \cdot g(\frac{x}{y})}{2 \cdot \frac{x}{y}}$


    $={\int\int}_D \frac{g (\frac{x}{y})} {2} \to \int_1^{2a} \int_1^a \frac{g (u)} {2} du \ dv$


    כמובן שאפשר לשנות את סדר האינטגרציה כי נתון ש-g רציפה לכל t ממשי ולכן
    $g(\frac{x}{y})$
    רציפה במלבן הסגור:
    $[1 \le u \le a ; 1 \le v \le 2a]$


    נעבור לחישוב האינטגרל הפנימי לפי u

    $\int_1^a \frac{g (u)} {2} du = 0.5 \cdot \int_1^a g (u) du=0.5 \cdot 1=0.5$

    יש שימוש בתכונת האינטגרל ובנתון

    $\int_1^a g(t) dt = 1$

    נעבור לחישוב האינטגרל החיצוני לפי v

    $\int_1^{2a} 0.5 dv = [0.5v][1 ,2a]=0.5 \cdot 2a - 0.5 \cdot 1=a-0.5$

    נתון שהאינטגרל הזה שווה ל-3, לכן נרשום:
    $a-0.5=3 \to a=3+0.5=3.5$
    יוצא שערך הפרמטר a הוא 3.5

    אם ישנן שאלות/הערות אפשר להעלות לאשכול ואענה בהקדם


    עמוס
    נערך לאחרונה על ידי אריאל, 11-09-2021 בשעה 22:26
    אהבתי olegshalman, אריאל, מיכאל אהב \ אהבו את התגובה
     

  5. #4
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    המון תודה ושנה טובה !
    אהבתי מיכאל אהב \ אהבו את התגובה
     

  6. #5
    מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    יפה מאוד!

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 8

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו